- •Комплексні числа. Алгебраїчна, геометрична, тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд
- •Функції із с в с. Границя, неперервність
- •Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
- •Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
- •Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
- •Лінійна функція
- •Дробово-лінійна функція
- •Степенева функція. Поверхня римана
- •Функція жуковського
- •Показникова функція комплексної змінної
- •Тригонометричні функції
- •Логарифмічна функція. Точка розгалудження
- •Радикал. Загальна степенева функція
- •Обернені тригонометричні функції
- •Інтеграл від функції комплексної змінної по кусочно-гладкому контуру
- •Теорема коші
- •Невизначений інтеграл. Формула ньютона-лейбніца
- •Формула коші. Принцип максимума модуля
- •Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
- •Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
- •Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
- •Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження
- •Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана
- •Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається
- •Критерій полюса
- •Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса
- •Раціональні і міроморфні функції
- •Означення ЛишкА. Обчислення лишків
- •Основна теорема теорії лишків
- •Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів
- •Зразки розв'язування задач з теорії функцій комплексної змінної
- •Контрольні роботи Денна форма навчання. 4 курс, 8 семестр Контрольна робота №1
- •Контрольна робота №2
- •Контрольна робота з теорії функції комплексної змінної для студентів 4 курсу (заочна форма навчання)
- •Література
Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
Нехай диференційована в точці, тоді, де,– відстані між,на площиніі їх образами, на площині. Тоді– коефіцієнт розтягу векторапри відображенніплощинина площину.
Геометричний зміст модуля похідної: – коефіцієнт розтягу в точціпри відображенніплощинина площину.
Нехай відображає площинуна площинуі диференційована в точці.
Розглянемо криву і образпри відображенніпозначимо.
Якщо , то,– січна,– січна,– кут нахилу січноїдо,– кут нахилу січноїдо.
При січні,прямують до дотичних в точках,до кривихівідповідно, а,до кутівіміж відповідними дотичними і осями,відповідно. Тоді, тобто. Звідси – кут повороту дотичної до кривої в точціплощинипри переході до її образуі к точці.
Приклад
–відображає площину на площину. При цьому, тобтоі, тобто при відображенні площинарозтягується враз і повертається на кут –.
Вправи
Знайти коефіцієнт розтягнення і кут повороту при заданих відображеннях в заданих точках
1. ;
2. ;
3. .Знайти , в яких коефіцієнт розтягнення дорівнює 1.
Яка частина комплексної площини розтягується, а яка стискається (вправи 4, 5, 6).
4. ;
5. ;
6. ;
7. . Знайти, в яких кут повороту дорівнює нулю.
Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
Означення: Функція диференційована в кожній точці областіназиваєтьсяаналітичною в області .
Означення: Функція називається аналітичною в точці, якщо вона аналітична в деякому околі точки.
З властивостей похідної слідує, що справедливі твердження:
1) якщо ,аналітичні в, то– аналітична всюди, де;
2) якщо ваналітична, ааналітична в області, що є образомпри відображенні, то функціяаналітична в:
3) якщо аналітична ві, , то в областізначень функціївизначена обернена функція– аналітична в, причому.
Приклад 1
–аналітична () у всій площині окрім точки.
Приклад 2
–аналітична функція окрім точок , в яких знаменник перетворюється в нуль.
Нехай відображає площинуz у площину . Розглянемо на площиніz дві довільні гладкі криві , які перетинаються у точці.
Якщо при відображенні кривіпереходять у кривівідповідно (перетинаються у точці), кути між кривимиу точціта кривимиурівні, то кажуть, що відображенняу точцімає властивість збереження кутів.
Нехай відображення площиниz у площину . Розглянемо у площиніz трикутник з вершиною в точці та довільними нескінченно малими лінійними елементами,, які виходять з. Якщо при відображеннівін переходе у трикутник з вершиною в точці, який подібний вихідному, з точністю до нескінченно малої більш високого порядку, ніж сторони вихідного трикутника, то кажуть, що відображенняв точцімає властивість постійності розтягування.
Означення: Взаємо-однозначне відображення області комплексної площиниz на область D комплексної площини називаєтьсяконформним, якщо це відображення у всіх точках zмає властивість збереження кутів і постійності розтягування.
Якщо кути при відображені не змінюють направлень, то кажуть про конформне відображення І-го роду. Якщо кути змінюють направлення на протилежні, то кажуть про конформне відображення ІІ-го роду.
Крім того, кажуть, що відображення конформне унескінченно віддаленій точці, якщо відображає початокz=0 конформно у площину .
Теорема: Для того, щоб функція реалізувала конформне відображення І-го роду області, необхідно і достатньо, щоб в цій області функціябула:
однолистою;
аналітичною;
для будь-якого z;
Доведення: див. [2, с. 107], [1, 146].
Приклад 1: відображає площинуz на конформно, бо.
Приклад 2: дзеркальне відображення відносно осіOx, змінює напрям кутів на протилежний. Таким чином – конформне відображення ІІ-го роду (хоча функція не аналітична!)
Вправи
Знайти точки, в яких відображення конформне (І-го роду).
1) ;
2);
3);
4).
Чи конформні відображення у нескінченно віддаленій точці
5);
6) ;
7) ;
8).
Покажіть, що відображення здійснюють конформне відображення ІІ-го роду
9);
10) , задовольняє теоремі.