Примеры решения задач по подсчёту количества выделенной теплоты и определения разных видов теплоёмкостей.

Ход решения задач на эту тему.

1. Из условий задачи определяем какие параметры изменяются. В изопроцессах меняются лишь два параметра, один всегда остаётся постоянным.

2. Определяем, какой это процесс и записываем его уравнение.

Например: не изменяется давление - при постоянном давлении – это изобарный процесс. Его уравнение будет: Р = const.

3. В этом процессе записываем формулу по подсчёту теплоты, и не забываем поставить индекс неизменяющегося параметра.

Q_P = C_P t (для 1 кг газа) Q_P = C_P (t₂ – t₁)

Q_р = С_р m ΔТ (для m кг газа) Q_р = С_р m (T₂ – T₁)

Температуру можно брать относительную (по Цельсию) и перевести её в абсолютную (по Кельвину), т.к. в формулах записывается по Кельвину Т, К = t, ^оС + 273,15

Из формулы определения количества теплоты, надо найти те величины, которые нам не известны. Например: масса (m)

4. Массу можно определить из уравнения Менделеева-К:лапейрона или его называют: «Основное уравнение состояния газа» РV = mRT

Рассмотрим это уравнение:

Здесь Р — давление газа, единица измерения давления - 1Па, 1КПа – 1000 Па, 1МПа – 1000000 Па, 1 мм.рт.ст. – 133,3 Па;

V — объем этого газа, единица измерения объёма – 1 кубический метр, если объём даётся в литрах, его надо перевести в кубические метры; 1000 литров – это кубический метр.

m — масса газа, единица измерения – 1 кг;

Т — абсолютная температура газа (по шкале Цельсия)

R — газовая постоянная (определяется из таблицы №1) — для каждого газа имеет свое значение, а можно определить из универсальной газовой постоянной, разделив её на молекулярную массу (µ): R = µR / µ

Универсальная газовая постоянная µR =8,31 КДж / (кмоль×К) называется так потому, что для каждого газа газовая постоянная имеет своё значение, а если эту величину умножить на молярную массу этого газа — µ, взятую из таблицы, то и получится всегда одинаковое значение.

µ — молекулярная масса (одного моля), µR — универсальная газовая постоянная.

5. Чтобы определить любой вид теплоёмкости надо из таблицы №2 найти мольную теплоёмкость при постоянном объёме для газа, который указан в задаче.

6. Затем подсчитываем теплоёмкости: массовую при постоянном давлении, массовую при постоянном объёме, объёмную при пост. давлении, объёмную при пост. объёме, мольную при пост. объёме.

7. Теплоёмкость подставляем в формулу подсчёта теплоты и получаем численное значение.

8. После подсчёта всех видов теплоёмкостей, количества теплоты, конечных параметров, надо процесс в задаче изобразить в системе координат: (Р-V), (Р-Т ), (V-Т).

9. Чтобы построить график любого процесс, необходимо по заданным параметрам построить две точки, соединить их и получить кривую процесса.

Задача №1

Ампула объемом V = 1 см³, содержащая воздух при нормальных условиях (P₀ = 10⁵ Па и T₀ = 273 К), оставлена в космосе, где давление можно принять равным нулю. В ампуле пробито отверстие. Через сколько времени (t — ? давление в ампуле тоже станет равным нулю, если за каждую секунду из нее вылетает N₁ = 10⁸ молекул?

Запишем условие задачи и решение.

V = 1 см³

P₀ = 10⁵ Па

T₀ = 273 К

N₁ = 10⁸ 1/с

k = 1,38×10^-23 Дж/K

t - ?

Здесь V — объем ампулы, P₀ — нормальное атмосферное давление, T — абсолютная температура, соответствующая нормальным условиям, N₁ — число молекул, покидающих ампулу за одну секунду, t — время, за которое из нее вылетят все имевшиеся в ней молекулы.

Время t, за которое ампулу покинут все молекулы, можно найти, разделив все число молекул N, имевшихся в ампуле при нормальных условиях, на число молекул N₁, покидающих ампулу ежесекундно,

t = N / N₁

Таким образом, задача сводится к определению числа молекул N, содержащихся в ампуле при нормальных условиях. Это число можно определить, умножив концентрацию молекул при этих условиях n (т. е. их число в единице объема ампулы) на объем ампулы, N = nV.

Здесь нам неизвестна концентрация молекул газа n. Но ее мы легко определим из формулы, устанавливающей связь давления газа с его концентрацией и температурой,

P = knT, отсюда

n = P / kT

Тогда N = PV / kT

Подставив полученное выражение в формулу для определения времени t, будем иметь:

t = PV / kTN₁

Мы решили в общем виде эту задачу. Переведем все величины в систему СИ:

1 см³ = 10^-6 м³ (1 м³ содержит 1000 литров)

Проверим единицу измерения полученной величины. Должна получиться секунда (с):

Подставим числа и произведем вычисления:

Ответ:

t = PV / kTN = 2,65 ×10¹¹ c.

Задача №2

В процессе изотермического сжатия давление газа увеличилось в 3 раза, а объём уменьшился на 2,2 м³. Каким был первоначальный объём газа?

Запишем условие задачи и решение.

По условию задачи — сжатие происходит по изотермическому процессу, при постоянной температуре (Т = соnst), значит запишем уравнение изотермического процесса: РV = const

К изотермическому процессу подходит уравнение Бойля–Мариотта Р₁ / Р₂ = V₂ / V₁

В задаче давление изменилось (увеличилось) в 3 раза, поэтому отношение конечного объёма — Р₂ к начальному — Р₁ равно трём. Р₂ / Р₁ = 3 или Р₂ = 3 Р₁, а отношение Р₁ / Р₂ = 1/3

Объём по условию задачи уменьшился на 2,2 м³, следовательно V₁ = 2,2 м³×V₂ Тогда отношение V₂ / V₁ = 1 / 2,2

Из уравнения Бойля–Мариотта: Р₁V₁ = P₂V₂ определяем первоначальный объём — V₁: V₁ = P₂ V₂ / V₁

Делаем подстановку чисел: 1/3 = (V₁ – 2,2) / V₁

V₁ = 3V₁ – 6,6 2V₁ = 6,6 V₁ = 3,3 м³

Ответ: первоначальный объём газа составлял 3,3 м³.

Можно этот процесс изобразить графически в системе координат (Р–V).

Для этого надо построить оси координат (Р–V), получить на пересечении Р₁и V₁ точку 1, а затем на пересечении Р₂ и V₂ точку 2.

Соединив точки, мы получим кривую второго порядка — гиперболу. Это и будет график — изотерма, — показывающий сжатие изотермического процесса от точки 1 к точке 2.

Задача №3

Каким станет давление газа, если его нагреть до температуры 423 К, начальные параметры газа: температура составляла 293 К, давление было 101325 Па, а процесс протекает при постоянном объёме?

Запишем условие задачи и решение.

По условию задачи процесс протекает при постоянном объёме, значит нагревание происходит по изохорному процессу, его уравнение V = const.

Для этого процесса воспользуемся соотношением: Р₂ / Р₁ = Т₂ / Т₁. Отсюда можно определить конечное давление:

Р₂ = Т₂ Р₁ / Т₁, делаем подстановку чисел:

Р₂ = 493 К×101325 Па / 293 К = 1,44 × 10⁵ Па

Ответ: конечное давление газа — 1,44 × 10⁵ Па.

Можно этот процесс изобразить графически в системе координат (Р–Т),

Для этого надо построить оси координат (Р–Т), получить на пересечении Р₁ и Т₁ точку 1, а затем на пересечении Р₂ и Т₂ точку 2.

Соединив точки, мы получим кривую изохорного процесса — изохору, проходящую через начало осей координат.

Задача № 4

Какой объём займёт газ при температуре 77⁰С, если при температуре 27⁰С его объём был 6 литров?

Анализируя, приходим к выводу, что объём не меняется, а изменяется лишь температура, поэтому процесс происходит при постоянном давлении.

Запишем условие задачи и решение.

По условию задачи процесс протекает при постоянном давлении, значит, нагревание происходит по изобарному процессу, запишем его уравнение: РV = const

Для этого процесса воспользуемся законом Гей–Люссака:

V₁ / V₂ = Т₁ / Т₂

Отсюда можно определить конечный объём:

V₂ = V₁ T₂ / Т₁, делаем подстановку чисел: 1 литр надо перевести в м³, а 1 м³ содержит 1000 литров, значит 6 литров — это 0,006 м³.

Надо перевести температуру: Т К = t⁰С + 273, тогда Т₁ = 27 + 273 = 300 К, а Т₂ = 77 + 273 = 350 К

V₂ = 0,006 м³ × 350 К / 300 К = 0,001 м³

Ответ: конечный объём газа займёт объём 1 литр или 0,001 м³.

Можно этот процесс изобразить графически в системе координат (Р–Т).

Для этого надо построить оси координат (Р–Т), получить на пересечении Р₁ и Т₁ точку 1, а затем на пересечении Р₂ и Т₂ точку 2.

Соединив точки, мы получим кривую изобарного процесса — изобару, в виде прямой линии, параллельной оси абсцисс.

Задача №5

При постоянном давлении (равном 760 мм рт. ст.) к 1 кг азота, имеющего температуру 25⁰С, подводится 100 кДж теплоты. Определить изменение энтропии в процессе.

Решение.

По условию задачи процесс происходит при постоянном давлении, значит процесс — изобарный, и его уравнение будет: Р = const.

Поэтому во все формулы ставим индекс «Р».

Определим изменение температуры в изобарном процессе из формулы определения количества теплоты, а значение массовой теплоёмкости при постоянном давлении возьмём из таблицы №1 и №2.

Q_P = C_P t  t = Q_P / С_P

µС_P = 28,57 кДж / кмоль ⁰С С_P = µС_P / µ

С_P = 28,57 / 28,013 = 1,045 кДж / кг ⁰С

Определим изменение энтропии в изобарном процессе:

Т₁ = t₁ + 273 = 25 +273 = 298 К

Т₂ = 298 + 95,7 = 393,7 К

Ответ: Изменение энтропии в изобарном процессе составило 290,9 Дж/(кгК).

34