- •С. Колеснік
- •Збірник контрольних робіт. Аналітична геометрія та лінійна
- •Контрольна робота № 1
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №1
- •Розв’язання
- •Контрольна робота № 2
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №2
- •Контрольна робота № 3
- •1. Перевірити чи утворюють наступні множини векторні простори над полем дійсних чисел r
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 3
- •Розв’язання.Нехай м- множина всіх квадратних матриць порядку n з дійсними елементами. Покажемо, що м-абелева група відносно операції додавання.
- •Контрольна робота № 4
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 4 і. Для квадратичної форми fзнайти:
- •Контрольна робота №5.
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №5
- •Контрольна робота № 6
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 6
- •Контрольна робота №7
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 7
- •Контрольна робота № 8.
- •Зразки роз`язання задач контрольної роботи № 8
- •Для простого модуля старший коефіцієнт взаємнопростий з ним. Визначимо множник k так, щоб . Матимемо . Домножаючи обидві частини заданої конгруенції на 10 за модулем 13, дістаємо
- •Контрольна робота № 9
- •Зразки розв‘язання задач контрольної роботи № 9
- •Тоді з рівності
- •Додаток: таблиці первісних коренів та індексів
- •Література
- •Методичне видання
Контрольна робота № 3
1. Перевірити чи утворюють наступні множини векторні простори над полем дійсних чисел r
Сукупність векторів площини, початок кожного з яких збігається з початком координат, а кінець міститься в першій або четвертій координатних четвертях;
Множина многочленів степенявід однієї змінної дійсними коефіцієнтами;
Множина всіх функцій, неперервних на відрізку
Множина всіх збіжних послідовностей;
Множина квадратних матриць порядку n відносно звичайних операцій додавання матриць і множення їх на число.
Множина всіх многочленів f (х), що задовольняють умові f(0)= 1 відносно додавання многочленів і множення їх на число;
Множина комплексних чисел (зокрема, розглянути множину над полем раціональних чисел відносно звичайних операцій додавання і множення їх на число);
Множина всіх функцій, інтегрованих на відрізку ;
Розв’язки довільної системи лінійних однорідних рівнянь над деяким полемP.
Множина P додатних чисел з наступними операціями: додавання - для будь-яких “х+у=ху”, множення на число з поля K0- для будь-яких і.
ІІ. Довести, що векториутворюють базис та знайти координати векторав цьому базисі.
Таблиця параметрів:
-
Варіант
параметр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
1
2
-1
-3
3
-2
1
-2
3
0
b
7
1
2
1
-2
3
0
-3
7
-5
c
-1
-3
-3
4
1
5
3
5
-1
4
ІІІ. Довести, що кожна з двох даних систем векторів є базисом і знайти зв’язок між координатами того самого довільно вибраного вектора в цих двох базисах.
7
8.
9.
10.
ІV. Знайти базиси суми і перетину векторних підпросторів V і U, заданих як лінійні оболонки векторів a 1, a 2, ... ak і b1 , b2,…. ,b і відповідно.
Таблиця параметрів
Варіант параметр |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
e1 |
4 |
4 |
-2 |
5 |
5 |
3 |
5 |
-4 |
-5 |
-2
|
e2 |
2 |
-2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
-2 |
-2 |
-4 |
-7
|
e3 |
5 |
-1 |
3 |
8 |
7 |
4 |
1 |
-5 |
-8 |
-2
|
t1 |
2 |
-2 |
2 |
4 |
2 |
4 |
-2 |
-2 |
-4 |
-7
|
t2 |
5 |
-3 |
3 |
9 |
6 |
7 |
-2 |
-5 |
-9 |
-2 |
t3 |
8 |
-4 |
4 |
14 |
10 |
10 |
-2 |
-8 |
-14 |
-6 |
V. На вектори ,,натягнута лінійна оболонкаL
а) побудувати ортонормований базис простору L;
б) знайти ортогональне доповнення ;
в) знайти відповідно проекції івекторана підпросториі
г) знайти кут між вектором і простором;
д) знайти відстань між вектором і підпростором;
Таблиця параметрів
Варіант параметр |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
а1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
а2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
а3 |
-2 |
1 |
1 |
0 |
2 |
2 |
-1 |
1 |
3 |
1 |
а4 |
2 |
-1 |
1 |
-2 |
1 |
-1 |
-2 |
-1 |
-1 |
1 |
b1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
5 |
1 |
7 |
2 |
b2 |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
8 |
-5 |
4 |
3 |
b3 |
1 |
3 |
2 |
-1 |
1 |
-5 |
-2 |
1 |
3 |
3 |
b4 |
3 |
0 |
-1 |
1 |
-1 |
3 |
-3 |
3 |
-3 |
1 |
c1 |
4 |
1 |
1 |
3 |
2 |
5 |
3 |
3 |
1 |
1 |
c2 |
2 |
2 |
0 |
2 |
-1 |
9 |
9 |
3 |
1 |
1 |
c3 |
-1 |
8 |
0 |
-1 |
3 |
3 |
3 |
4 |
-6 |
1 |
c4 |
7 |
1 |
3 |
-1 |
0 |
-7 |
8 |
-4 |
0 |
5 |
x1 |
3 |
5 |
4 |
1 |
8 |
2 |
1 |
1 |
-1 |
2 |
x2 |
-2 |
2 |
-1 |
2 |
5 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
-1 |
x3 |
-1 |
-2 |
-3 |
-3 |
-3 |
-1 |
3 |
2 |
-3 |
3 |
x4 |
0 |
2 |
4 |
5 |
6 |
3 |
4 |
7 |
2 |
1 |
VІ. Довести, що множення кожної квадратичної матриці другого
порядку з дійсними елементами зліва на матрицю є лінійним оператором векторного простору квадратних матриць другого порядку над полем дійсних чисел R. Знайти матрицю цього лінійного оператора у базисі, що складається з матриць:
E1 =; =; = ;
VІІ. Нехай лінійний оператор A в базисі а = < а1, а2 > має матрицю , а лінійний оператор B у базисі b=<b1,b2,> має матрицю . Знайти матрицю Х лінійного оператора AB в базисі, в якому задано координати всіх векторів.
Таблиця параметрів
Варіант параметр |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
а1 |
(-3,-1) |
(1,3) |
(1,-1) |
(-1,2) |
(2,3) |
(1,7) |
(2,-3) |
(4,1) |
(3,1) |
(1,-4)
|
а2 |
(7,2) |
(2,5) |
(7,2) |
(3,1) |
(1,5) |
(5,2) |
(1,2) |
(5,3) |
(-1,4) |
(3,2)
|
б1 |
(3,2) |
(-1,2) |
(1,3) |
(2,-1) |
(1,2) |
(-1,3) |
(1,1) |
(-2,-1) |
(1,5) |
(2,1)
|
б2 |
(4,3) |
(3,2) |
(4,2) |
(1,1) |
(3,4) |
(2,3) |
(2,0) |
(3,4) |
(3,2) |
(-1,1)
|
VІІІ. Побудувати ядро A область значень ImA, та знайти ранг r=dim(ImA), дефект d=dim(KerA) лінійного оператора A векторного простору L3, який у деякому базисі цього простору B=< заданий своєю матрицею:
2.3.
4.; 5.A=; 6.
7.A=; 8. A=; 9. A=;
10.A=;
IX. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора A, заданого в деякому базисі B=<b1,b2,b3> цього простору матрицями n.VIII.
X. Чи зводиться відповідна матриця А n.VIII n. IX лінійного оператора A векторного простору V3 до діагонального виду за допомогою переходу до іншого базису? Знайти цей базис і відповідну йому матрицю.