- •Глава 2. Гидродинамика
- •2.1. Основные гидродинамические понятия
- •2.2. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)
- •2.3. Дифференциальные уравнения неразрывности движущейся жидкости
- •2.4. Уравнение неразрывности
- •2.5. Уравнение установившегося движения элементарной струйки идеальной жидкости (уравнение д.Бернулли)
- •2.6. Механическая энергия потока жидкости
- •2.7. Уравнение Даниила Бернулли для потока реальной жидкости.
- •2.8. Примеры практического применения уравнения д. Бернулли
- •2.8.1. Трубы Вентури
- •2.8.2. Гидродинамическая трубка Пито
- •2.8.3. Гидродинамическая трубка Пито - Прандтля
- •2.9. Уравнение равномерного движения жидкости. Режимы движения вязкой жидкости.
- •2.9.1. Уравнение равномерного движения жидкости
- •2.9.2. Режимы движения жидкости
- •2.9.3. Шероховатость внутренней поверхности трубопроводов
- •2.9.4. Ламинарный режим движения жидкости
- •2.9.5. Турбулентный режим движения жидкости
- •2.10. Классификация потерь напора
- •2.11. Местные сопротивления трубопроводов
- •2.12. Основы расчета трубопроводов.
- •2.12.1. Типы трубопроводов и их классификация
- •2.12.3. Методика расчета простого трубопровода
- •2.12.3. Расчет гидравлически коротких трубопроводов
- •2.12.4. Расчет сифонного трубопровода
- •2.13. Гидравлический удар в трубопроводах
- •Истечение жидкости через отверстия и насадки
- •2.14.1. Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке
- •Обозначим
- •2.14.2. Истечение жидкости через большие отверстия
- •2.14.3. Истечение жидкости при переменном напоре
- •2.14.4. Истечение жидкости из насадков
- •Цилиндрический внутренний насадок (рис. 55).
- •2.15. Гидравлические струи
- •2.16. Расчет турбин
- •2.17. Равномерное движение в открытых руслах
- •Скорость при равномерном движении выражается формулой
- •2.18. Водосливы. Классификация водосливов
- •2.19. Гидравлический расчет отверстий малых мостов и водопропускных дорожных сооружений
- •2.20. Гидравлический расчет открытых русел
- •2.21. Основы теории гидравлического моделирования
- •2.21.1. Виды подобия и второй закон Ньютона
- •2.21.2. Закон Фруда
- •2.21.3. Закон Рейнольдса
2.2. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)
Формально общие уравнения движения идеальной жидкости можно получить из уравнений, составленных для покоящейся жидкости, если воспользоваться принципом Д. Аламбера, согласно которому к уже действующим силам добавляются силы инерции.
Обозначим силу инерции, отнесенную к единице массы движущейся идеальной жидкости 1. Тогда проекции этой силы на координатные оси будут равны: -1; -1и -1. Знак минус в данном случае указывает на то, что единичная сила инерции имеет направление противоположное ускорению.
С учетом сказанного дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости получают вид:
(56)
Для случая неустановившегося движения, когда полный дифференциал скорости, например, равен
,
тогда
.
С учетом аналогичных выражений, полученных для и, дифференциальные уравнения неустановившегося движения идеальной жидкости получают следующий вид:
(57)
Для установившегося движения идеальной жидкости, когда , дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости имеют вид
(58)
Системы дифференциальных уравнений (57) и (58) называются системами дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, представленными в развернутом виде.
Уравнения (56) – (58) применимы как для случаев движения капельных жидкостей (когда ), так и для движения газов (когда).
2.3. Дифференциальные уравнения неразрывности движущейся жидкости
В системе из трех дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости (56) содержится четыре неизвестных параметра движения ;;;. Для того, чтобы определить эти параметры, необходимо четвертое уравнение. Таким уравнением является дифференциальное уравнение неразрывности.
Выделим в движущейся идеальной жидкости параллелепипед (рис. 25) со сторонами ;;, представляющий собой неподвижную часть пространства, заполненного движущейся жидкостью. Будем считать, что движение жидкости происходит без образования пустот и переуплотнений, т.е. с постоянной плотностью.
В точке А в момент временискорость движения будет, а ее проекции на координатные оси -.
Рис. 25.
Так как скорости движения частиц изменяются с изменением их положения в пространстве, то в тот же момент времени скорость в точкеВ , отстоящей от точкиА на расстоянии будет равна. Частная производная в градиенте давленияпринята потому, что при переходе частицы из точкиАв точку В меняется только координата .
Таким образом, за время через грань АСДЕ параллелепипеда будет втекать жидкость массой
а через грань ВС1Д1Е1вытекать
.
Следовательно, за время изменение массы жидкости в параллелепипеде в результате движения через грани, нормальные к осибудет равно
.
Изменения массы жидкости через грани нормальные к осям исоответственно будут равны
;
.
Так как форма параллелепипеда остается неизменной, а движение жидкости происходит без образования пустот и переуплотнений, общая сумма изменений массы внутри параллелепипеда будет равна нулю, т.е.
или после сокращения:
(59)
Физический смысл уравнения (59) состоит в том, что сумма изменений проекций скоростей в направлении соответствующих координатных осей равна нулю. Это значит, что объем несжимаемой жидкости, которая втекает в параллелепипед, равна объему жидкости, вытекающему из него.