МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

ДОНЕЦЬКІЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра АТ

«Спеціальні розділи математики»

Частина

«Теорія ймовірностей і математична статистика»

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

Розглянутий на засіданні кафедри

«Автоматика та телекомунікації»

протокол № 9 від 29серпня 2013р.

Донецьк – 2013

Долгіх І.П.

Спеціальні розділи математики. Частина «Теорія ймовірностей і математична статистика»(опорний конспект лекцій. - Навчальна література. - Донецьк. - ДонНТУ. - 2013.

Для студентів денної та заочної форм навчання напрямів підготовки 6.050201 «Системна інженерія», спеціалізація «Системи управління та автоматика»

ЗМІСТ

ЧАСТЬ I ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	5
1 Основные понятия теории вероятностей	5
2 Основные теоремы теории вероятностей	28
3 Случайные величины	62
4. Система двух СВ (двумерная СВ)	118
ЧАСТЬ II МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА	152
5 Элементы математической статистики	153
6 Элементы корреляционного анализа	202
7 Элементы регрессионного анализа	215
8 Элементы дисперсионного анализа	223

Специальные разделы метематики

Теория вероятностей и математическая статистика

Литература

Основная

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика – М., 1999

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике – М., 1999

Дополнительная

3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.,1964

4. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение теорию вероятностей – М., 1982

Часть I

Теория вероятностей

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в массовых однородных, т.е. многократно наблюдаемых при осуществлении одних и тех же условий, случайных событиях.

Теория вероятностей не предсказывает исход отдельного случайного явления.

1 Основные понятия теории

вероятностей

1. Испытания и события

Испытание (опыт, эксперимент) – реализация определенного комплекса условий, который может быть повторен неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Пример:

1. Подбрасывание монеты.

2. Стрельба по некоторой цели.

Событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, или другими словами – это результат опыта независимо от его значения.

Пример:

1. При подбрасывании монеты событием может быть выпадение «герба», выпадение «цифры».

2. При стрельбе по некоторой цели событием может быть поражение цели, промах, поражение определенного сектора цели.

События относительно их появления подразделяется на три группы:

1. достоверные;

2. невозможные;

3. случайные.

Достоверное событие – событие, которое всегда произойдет в результате испытания.

Пример:

1. При подбрасывании монеты выпадение «герба» или «цифры» есть событие достоверное.

2. При наблюдении за состоянием воды в сосуде при нормальном атмосферном давлении и температуре 20⁰С событие «вода в сосуде находиться в жидком состоянии» есть событие достоверное.

Невозможное событие – событие, которое никогда не произойдет в результате испытания.

Пример:

1. При подбрасывании монеты выпадение «герба» и «цифры» является событиями невозможным.

2. При наблюдении за состоянием воды при нормальном атмосферном давлении и температуре 20⁰С событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» является событием невозможным.

Случайное событие – событие, которое в результате испытания может произойти или не произойти, либо при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Пример:

1. При бросании игральной кости выпадение 6-ти очков есть событие случайное.

2. При стрельбе по цели поражение цели, попадание в определенный сектор цели являются случайными событиями.

События как объекты исследования разделяются на две группы:

1. простые;

2. сложные.

Простое событие (элементарный исход) – один из возможных результатов опыта, исключающий появление других результатов. Другими словами простое событие – это результат одного и только одного опыта.

Пример:

1. При подбрасывании одной монеты выпадение «герба» - простое событие.

2. При одновременном подбрасывании двух монет выпадение двух «гербов», выпадение двух «цифр» являются простыми событиями.

Сложное событие – событие, которое можно разложить на простые события. Другими словами сложное событие – это комбинация простых событий с помощью логических операций.

Пример:

1. При подбрасывании одной монеты выпадение «герба» или «цифры», а также выпадение «герба» и «цифры» есть сложные события.

2. При одновременном подбрасывании двух монет выпадение «герба» на любой из монет – это сложное событие.

События по отношению друг к другу подразделяются на :

1. несовместные;

2. совместные;

3. зависимые;

4. независимые;

5. равновозможные;

6. равновероятные;

7. образующие полную группу;

8. противоположные.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример:

1. Выпадение «герба», выпадение «цифры» - несовместные события.

2. Попадание и промах при одном выстреле – несовместные события.

3. Ни одного попадания, одно попадание, два попадания – несовместные события при двух выстрелах по мишени.

События называются совместными, если появление одного события не исключает появления других событий в данном испытании.

Пример:

1. Два спортсмена стреляют один раз. События «попадание первого спортсмена» и «попадание второго спортсмена» - совместные.

2. При одновременном подбрасывании монеты и игральной кости события «выпадения 2-х очков» и «выпадение герба» являются совместными.

События в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример:

1. Выпадение «герба», выпадение «цифры» при бросании монеты один раз.

2. Появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при однократном бросании игральной кости.

3. Появление карты бубновой, червовой, трефовой, пиковой масти при вынимании карты из колоды.

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример:

1. Выпадение «герба», выпадение «цифры» при бросании монеты образуют

полную группу событий.

2. Попадание, промах при выстреле – полная группа событий.

3. Хотя бы одно попадание, хотя бы один промах при выстрелах - полная группа событий.

4. Появление не менее 3-х очков, появление не более 4-х очков при бросании игральной кости образуют полную группу событий.

Противоположными называются два несовместных события, образующих полную группу. Иногда говорят, событие называется противоположным событию, если оно состоит в не появлении события.

Пример:

1. Безотказная работа всех элементов технической системы, отказ хотя бы одного элемента – противоположные события.

2. Обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии, обнаружение не более одного бракованного изделия – противоположные события.

2. Вероятность

Определение. Вероятность события – это численная мера степени возможности этого события.

Вероятность события обозначается. Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число между 0 и 1.

,

где - случайное событие.

4. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

,

где - любое событие.

3. Классическое определение вероятности

Вероятностью события называют отношение числа элементарных исходов, в которых событие наступает, т.н. благоприятствующих событиюисходов, к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

, (1.1)

где - число благоприятствующих событиюисходов,

- число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Пример:

1. В урне находится 7 белых, 2 зеленых и 6 красных шаров. Наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым (зеленым, красным).

Решение.

--извлечение белого шара:

,

.

-- извлечение зеленого шара:

,

-- извлечение красного шара:

,

2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 частей. Найти вероятность того, что у случайно взятого кубика будет окрашена одна грань (две грани, три грани).

Решение.

--извлечение кубика с тремя окрашенными гранями:

, , т.к. три окрашенные грани могут быть только у угловых кубиков.

.

-- извлечение кубика с двумя окрашенными гранями:

, , т.к. две окрашенные грани могут быть у кубиков, находящихся на ребре куба, кроме углов и для получения 1000 кубиков каждое ребро разделено на 10 частей.

.

-- извлечение кубика с одной окрашенной гранью:

, , т.к. одна окрашенная грань окажется у кубиков на гранях (кроме ребер)

.

4. Основные формулы и правила комбинаторики

Комбинаторика – раздел элементарной математики, в котором изучают количества комбинаций, подчиненных определенным условиям и составляемых из конечного набора элементов (множества) безразлично какой природы.

Формулы и правила комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей (по формуле (1.1)).

1. Формулы комбинаторики

Перестановки – комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только их порядком.

Количество перестановок без повторений

(1.2)

Пример:

1. Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра в числе содержится один раз?

Решение

- количество цифр

123, 132, 213, 231, 321, 312.

2. Сколько четырехзначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3 не повторяя их?

Решение.

(1,2,3,0)

Учитывая, что число с нулем на первом месте является трехзначным, подсчитаем количество таких чисел:

(1,2,3)

Тогда .

Размещения – комбинации, составленные из различных элементов, взятых поэлементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений без повторений:

(1.3)

Формулы (1.3) и (1.2) связаны между собой формулой при

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

12, 13, 21, 23, 31, 32

Число размещений с повторениями

(1.4)

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе могут повторяться?

Решение:

11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Сочетания – комбинации, составленные из различных элементов, взятых поэлементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число возможных сочетаний без повторений

(1.5)

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

12, 13, 23.

Формулы (1.2), (1.3) и (1.5) связаны между собой следующей формулой

(1.6)