Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)
.pdf
Відстань від точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до площини Ax By Cz D 0 обчислюється
за формулою d |
|
Ax0 |
By0 |
Cz0 |
D |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A2 B2 C2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: h |
|
|
38 |
|
одиниць. |
|
|
|
|
|
|
||
S |
150 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
2.19. Обчисліть |
|
косинус кута |
між площинами 2x y z 2 0 і |
|||
4x 2y 2z 3 0 . |
|
|||||
Хід розв’язання.
Крок 1. Скористайтесь тим, що косинус кута між площинами знаходиться, як косинус кута між їх нормальними векторами. Знайдіть координати нормальних векторів n1 та n2 площин 2x y z 2 0 і
4x 2y 2z 3 0 відповідно.
n1 n2
Скористайтесь означенням загального рівняння площини: загальне рівняння
площини |
має вигляд Ax By Cz D 0 , де |
A; B,C – координати вектора |
n , |
|||||||||||||||||||
перпендикулярного до прямої, тобто нормального вектора площини. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Крок 2. Знайдіть скалярний добуток n1 n2 та модулі векторів |
|
n1 |
|
, |
|
n2 |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Скористайтесь формулою для обчислення скалярного добутку векторів, які |
|||||||||||||||||
задано |
своїми |
координатами: |
якщо |
|
|
ax ; ay ; az , |
|
bx ; by ; bz , |
то |
|||||||||||||
|
a |
b |
||||||||||||||||||||
a b ax bx ay by az bz .
43
Скористайтесь формулою для знаходження модуля вектора a ax ; ay ; az :
a 
ax2 ay2 az2 .
Крок 3. Знайдіть косинус кута між векторами n1 і n2 .
cos
Скористайтесь тим, що коли площини 1 і 2 задані загальними рівняннями A1 x B1 y C1z D1 0 і A2 x B2 y C2 z D2 0 , то кут між цими прямими визначають через кут між їхніми нормальними векторами n1 A1 , B1 ,C1 та n2 A2 , B2 ,C2 і обчислюють за
формулою cos |
|
n1 |
n2 |
|
|
|
A1 |
A2 |
B1 B2 |
|
C1 C2 |
|||||
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
A2 |
B2 |
C2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
Відповідь: cos 23 .
Учимося моделювати професійну діяльність інженера
2.20. Звиси чотирьохскатного даху цеху створюють прямокутник, сторони якого рівні 12 і 30 м. Скати покрівлі мають рівний ухил, що дорівнює 12 .
Вибравши систему координат, як показано на рисунку 2.4 , складіть рівняння скатів, рівняння ребер і гребня, запишіть рівняння ребер і гребня в канонічній формі, знайдіть кут між бічними скатами, відстань від гребня до прямокутника, що створено звисами, кількість матеріалу необхідного для поверхні покрівлі.
44
Рис. 2.4 . Схема чотирьохскатного даху цеху
Хід розв'язання.
Крок 1. Звиси даху – це відрізки прямих AC, CD, DF, AF; скати – це трикутники ABC, DEF та трапеції BCDE, ABEF; гребінь – відрізок прямої ВЕ; кут нахилу ската – кут , що створено прямою скату ВК та її горизонтальною проекцією. З’ясуйте, чому дорівнює ухил скату та координати точок А, С, D, F в обраній системі координат.
tg ...... 12 ; А(...; ...; ...); С(...; ...; ...); D(...; ...; ...); F (...; ...; ...);
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
1 |
|
zB BO ... tg ... |
|
|
|
...; |
|
yB OO |
|
... |
|
... . |
||
2 |
|
|
tg |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для знаходження ухилу скату застосовуйте співвідношення у |
||||||||||||
прямокутному ВО / К , |
тобто tg |
|
BO |
. Враховуйте, що |
точка О збігається з |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
O K |
|
|
|
|
|
|
початком координат і |
належить |
|
відрізку |
АС : АО ОС . |
Координати |
(ординати, |
||||||
аплікати) точок В і Е знаходьте зі співвідношень у прямокутному трикутнику.
Крок 2. За відомими координатами точок знайдіть рівняння скатів
ABC, DEF, BCDE, ABEF, як рівняння площин.
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
скату АВС : |
0 ... |
6 ... |
3 ... |
0 |
.... |
; |
|
6 ... |
0 ... |
0 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
скату DEF : |
|
0 ... |
24 ... |
3 ... |
|
0 |
.... |
; |
|
|
6 ... |
30 ... |
0 ... |
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
скату BCDE : |
|
|
... ... |
... ... |
... ... |
|
0 |
.... |
; |
|
|
|
... ... |
... ... |
... ... |
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
скату ABEF : |
|
... ... |
... ... |
... ... |
0 |
.... |
. |
||
|
|
... ... |
... ... |
... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки скати даху плоскі, то їхні рівняння x x1
площин, що проходять через три задані точки: x2 x1 x3 x1
будемо y y1 y2 y1 y3 y1
знаходити, як рівняння z z1
z2 z1 0 . z3 z1
Крок 3.
ребро АВ :
ребро ВС :
ребро DE :
З’ясуйте рівняння ребер АВ, ВС, DE, EF й гребня ВЕ.
y 2z 0,
... x ... у ... z 6 0,
... х ... y ...z ... 0,
x 2z 6 0,
... х ... y ...z ... 0,... х ... y ...z ... 0,
|
|
|
x ... |
|
|
|
|
|
y ... |
|
|
z ... |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
... |
... |
... |
|
|
|
||||||||||||
|
|
x ... |
|
|
|
y ... |
|
|
z ... |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
... |
... |
... |
|
|
|
||||||||||||
|
x ... |
|
|
|
y ... |
|
|
z ... |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
... |
... |
... |
|
|
|
||||||||||||
|
|
y |
z |
0, |
|
x ... |
|
|
y ... |
|
|
z ... |
|
|
|
... х ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ребро EF : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
... х ... |
y ... |
z ... |
0, |
|
... |
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
y |
z |
0, |
|
x ... |
|
|
y ... |
|
|
z ... |
|
|
|
... х ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ребро ВЕ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
... х ... |
y ... |
z ... |
0, |
|
... |
|
|
... |
|
|
... |
|
|
46
Ребра АВ, ВС, DE, EF й гребінь ВЕ є лініями перетину відповідних площин
A x B y C z D 0, |
|
|||
1 |
1 |
1 |
1 |
Із загальних рівнянь прямих отримайте їхні канонічні |
A2 x B2 y C2 z D2 0. |
|
|||
рівняння.
Крок 4. |
Обчисліть кут між бічними скатами ABEF та BCDE. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A A B B C C |
|
|
|
|
|
|
... |
... |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 |
2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... |
||||||||||||||
A2 |
B2 |
C 2 |
|
A2 |
B2 |
C 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Отже, кут .... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Кут між бічними скатами обчислюємо, |
як кут між |
двома |
площинами |
||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
n2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 5. Для з’ясування кількості матеріалу необхідного для поверхні покрівлі знайдіть площу поверхні покрівлі, що складається з двох рівних трикутників ABC , DEF і двох рівних трапецій ABEF та BCDE.
Висоти трикутників й трапецій рівні між собою:
BO BK 
...2 ...2 ... м
Площа поверхні покрівлі:
|
|
|
... ... |
|
... .. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
S 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.... |
... ... м |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Висоти трикутників і трапецій знайдіть за теоремою Піфагора. Площі |
||||||||||||||||||||
трикутників і |
трапецій відповідно |
обчислюються за формулами S |
|
|
ah |
|
AC BO |
і |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S |
|
|
a b |
|
h |
BE CD |
BK . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
трапец |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: для поверхні покрівлі необхідно 402,5м2 матеріалу.
47
Учимося самостійно розв’язувати завдання
2.21.
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|||||||||
З точки |
A(2;1;1) про- |
Складіть рівняння пло- |
Знайдіть |
|
рівняння |
||||||||||||||||||||
ведено |
перпендикуляр |
щини, |
|
що |
проходить |
геометричного |
місця |
||||||||||||||||||
до |
площини, |
його |
через |
|
точку |
|
A(2;1;1) |
точок, що є рівно- |
|||||||||||||||||
основа |
|
– B( 1;0;2). |
паралельно |
площині |
віддаленими |
від |
точок |
||||||||||||||||||
Складіть |
|
|
рівняння |
3x y 2z 1 0. |
|
K (1;5;6) та M ( 1;7;8). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
площини. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Зверніть |
увагу на |
|
Оскільки |
площини |
|
Геометричне місце |
|||||||||||||||
|
|
|
|
те, що шукана пло- |
|
паралельні, |
то |
|
точок |
рівновідда- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
щина |
|
|
проходить |
|
вектор нормальний |
|
лених від К та М – |
||||||||||||||
|
|
|
|
через точку В пер- |
|
до однієї з них є |
|
площина, що про- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормальним вектором і до |
ходить через середину від- |
|||||||||||||
пендикулярно вектору AB. |
|||||||||||||||||||||||||
іншої. |
|
|
|
|
|
|
|
різка КМ перпендикулярно |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йому. |
|
|
|
|
|
|
2.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|||||||||
Складіть рівняння пло- |
Складіть рівняння пло- |
Складіть |
|
рівняння |
|||||||||||||||||||||
щини, |
що |
|
проходить |
щини, |
|
що |
проходить |
площини, |
що містить |
||||||||||||||||
через |
|
точки |
A(2;1;1), |
через точку K (1;5;6) та |
пряму |
|
перетину |
||||||||||||||||||
|
B( 1;0;2), С(2;1;3). |
містить вісь Ох. |
|
|
площин |
4x y 1 3z |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
x 5y z 2 0 і |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точку M (1;1;1). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Скористайтесь за- |
|
Оберіть |
будь-які |
|
Розбийте задачу на |
||||||||||||||||
|
|
|
|
гальним |
виглядом |
|
точки А і В осі Ох, |
|
підзадачі: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
рівняння площини, |
|
та |
|
складіть |
|
1) |
знайдіть |
дві |
|||||||||||||
|
|
|
|
що |
|
|
проходить |
|
рівняння площини, |
|
спільні |
точки |
цих |
||||||||||||
|
|
|
|
через три точки. |
|
що |
проходить |
|
площин; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через три точки А, В і К. |
|
2) |
складіть |
рівняння |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площини |
за |
|
трьома |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точками. |
|
|
|
|
||
2.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|||||||||
Складіть рівняння пло- |
Складіть рівняння пло- |
Складіть рівняння пло- |
|||||||||||||||||||||||
щини, |
що |
|
проходить |
щини, |
|
що |
проходить |
щини, що проходить |
|||||||||||||||||
через |
точку M (2; 3;1) |
через |
точки A(1;2;0) |
і |
через точку M ( 1; 1;2) |
||||||||||||||||||||
паралельно |
|
|
векторам |
B(2;1;1) |
|
|
паралельно |
перпендикулярно |
пло- |
||||||||||||||||
|
|
3;2;1 і |
|
1;2;3 . |
вектору |
|
3;0;1 . |
|
щинам x 2y z 4 0 |
||||||||||||||||
|
a |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і x 2y 2z 4 0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нормальний вектор шуканої площини є перпендикулярним до
векторів a і b. Тому в якості нормального вектора
можна взяти вектор a b.
Розгляньте вектори
a і AB. Нормальний вектор шуканої площини пер-
пендикулярний до обох цих векторів. Тому в якості нормального вектора мож-
на взяти вектор a AB.
Нормальні вектори цих площин перпендикулярні нормальному вектору шуканої площини, тому їхній векторний добуток є нормальним вектором
шуканої площини.
2.24.
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|||||
Знайдіть |
кут |
між |
A(2;0;0), B(5;3;0), |
|
Через точку М ( 5;1;2) |
|||||||||
площинами |
3y z 0 |
C(0;1;1) і D( 2; 4;1) |
|
проходить |
дві |
пло- |
||||||||
та 2 y z 0. |
|
вершини |
тетраедра. |
щини: одна з них |
||||||||||
|
|
|
|
Знайдіть |
двогранний |
містить ось Ох, а інша |
||||||||
|
|
|
|
кут між гранями ABC і |
ось Оу. Знайдіть кут |
|||||||||
|
|
|
|
ABD. |
|
|
|
між площинами. |
|
|||||
|
Переформулюйте |
|
Розбийте задачу на |
|
Розбийте задачу на |
|||||||||
задачу: знайти |
кут |
|
підзадачі: |
|
|
|
підзадачі: |
|
|
|||||
між |
нормальними |
|
1) складіть рівняння |
|
1) |
складіть рівнян- |
||||||||
векторами площин. |
|
площин ABC і ABD; |
|
ня площин; |
|
|||||||||
|
|
|
|
2) |
знайдіть |
кут |
між |
2) знайдіть кут між нор- |
||||||
|
|
|
|
нормальними |
векторами |
мальними |
векторами |
цих |
||||||
|
|
|
|
цих площин. |
|
|
|
площин. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У ході |
складання |
площин |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скористайтесь вказівкою до |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачі 2.22 (ІІ рівень). |
|
||||
2.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|||||
З’ясуйте, чи є пари |
За |
яких |
|
значень |
За |
яких |
|
значень |
||||||
площин |
паралельними |
параметра a площини |
параметрів |
a |
і |
b |
||||||||
або |
перпендикуляр- |
3x 5y az 3 0 |
і |
площини |
|
|
|
|
||||||
ними: |
|
|
|
x 3y 2z 5 0 |
|
2x ay 3z 5 0 |
і |
|||||||
а) 4x 2y 4z 5 0, |
перпендикулярні? |
|
bx 6y 2az 2 0 |
|
||||||||||
2x y 2z 1; |
|
|
|
|
|
|
паралельні? |
|
|
|
||||
б) 2x 3y z 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x y z 5 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
Скористайтесь умо- |
|
Користуючись умо- |
|
Користуючись умо- |
||||||||||
вами |
паралельності |
|
вою |
перпендику- |
|
вою паралельності |
||||||||
та перпендикуляр- |
|
лярності |
площин, |
|
площин, |
складіть |
||||||||
ності площин. |
|
|
складіть |
та |
роз- |
|
та |
|
розв’яжіть |
|||||
|
|
|
|
в’яжіть рівняння, що |
систему |
|
рівнянь, |
що |
||||||
|
|
|
|
містить параметр а. |
|
містить параметри а і b. |
||||||||
2.26.
І рівень |
|
ІІ рівень |
|
ІІІ рівень |
|
|||
Знайдіть |
відстань |
від |
На осі Оу знайдіть |
Дві грані куба лежать у |
||||
точки M ( 1;2;0) до |
точку, що знаходиться |
площинах |
|
|
|
|||
площини |
|
|
на відстані d 4 від пло- |
2x 2y z 1 0 |
і |
|||
2x 3y 6z 4 0. |
|
щини x 2y 2z 2 0. |
2x 2y z 5 0. |
|
||||
|
|
|
|
|
Знайдіть об’єм куба. |
|||
|
Застосуйте |
Позначте |
коорди- |
Переконайтесь, що |
||||
формулу відстані |
нати шуканої точ- |
задані |
площини |
|||||
від |
точки |
до |
ки (0; у;0) |
та скла- |
паралельні. |
Ребро |
||
площини. |
|
діть рівняння від- |
куба |
|
дорівнює |
|||
|
|
|
повідно до умови задачі. |
відстані |
між |
цими |
||
|
|
|
|
|
площинами. |
Відстань між |
||
|
|
|
|
|
паралельними |
площинами |
||
|
|
|
|
|
дорівнює відстані від будь- |
|||
|
|
|
|
|
якої точки однієї площини |
|||
|
|
|
|
|
до іншої. |
|
|
|
Учимося застосовувати ППЗ Gran-3D для знаходження кута між площинами
2.27. Звиси чотирьохскатного даху цеху створюють прямокутник. Бічні скати покрівлі ABEF та BCDE мають рівний ухил і задані координатами
своїх вершин А( 6; 0; 0), В (0; 6; 3), Е (0; 24; 3), С (6; 0; 0) . Знайдіть кут між
цими бічними скатами.
Хід обчислення.
1.Відкрийте вікно ППЗ Gran2D.
2.Побудуйте зображення площин ABEF та BCDE за допомогою опції
Об’єкт-Створення-Площина-Три точки за координатами відповідних
точок А ( – 6; 0; 0), В(0; 6; 3), Е(0; 24; 3); С (6; 0; 0).
3. За допомогою опції Обчислення-Кут-Між двома площинами, за відповідними запитами програми послідовно вкажіть у полі програми об’єкти площин ABEF та BCDE. У полі звіту з’явиться результат обчислення кута між заданими площинами.
50
Як пов’язана пряма у просторі з інженерною практикою
Уявіть собі, що за заздалегідь наміченим маршрутом із відомою швидкістю рухається турист (автомобіль, літак, підводний човен). Тоді, знаючи точку початку його подорожі в момент часу, ми в будь-який інший момент часу знаємо, де він перебуває. Отже, його розташування на маршруті визначається всього одним параметром – часом.
У нашому випадку турист рухається нескінченою прямою у просторі та в момент часу t0 0 знаходиться в точці M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) . Якщо в декартовій системі координат із початком у точці О зобразити нескінчену пряму L руху туриста, що проходить через M 0 паралельно
вектору a (l; m; n) (рис. 3.1), то в будь-який інший момент часу t його
|
x x0 lt; |
|
|
|
mt; |
координати в просторі обчислюються за формулами |
y y0 |
|
|
|
|
|
nt. |
|
|
z z0 |
|
Рис. 3.1. Схематичне зображення прямої L руху туриста
Чи є інші можливості для завдання рівнянь прямих у просторі?
51
Складаємо опорний конспект
Завдання прямої у просторі
Канонічні |
|
рівняння |
прямої, |
що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
проходить |
|
через |
точку |
|
M0 x0 , y0 , z0 |
|
|
x ... |
|
y ... |
|
|
z ... |
|
|
||||||||
паралельно |
|
вектору |
|
a |
l; m; n |
у |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
... |
|
... |
|
|
|
|
|||||||||||||
просторі, мають вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Параметричні рівняння прямої, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
проходить |
|
через |
точку |
|
M0 x0 , y0 , z0 |
|
x ... ... t; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
паралельно |
|
вектору |
|
a |
l; m; n |
у |
|
|
... ... t; де t ; – |
||||||||||||||
просторі, мають вигляд |
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... ... t, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довільний параметр |
|||||||||||
Рівняння прямої, яка проходить через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
дві задані точки M1 x1 ; y1 |
; z1 і |
M 2 x2 ; y2 ; z2 , |
|
|
x ... |
|
y ... |
|
|
z ... |
|||||||||||||
має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
... ... |
... ... |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A x B y C z D 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Система рівнянь |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A2 x B2 y C2 z D2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
є загальним рівнянням прямої, де |
|
|
A1 |
, B1 ,C1 – |
|
… , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 , B2 ,C2 – |
|
… |
|
|
|
|
|
||||||
Щоб |
звести |
загальне |
рівняння |
прямої |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A x B y C z D 0, |
до |
канонічного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A2 x B2 y C2 z D2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вигляду, |
потрібно |
знайти |
точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M0 x0 , y0 , z0 |
|
на прямій |
L |
і |
напрямний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вектор |
a l; m; n |
прямої, |
|
що |
для знаходження точки M 0 одну з |
||||||||||||||||||
обчислюються так: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
її координат, наприклад, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обирають z0 |
0 та розв’язують |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
систему рівнянь |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... x ... y D1 |
0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... x ... y D2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напрямний вектор обчислюють |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j k |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n1 |
n 2 |
... ... ... |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52