- •Лекція 5
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази. Теорема Штольца
- •Лекція 6
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •Лекція 7
- •1. Теорема про вкладені відрізки
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності. Фундаментальна послідовність
- •Лекція 8
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Питання для самостійного опрацювання
- •Функції однієї змінної
- •2. Класифікація функцій
- •3. Елементарні функції.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної лекція 9
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •Лекція 10
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
Лекція 5
Збіжні послідовності.
Властивості збіжних послідовностей.
Невизначені вирази. Теорема Штольца.
1. Збіжні послідовності
Границя числової послідовності. Число називається границею послідовності, якщо для будь-якого числа існує такий номер , що для всіх членів послідовностііз номеромвиконується нерівність
. (2)
Якщо число є границею послідовності , то пишуть
,
а саму послідовність називають збіжною.
Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.
Приклад. Довести, що .
Доведення. Задамо довільне число і покажемо, що існує таке натуральне число , що для всіх членів послідовностііз номером виконується нерівність .
Оскільки , то
.
Розв'язавши відносно нерівність , маємо .
Якщо в значенні узяти цілу частину числа, тобто покласти , то нерівність <ε виконується для всіх . Отже, .
Якщо послідовність збіжна і , то будь-який її елемент можна подати у вигляді , де - елемент нескінченно малої послідовності .
Дійсно, якщо , то послідовністьє нескінченно малою, оскільки для будь-якогоіснує такий номер, що для виконується нерівність , тобто .
Має місце й обернене твердження. Якщо можна подати у вигляді, де - нескінченно мала послідовність, то .
Нерівність (2) рівносильна нерівності або ,
із якої випливає, що знаходиться воколі точки. Отже, означення границі числової послідовності можна дати наступним чином.
Число називається границею послідовності , якщо для будь-якого числаіснує такий номер, що всі члени послідовностііз номером знаходяться в околі точки.
Очевидно, що нескінченно велика послідовність не має границі. Іноді говорять, що вона має нескінченну границю і пишуть
.
Якщо при цьому, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності додатні ( від'ємні ), то пишуть .
Усяка нескінченно мала послідовність збіжна, причому .
Це безпосередньо випливає з означення границі числової послідовності й означення нескінченно малої числової послідовності.
2. Властивості збіжних послідовностей
Теорема Збіжна послідовність має єдину границю.
Доведення. Припустимо, що збіжна послідовність має дві різні границіі, тобто. Тоді та , деі- елементи нескінченно малих послідовностей та. Отже,абоОскільки, за властивістю нескінченно малих послідовностей, є елементами нескінченно малої послідовності, апостійне число, то. Таким чином,.
Теорема. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.
Доведення. Нехай і- номер, починаючи з якого виконується нерівність , де. Тоді
для всіх . Виберемо. За цієї умовидля будь-якого.
Зазначимо, що не всяка обмежена послідовність є збіжною. Наприклад, послідовність обмежена, але не збіжна.
Теорема 2.6. Якщо і- збіжні послідовності, то:
Послідовність , яка є сумою (різницею) збіжних послідовностейта, збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей, тобто.
Послідовність , яка є добутком збіжних послідовностейй, збіжна і її границя дорівнює добутку границь цих послідовностей, тобто.
Послідовність , яка є часткою збіжних послідовностейта, за умови, збіжна і її границя дорівнює частці границь цих послідовностей, тобто.
Доведення. Нехай і- збіжні послідовності та . Тоді і , дей– елементи нескінченно малих послідовностей і. Покажемо, що має місце:
1) .
Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності, то звідси випливає, що.
2) .
Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності, то.
Тобто .
3)
Послідовність є нескінченно малою. Покажемо, що послідовністьобмежена. Оскількиі, то дляіснує такий номер, що для всіхвиконується нерівність,
отже, , тобто, а томудля всіх. Звідси випливає, що послідовністьобмежена.
Таким чином, послідовність нескінченно мала, а тому
,
тобто
, де .
Зауваження. Пункт 1) наведеної теореми допускає узагальнення на довільне скінченне число доданків. Пункт 2) - на довільне скінченне число множників. Із пункту 2) випливає, що постійний множник можна виносити за знак границі, тобто
.