4.6. Полезность регулярных транспортных поездок

Функции полезности представляют собой в своей основе способы описания потребительского выбора: если выбран товарный набор X при том, что товарный набор Y является доступным, то X должен обладать большей полезностью, чем Y. Изучая выбор, сделанный потребителями, можно вывести оценочную функцию полезности, которая адекватно описала бы их поведение.

Эта идея получила широкое применение в области экономики транспорта при изучении поведения потребителей в отношении регулярных транспортных поездок. В большинстве крупных городов у лиц, совершающих регулярные транспортные поездки, имеется выбор: пользоваться общественным транспортом или ездить на работу на машине. Каждую из этих альтернатив можно рассматривать как набор различных характеристик: времени нахождения в пути, времени ожидания, наличных издержек, комфорта, удобства и т.п. Обозначим продолжительность времени нахождения в пути для каждого рода поездки через 1x₁, продолжительность времени ожидания для каждого рода поездки через x₂2 и т.д.

Если (x₁, x₂, ..., x_n) представляет, скажем, значения n различных характеристик автомобильных поездок, а (y₁, y₂, ..., y_n) — значения характеристик поездок на автобусе, то можно рассмотреть модель, в которой потребитель принимает решение о том, поехать ли ему на машине или на автобусе, исходя из предпочтения одного набора указанных характеристик другому.

Говоря более конкретно, предположим, что предпочтения среднего потребителя в отношении указанных характеристик могут быть представлены функцией полезности вида

U(x₁, x₂, ..., x_n) = ₁x₁ + ₂x₂ + ... + _nx_n,

где коэффициенты ₁, ₂ и так далее — неизвестные параметры. Разумеется, любое монотонное преобразование данной функции полезности не хуже описало бы потребительский выбор, однако с точки зрения статистики, работать с линейной функцией особенно легко.

Предположим теперь, что перед нами ряд сходных между собой потребителей, которые выбирают, поехать на автомобиле или на автобусе, основываясь при этом на конкретных данных о продолжительности времени поездок, об издержках и других характеристиках поездок, с которыми они сталкиваются. В статистике имеются технические приемы, которые можно использовать для нахождения значений коэффициентов _i3, при i = 1,..., n, наиболее подходящих для наблюдаемой структуры выбора, произведенного данным множеством потребителей. Эти технические приемы статистики позволяют вывести оценочную функцию полезности для различных способов транспортного передвижения.

В одном из исследований приводится функция полезности вида¹

U(TW, TT, C) = –0,147TW – 0,0411TT – 2,24C, (4.2)

где TW — общее время ходьбы до автобуса или автомобиля или от него,

TT — общее время поездки в минутах,

C — общая стоимость поездки в долларах.

С помощью оценочной функции полезности, приведенной в книге Доменика и МакФаддена, удалось верно описать выбор между автомобильным и автобусным транспортом для 93% домохозяйств взятой авторами выборки.

Коэффициенты при переменных в уравнении (4.2) показывают удельный вес, приписываемый средним домохозяйством различным характеристикам регулярных поездок на транспорте, т. е. предельную полезность каждой такой характеристики. Отношение одного коэффициента к другому показывает предельную норму замещения одной характеристики другой. Например, отношение предельной полезности времени ходьбы пешком к предельной полезности общей продолжительности поездки указывает на то, что средний потребитель считает время ходьбы пешком примерно в 3 раза более тягостным, чем время поездки. Иными словами, потребитель был бы готов затратить 3 дополнительные минуты на поездку, чтобы сэкономить 1 минуту ходьбы пешком.

Аналогично отношение стоимости поездки к общей продолжительности поездки указывает на выбор среднего потребителя в отношении этих двух переменных. В данном обследовании средний пассажир оценивал минуту времени поездки на транспорте в 0,0411/2,24 = 0,0183 долл. в минуту, что составляет 1,10$ в час. Для сравнения часовая зарплата среднего пассажира в 1967 г. составила около 2,85$ в час.

Такие оценочные функции полезности могут быть очень ценны для определения того, стоит ли осуществлять какие-либо перемены в системе общественного транспорта. Например, в приведенной выше функции полезности одним из важных факторов, объясняющих, чем руководствуются потребители в своем выборе, выступает продолжительность поездки. Городское управление транспортом могло бы при некоторых затратах увеличить число автобусов, чтобы сократить эту общую продолжительность поездки. Но послужит ли дополнительное число пассажиров оправданием возросших затрат?

Исходя из имеющейся функции полезности и выборки потребителей можно сделать прогноз относительно того, какие потребители захотят совершать поездки на автомобиле, а какие предпочтут автобус. Это позволит получить некоторое представление о том, будет ли выручка достаточной для покрытия добавочных издержек.

Кроме того, можно использовать предельную норму замещения для получения представления об оценке каждым потребителем сокращения времени поездок. Как мы видели выше, согласно исследованию Доменика и МакФаддена, средний пассажир в 1967 г. оценивал время поездки по ставке 1,10$ в час. Иными словами, он готов был заплатить около 37 центов, чтобы сократить время поездки на 20 минут. Это число дает нам меру выигрыша в долларах от более своевременного предоставления автобусных услуг. Чтобы определить, стоит ли игра свеч, указанный выигрыш следует сравнить с затратами на это более своевременное предоставление автобусных услуг. Наличие количественной меры выигрыша, безусловно, способствует принятию рациональных решений в области транспортной политики.

Краткие выводы

1. Функция полезности — это просто способ представить ранжирование предпочтений или выразить его в краткой форме. Численные значения уровней полезности не имеют внутреннего смысла.

2. Если дана какая-либо функция полезности, то любая функция, являю-щаяся монотонным преобразованием данной, будет представлять те же самые предпочтения.

3. Предельную норму замещения MRS можно рассчитать, исходя из функции полезности, воспользовавшись формулой MRS = x₂/x₁ = –MU₁/MU₂4.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. В тексте говорится, что возведение в нечетную степень представляет собой монотонное преобразование. А что можно сказать о возведении в четную степень? Является ли оно монотонным преобразованием? (Под-сказка: рассмотрите случай 5f(u) = u².)

2. Какие из указанных преобразований являются монотонными? 1) u = 2v – 136; 2) u = –1/v²7; 3) u = 1/v²; 4) u = lnv8; 5) u = –e^-v; 6) u = v²9; 7) u = v²10 для v > 0; 8) u = v² для v < 0.

3. В тексте утверждается, что в случае монотонных предпочтений диагональная линия, проходящая через начало координат, пересечет каждую кривую безразличия в точности один раз. Можете ли вы дать строгое доказательство этого? (Подсказка: что произошло бы, если бы эта линия пересекла какую-нибудь кривую безразличия дважды?)

4. Какого рода предпочтения представлены функцией полезности вида 11? Что можно сказать в этом смысле о функции полез-ностиv(x₁, x₂) = 13x₁ + 13x₂12?

5. Какого рода предпочтения представлены функцией полезности вида 13? Является ли функция полезности14монотонным преобразованием функции u(x₁, x₂)15?

6. Рассмотрим функцию полезности 16. Предпочтения какого рода она представляет? Является ли функция17 монотонным преобразованием функцииu(x₁, x₂)1819? Является ли функция 20 монотонным преобразованием функцииu(x₁, x₂)2122? 23

7. Можете ли вы объяснить, почему проведение монотонного преобра-зования функции полезности не изменяет предельной нормы замещения?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Во-первых, проясним, что понимается под "предельной полезностью". Как и вообще в экономической теории, слово "предельный" подразумевает всего лишь производную. Поэтому предельная полезность блага 1 есть всего лишь

Обратите внимание на то, что здесь мы применили частную производную, поскольку предельная полезность товара 1 подсчитывается при сохранении количества товара 2 постоянным.

Теперь можно по-иному вывести MRS, чем в тексте, прибегнув для этого к использованию дифференциального исчисления. Сделаем это двумя способами: 1) используя дифференциалы, 2) используя неявные функции.

При первом методе рассмотрим такое изменение (dx₁, dx₂24), при котором полезность остается постоянной. Итак, мы хотим, чтобы

Первый член показывает возрастание полезности в результате малого изменения dx₁25, второй — возрастание полезности в результате малого изменения dx₂26. Мы хотим выбрать эти изменения таким образом, чтобы совокупное изменение полезности du было равным нулю. Выразим dx₂/dx₁27 как

что является просто выведенным с применением математического анализа аналогом приведенного в тексте уравнения (4.1).

При втором методе представим себе, что кривая безразличия описывается функцией x₂(x₁)28. Иначе говоря, для каждого значения x₁29 функция x₂(x₁)3031 показывает, сколько нам нужно x₂32, чтобы попасть на эту конкретную кривую безразличия. Следовательно, функция x₂(x₁)3334 должна удовлетворять тождеству

u(x₁, x₂(x₁))  k,

где k — показатель уровня полезности рассматриваемой кривой безразличия.

Можно продифференцировать обе части этого тождества по x₁35, получив

Заметьте, что x₁36 появляется в этом тождестве в двух местах, так что изменение x₁37 изменит функцию двояким образом, и следует брать производную в каждой точке, где появляется x₁38.

Далее выразим из этого уравнения x₂(x₁)/x₁39 и получим

т. е. в точности тот же результат, что и раньше.

Метод использования неявных функций несколько строже, но метод дифференцирования приводит к результату более прямым путем, если только не сделать какой-то глупой ошибки.

Предположим, что мы проводим монотонное преобразование функции полезности, скажем, функции v(x₁, x₂) = f (u(x₁, x₂))40. Подсчитаем MRS для данной функции полезности. Используя цепное правило взятия производной, получим

так как член f/u41 сокращается в числителе и в знаменателе. Это показывает, что MRS не зависит от того, в каком виде представлена полезность.

Это дает нам полезный способ распознавания предпочтений, представленных разными функциями полезности: если даны две функции полезности, просто подсчитайте предельные нормы замещения и посмотрите, не одинаковы ли они. Если это так, то двум рассматриваемым функциям полезности соответствуют одни и те же кривые безразличия. И если направление возрастания предпочтений для каждой функции полезности одно и то же, то и предпочтения, описываемые этими функциями полезности, должны быть одинаковы.

ПРИМЕР: Предпочтения Кобба — Дугласа

MRS для случая предпочтений Кобба — Дугласа легко подсчитать, используя выведенную выше формулу.

Если выберем представление этих предпочтений с помощью логарифмов, имеющее вид

u(x₁, x₂) = c lnx₁ + d lnx₂,

то получим

Обратите внимание, что в данном случае MRS зависит только от отношения двух параметров и от количества двух товаров.

Что будет, если выбрать для представления рассматриваемых предпочтений степенную функцию Кобба — Дугласа вида

?

Тогда имеем

42

т.е. то же самое, что и раньше. Разумеется, с самого начала было известно, что монотонное преобразование не может изменить предельную норму замещения!

1 То что мы называем здесь "монотонным преобразованием", называют, строго говоря, "положительным монотонным преобразованием", чтобы отличить от "отрицательного монотонного преобразования", изменяющего порядок чисел на обратный. Для обозначения монотонных преобразований иногда используют английское слово "monotonous", что, на наш взгляд, несправедливо, поскольку на самом деле эти преобразования могут представлять значительный интерес.

1 Пол Дуглас — экономист XX века, работал в Чикагском университете, позднее стал сенатором. Чарльз Кобб — математик в Амхерст Колледж. Функцию Кобба — Дугласа первоначально использовали при изучении поведения производителей.

1 Расчет предельной полезности на основе методов математического анализа приведен в приложении к настоящей главе.

1 См. Thomas Domenich и Daniel Mc-Fadden, Urban Travel Demand (North-Holland Publishing Company, 1975). Процедура оценок в этой книге включает, кроме чисто экономических переменных, описанных нами, также и различные демографические характеристики домохозяйств.