- •Программа
- •2. Место дисциплины (модуля) «Математика» в структуре ооп:
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины (модуля) «Математика»:
- •4. Общий объем дисциплины (модуля) «Математика».
- •5. Содержание дисциплины (модуля) «Математика».
- •5.1. Содержание разделов дисциплины (модуля) «Математика»:
- •5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами:
- •6.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
- •7. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
- •8. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
- •Раздел 7.Основы дифференциального исчисления (модуль):
- •Раздел 8. Неопределенный и определенный интегралы (модуль):
- •I курс:
- •II курс:
- •1 Курс.
- •II курс.
- •1, 2, 5
5. Содержание дисциплины (модуля) «Математика».
5.1. Содержание разделов дисциплины (модуля) «Математика»:
Раздел 1. Матрицы. Определители:
|
Тема 1. Матрицы. Операции над матрицами.Понятие матрицы, виды матриц. Действия над матрицами и их свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую степень, транспонирование.Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы. |
Тема 2. Определители и их свойства.Основные понятия. Вычисление определителей 2-3 порядка, правило Сарруса. Свойства определителей. Дополнительный минор, алгебраическое дополнение. Разложение определителей по элементам некоторого ряда. |
|
Тема 4.Использование алгебры матриц на практике. Система линейных уравнений, стремящихся к неизвестным х,у,z.Решение ее по правилу Крамера.
|
Раздел 2. Системы линейных уравнений:
|
Тема 5. Системы линейных уравнений.Совместная, несовместная, определенная, неопределенная СЛУ. Матричный способ решения СЛУ. Формулы Крамера. |
Тема 6. Матричная форма системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса, метод Крамера, матричный способ решения систем линейных уравнений. Задачи с экономическим содержанием на составление систем линейных уравнений. |
Раздел 3. Векторы:
|
Тема 7.Векторы. Понятие и основные свойства вектора. Операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Угол между векторами |
Тема 8. Линейная зависимость векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и ранг системы векторов. Представление векторов в произвольном базисе. Разложение вектора в ортогональном базисе. |
Раздел 4. Элементы аналитической геометрии:
|
Тема 9.Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямые и плоскости в аффинном пространстве. Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. |
Тема 10. Линии второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка. |
Раздел 5. Числовые последовательности:
|
Тема 11.Понятие числовой последовательности. Операции над числовыми последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. |
Тема 12.Сходящиеся последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Предел числовой последовательности. Типы неопределенностей. Раскрытие неопределенностей Монотонные последовательности. Число е. Использование пределов последовательностей в экономике: финансовые задачи и задачи демографии. |
Тема 13.Функций одной переменной. Понятие функции одной переменной. Область определения функции. Таблицы и графики функции. Кривые спроса и предложения. Паутинная модель рынка. |
Тема 14. Предел функции. Предел функции в точке. Левый и правый пределы. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Использование второго замечательного предела в финансовых вычислениях. Методы вычисления пределов функции |
Раздел 6. Функции. Основные элементарные функции:
|
Тема 15.Непрерывность функций. Определение непрерывности функции. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность рациональных функций. Точки разрыва функции и их классификация. |
Тема 16.Функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. Некоторые виды функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции нескольких переменных |
Тема 17.Функции нескольких переменных в задачах экономики. Экстремум функции нескольких переменных. Прибыль от производства разных видов товара. Оптимальное распределение ресурсов. Максимизации прибыли производства двух товаров. Оптимизация спроса. |
Тема 18.Исследование и построение графиков экономических функций. Исследование и построение графиков экономических функций: функции полезности, описывающей поведение «богатого» покупателя, «бедного» покупателя . Построение графика функции, описывающей динамику изменения цены. Построение графика функции, описывающей закон убывающей эффективности производства. |
Раздел 7. Основы дифференциального исчисления: |
Тема 19.Основы дифференциального исчисления. Понятие производной. Геометрически, физический, экономический смысл производной. Понятие дифференцируемости функции. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции. Правило Лопиталя. |
Тема 20. Применение производных в исследовании функций. Производные высших порядков. Признак монотонности функции. Точки локального экстремума. Выпуклость и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Схема исследования графика функции. Построение графиков функции. |
Тема 21.Частные производные функции нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Определение и необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия экстремума. Максимальное и минимальное значение функции в замкнутой области. Понятие о выпуклых множествах. |
Тема 22.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка. Геометрический смысл уравнения первого порядка |
Тема 23.Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения с разделяющимися переменными. Метод разделения переменных. Задача Коши. |
Тема 24.Линейные уравнения. Определение линейного уравнения. Однородное линейное уравнение. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом вариации произвольной постоянной. |
Тема 25.Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Основные понятия. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Три случая комбинации корней. Понятие комплексного числа.
|
Тема 26.Применение производных в экономике. Средние и предельные издержки, эластичность спроса, оптимизация финансовых накоплений, оптимизация налогообложения, закон убывающей эффективности производства |
Раздел 8. Неопределенный и определенный интегралы: |
Тема 27.Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Основные неопределенные интегралы. Непосредственное интегрирование. |
Тема 28. Основные методы интегрирования: метод подстановки. Замена переменной интегрирования. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Некоторые особенности методы подстановок. |
Тема 29.Основные методы интегрирования: интегрирование по частям. Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям. Выбор в подынтегральном выражении сомножителей. Рекуррентные формулы вычисления интегралов. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. |
Тема 30.Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложение определенного интеграла в экономике.
|
Активные и интерактивные формы обучения:
Наименование темы. Форма и ее описание.
| |||||||||||
Тема 2. Определители и их свойства: Круглый стол. Аргументировать свои соображения и излагать мысли о нескольких взаимосвязанных по содержанию списков, состоящих из одинакового количества чисел. Студенты называют, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом месяце квартала или нормы затрат ресурсов нескольких видов на производство продукции. Основываясь на этих примерах, приведенных студентами в ходе тематической дискуссии в группе, преподаватель делает вывод о том, что такие числовые данные удобно записывать в виде прямоугольных таблиц, которые называются матрицами, состоящими из m строк и n столбцов. Эти числа таблицы называются элементами матриц. В ходе беседы студенты обосновывают, аргументируют свои соображения о практическом применении квадратной матрицы, введя новое алгебраическое понятие определителя (или детерминанта), которое обозначается как |А|; det А или ∆. Основываясь на результатах дискуссии студентов за круглым столом, преподаватель делает вывод о том, что определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1) n+m, где n-число строк, m-число столбцов определителя. Для закрепления данной темы преподаватель совместно с группой решает следующую задачу: Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей А=). Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей – строкой В= (10 15).Нужно определить общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида,200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида. | |||||||||||
Тема 3.Обратные матрицы: Проблемностьв изучении данной темы (выделение проблемы, поиск путей ее решения, выявление и разрешение противоречий). Матрица А-1называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица Е, т.е. А-1·А = А·А-1=Е. Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную матрицу А-1и обратная матрица является квадратной того же порядка. Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Почему? Возникла проблема. На основе коллективного обсуждения данной проблемы приходим к выводу: действительно, А-1=, т.е. необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является требование, чтобы |А|≠0. Если определитель матрицы |А|≠0, то такая квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если |А|=0, то такая матрица называется вырожденной или особенной. Таким образом, студенты выясняют, что необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы А-1является то, что исходная матрица А должна быть невырожденной, т.е. |А|≠0. Исходя из полученных выводов, преподаватель формулирует алгоритм вычисления обратной матрицы: 1.Вычисляем определитель исходной матрицы ∆= |А|=det А. Если ∆=|А|=0, то матрица А – вырожденная и обратной матрицы А-1не существует. Если ∆=|А|≠0, то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1существует. 2.Находим матрицу А′, транспонированную к А. 3.Находим алгебраическое дополнение элементов транспонированной матрицы А′ ij= А ij(i=1,2,3…n;j=1,2,3…n) и составляем из них присоединенную матрицу Ã: ãij= А′ij= Ãij(i=1,2,3…nиj=1,2,3…n). 4.Вычисляем обратную матрицу по формуле А-1=·Ã. 5.Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А-1, исходя из А-1·А= А-1·А=E. Далее студенты определяют матрицу, обратную к данной матрице A=. | |||||||||||
Тема 4. Использование алгебры матриц на практике: Творческое задание -это учебное задание, которое требует от студента не простого воспроизводства информации (знаний и умений) и содержит несколько подходов решения. Например: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и правилом Крамера, используя матрицы и
| |||||||||||
Тема 5. Системы линейных уравнений: Мозговой штурм, который используется на предприятиях для поиска нетрадиционных решений различных задач, также часто используется при тупиковых и проблемных ситуациях. Учебной группе предлагается следующая экономическая задача: найти оптимальный план перевозок машин, если с двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых составляют 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй - 150 машин. В таблице даны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство:
Студенты предлагают различные методы решения задачи: составление уравнений, выражающих зависимость количества машин, поставляемых с 1 и 2 заводов первому и второму автохозяйству, потребности которых, соответственно равны 200 и 300 машин. Для активизации процесса генерирования идей студентами в ходе «штурма» (определение формул зависимости) преподаватель использует некоторые интересные приемы: -инверсия (сделай наоборот), т.е. по затратам определить количество выпускаемых машин каждым заводом, -аналогия (сделай так, как это сделано в таблице), т.е. определить зависимость между затратами на перевозку в автохозяйство и количеством выпускаемых машин каждым заводом (350 и 150) машин и потребностью каждого автохозяйства (200 и 300) машин, - эмпатия (т.е. считайте себя участником данной задачи: работником 1 и 2 завода и 1 и 2-го автохозяйства и попытайтесь найти оптимальный план перевозок автомашин с заводов на автохозяйства:1 и 2). Далее преподаватель совместно со студентами составляет систему уравнений:
Решая данную систему уравнений методом Гаусса (метод треугольника), находим: x11=5,x12=300,x21=150,x22=0. Т.к. ранг матрицы = 4, т.е. m =n=4, поэтому система имеет единственное решение. | |||||||||||
Тема 6. Матричная форма системы уравнений: Творческое задание - это выполнение группового творческого проекта, например, использование матричной формы системы уравнений для рассмотрения процесса производства за некоторый период времени (например, год). Для решения данной задачи студенты используют знания по экономике: хi– общий (валовой) объем продукцииi-ой отрасли (i=1;2;3;…n); хij- объем продукции i-ой отрасли,потребляемой j-ой отраслью в процессепроизводства (i,j=1;2;3;...n); y-объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления. В процессе выполнения творческого задания студенты выясняют, что валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, т.е. хi=х ij+ у I , где i=1,2,3,...n. Преподаватель уточняет, что эти уравнения называются соотношениями баланса. Введем коэффициенты прямых затрат: аij=, (где I; j=1,2,…n), которые показывают затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли. Коэффициенты аij будут постоянными, и это означает, что материальные затраты линейно зависят от объема валового выпуска, т.е. х ij= а ij·х (i; j=1,2,..n). Тогда модель межотраслевого баланса примет следующий вид: х i=(а ij·х j+у i) , где i=1,2,3,...n. Используя матричную форму системы уравнений, можно записать X=;A=иY=,
где X- вектор валового выпуска,Y-вектор конечного продукта, А-матрица прямых затрат (технологическая и структурная матрица). Поэтому для любого вектора конечного продуктаYможно найти необходимый объем валового выпускаXпо формуле: X=(Е-А) -1·Y, гдеS=(E-A) -1 - матрица полных затрат, где Е=-единичная матрица.
| |||||||||||
Тема 7. Понятие и основные свойства вектора. Операции над векторами: Метод проектов - выполнение индивидуального и группового творческого задания по сложению и умножению векторов. Основываясь на школьных знаниях студентов преподаватель делает вывод о том, что вектором называется направленный отрезок, где точка А означает начало вектора, точка В – его конец. В процессе группового обсуждения множества n-мерных векторов определяются основные свойства линейных действий над векторами: 1. Сложение векторов 1) +=+(коммутативность) 2) + (+) = (+)+(ассоциативность) 3) +0 = 2.Умножение вектора на число: 4) λ·ϻ() =λ(ϻ· ) (ассоциативность) 5) λ(+) =λ·+ λ·(дистрибутивность) 6) (λ+ϻ) =λ·+ϻ·(дистрибутивность относительно сложения чисел) 7) 0·= 8) λ·= 9) -=+(-1)·
После группового изучения основных понятий и операций над векторами произведение векторов: ·=||·||·cosφ и ·=||·||·sinφ где φ-угол меду векторами и . Индивидуальные творческие задания студентам: установить, компланарны ли векторы ,,, если: 1) ={2;3;-1}; ={1;-1;3}; ={1;9;-1}. 2) ={3;-2;1};={2;1;2}; ={3;-1;-2}. 3) ={2;-1;2};={1;2;-3}; ={3;-4;7}.
Групповое творческое задание студентам: вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (2,-1,1), В (4,1,-2), С (4,1,3). | |||||||||||
Тема 9. Элементы аналитической геометрии. Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка: Дискуссия -всестороннее обсуждение(коллективное) данной темы в группе. На основе знаний по математике (средняя школа) преподаватель ставит вопрос пред студентами, как можно представить линию на координатной плоскости. Студенты в ходе дискуссии уточняют, что линию на координатной плоскости можно задать уравнением с 2 переменными, как f (х;у) и множеством решений (х;у) которого является множество координат точек данной линии. Преподаватель дополняет что, иными словами, если точка М (х;у) лежит на линии, то координата любой точки М (х;у) удовлетворяют уравнению f (х;у)=0, а если она не лежит на этой линии, то координаты точки не удовлетворяют данному уравнению. Студенты уточняют, что уравнение прямой линии, проходящей через точку В (0;в) и составляющей угол с осью ох, равный ϕ определяется формулой:. Данное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентомkи начальной ординатой у0=bпри х=х0=0. Преподаватель разъясняет, что общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: Ах+Ву+С=0, где А,В,С- действительные числа, при этом А,В одновременно не равны нулю, т.е. А2+В2≠0. Преподаватель спрашивает, как найти угловой коэффициент (k) прямой, проходящей через 2 данные точки А (х1; у1) и В (х2;у2), где х1≠х2? Коэффициент этой прямой (k) можно найти по формуле: k=и из общего уравнения прямойk=tgх=. Тогдаk=tgх==. Далее преподаватель дает задание для самостоятельного определения студентами уравнения прямой на плоскости: в прошлом году средняя цена данного товара была 30 руб., а в настоящем году 36 руб. Найти зависимость цены товара от номера года при условии, что тенденция роста цены сохранится, т.е. цена будет увеличиваться ежегодно на одну и ту же величину. Составить прогноз цены на 5 лет вперед. Решение: , отсюдаy=30+(х - х)=
| |||||||||||
Тема11.Понятие числовой последовательности. Операции над числовыми последовательностями: Методика «Попс-формула», которая позволяет студентами аргументировать свою точку зрения по решению своей точки зрения. Попс-формула состоит из 4-ех элементов 1) П - позиция (в чем заключается сущность вашей точки зрения); 2) О - обоснование (довод в поддержку вашей позиции) 3) П - пример (факты , иллюстрирующие довод); 4) С - следствие (вывод). Индивидуальное задание студентам, которое нужно выполнить с использованием методики «ПОПС-формула»: Дана формула общего элемента последовательности x n=. Вычислить пять первых членов последовательности.
| |||||||||||
Тема 12.Сходящиеся последовательности: Групповое обсуждениепо теме «Сходящиеся последовательности» направлено на нахождение предела последовательности его частичных сумм, т.е. Sn=S. Например, исследовать путем группового обсуждения сходимость геометрического ряда, т.е. числового ряда, составленного из членов геометрической прогрессии: b1+b1q+b1q2+…b1qn-1+…+=
Используя знания школьного курса алгебры, студенты объясняют, что сумма n-членов геометрической прогрессии, т.е. n-я частичная сумма ряда при q≠1 равна S= В ходе обсуждения студенты выявляют, что здесь возможно несколько случаев: 1) Если |q|<1, то Sn==, т.к. qn=0; 2) Если |q|>1, то qn=∞,следовательно Sn=∞, тогда последовательность чисел расходится; 3) Если q=1, то Sn==n·b1и Sn=n·b1=∞; 4) Если q=-1, то Sn=, при n-четном; и Sn=приn-нечетном. Таким образом, геометрически ряд сходится к сумме S=при |q|< 1 и расходится при |q|≥1. Обобщая результаты группового обсуждения студентов, преподаватель делает вывод: если числовая последовательность сходится, то предел его общего члена Unприn→∞ равен нулю, т.е. Un=0 (необходимое условие числовой последовательности).
|
Тема 14.Предел функции. Методы вычисления пределов функций: Интерактивный подход-фокус-группа -это сообщество студентов, объединенных в группы по определенным критериям , например, по результатам оценок, поученных ими в ЕГЭ в средней школе по математике (1 подгруппа – отличники;2 подгруппа-студенты, получившие на выпускных экзаменах оценки «хорошо»). Например, используя определение, что число А называется пределом функции f (х) в точке х=х0, если для любого числа ε>0 существует число δ>0 такое, что для всех хX,x≠x0удовлетворяющих неравенству |x≠x0|< δ, выполняется неравенство |f(x)-A|< ε. Используя данное определение, доказать непрерывность и найти предел данных функций: 1-подгруппа (отличники): Решение: определим значения функций sinх и соs2х при x0=. sinx 0=sin=1 – функция непрерывна. cos2x0=cos·2=cosπ=-1 – функция непрерывна. ===1
Значит функция непрерывна, а предел =1
2-подгруппа (оценки 4,5): f(x)=3x2+2x+1 в точкеx=x0=1. Решение: (3x2+2x+1)= ++=3·1·1+2·1+1=6 – функцияf(x)- непрерывна и f(x)= (3x2+2x+1)=6.
|
Тема 15. Непрерывность функций. Определение непрерывности функции: Круглый стол - выработка у студентов знаний о непрерывности функций, умения излагать свои мысли, аргументировать свои соображения, обосновывать предлагаемые решения и отстаивать свои подходы. Преподаватель за круглым столом со студентами доказывает непрерывность функции у=sin х. Для этого определяется разность и предел разности. Используя понятие «О» малое в итоге получаем,что функция у=Sn=0.Это означает,что функция непрерывна в точке в любой точке х числовой оси.
|
Тема16.Функции нескольких переменных: Диалоговое обучение-в ходе которого осуществляется взаимодействие между студентами и преподавателем и между студентами. Студентам рекомендуется привести примеры из области экономики, которым присуща многофакторная зависимость. На основе анализа приведенных примеров преподаватель дает определение понятия функции нескольких переменных: переменная величина z пространственной системе координат называется функцией двух переменных х,у, если каждой совокупности их значений из данной области Д соответствует единственное определенное значение z. -Как записывается зависимость переменной z от двух переменных х,у?,-задается вопрос студентам. Обобщая результаты диалоговой беседы, преподаватель записывает соответствующую зависимость в виде как z=f(х,у) или z=z(х,у).Если имеется n переменных величин х,у,…..,z,то функциональная зависимость имеет вид z=f(х,у…….z)/ Вопрос студентам: Что характеризует зависимость направления и величины максимальной скорости изменения функции в данной точке? Обобщая различные ответы студентов, преподаватель делает окончательный вывод о том, что зависимость направления и величины изменения максимальной скорости функции в данной точке характеризует градиент функции. Градиентом функции z=z(х,у) в данной точке М(х,у) называется вектор с координатами dz / dх и dz /dу,который обозначается как grаd z = (dz / dх; dz /dу).В ходе беседы преподавателя со студентами и беседы между самими студентами определяются основные свойства градиента: 1.Градиент (вектор) перпендикулярен к линии уровня функции. 2.Градиент (вектор) направлен в сторону возрастания функции. 3Длина градиента (величина вектора) равна максимальной величине производной по направлению в данной точке, т.е. производная по направлению принимает максимальное значение в том направлении, куда «смотрит» градиент функции.
|
Тема 17. Функции нескольких переменных в задачах экономики: Групповое обсуждение, которое направлено на нахождение истины и оптимального пути решения задачи. Например: доказать, что в точках экстремума (максимума, минимума) первая производная функции y=f (x) равняется нулю. Правило проведения группового обсуждения: -назначить лидера (студента), руководящего ходом группового обсуждения, - определить алгоритм решения задачи путем группового обсуждения, - определить экстремальные точки (максимум, минимум) для функций: y=2x2+ 4x+5 и y= -x 2+2x+4 и построить графики функций. |
Тема 18. Исследование и построение графиков экономических функций: Групповое обсуждение, которое направлено на построение графиков экономических функций на основе знаний о графиках основных функций. На основе школьных знаний о функциях студентам предлагается строить графики следующих основных элементарных функций: 1.Степенная функция: у=хn,где n-любое действительное число. 2.Показательная функция:у=ах 3.Логарифимическая функция:у=logах. 4.Тригонометрическая функция: у= Sinх; у=Cosх ; у=tgх ;у=Cotх. 5.Обратные тригонометрические функции:у=аrctgх;у=аrcSinх; у=аrcCosх;у=аrcCtgх. Основываясь на этих знаниях студентов преподаватель объясняет наиболее часто используемые в экономике функции: 1.Функция полезности (т.е. зависимость результата от эффекта некоторого действия и от уровня интенсивности этого действия). 2.Производственная функция- зависимость результатов производственной деятельности от обусловивших факторов. 3.Функция выпуска-зависимость объема производства от наличия и потребления ресурсов 4.Функция издержек-зависимость издержек производства от объема продукции 5.Функция спроса-зависимость объема спроса на отдельные товары от различных факторов (например, цены, дохода и др.)
|