Глава 7. Прямые и плоскости в пространстве.
В планиметрии (курс геометрии в 7 - 9 классах) изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Теперь Вы начинаете знакомиться с элементами стереометрии (от греческих слов стереос – «объёмный, пространственный» и метрео – «измерять, рассматривать») – разделом геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур (тел) в пространстве.
§ 1. Изображение пространственных фигур на плоскости.
Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Для обозначения точек будем использовать прописные (заглавные) буквы латинского алфавита: А, В, С,…, прямые будем обозначать малыми («строчными») буквами латинского алфавита: a,b,c… или двумя большими латинскими буквами АВ, СD,…, соответствующие двум точкам прямой. (Иногда ставят скобки (АВ) – прямая, проходящая через точку A и точку B). Плоскости обычно обозначают греческими буквами α, β, γ, … или тремя буквами АВС, (АВС) – плоскость, определяемая тремя точками А,В и С, не лежащими на одной прямой. Изображают плоскости в виде параллелограмма (плоскость α) или некоторой области (плоскость β).
|
α
|
β |
Как правило, изображением пространственной фигуры на плоскости служит её проекция на ту или иную плоскость. Выбирают то изображение, которое создаёт правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для её исследования.
При параллельном проектировании (именно такое проектирование используют в общеобразовательных курсах стереометрии) сохраняются отношение параллельности и отношение «лежать между»; сохранение последнего отношения означает, что при изображении сохраняется пропорциональность отрезков.
Из свойств параллельного проектирования следуют основные правила изображения пространственных фигур на плоскости:
– параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками;
– отрезки, не являющиеся параллельными, изображаются не параллельными;
– сохраняется отношение «лежать между», т.е. если на оригинале точка делила ребро куба пополам, то и изображение данной точки будет серединой изображения данного ребра;
– углы и длины при изображении не сохраняются.
Из вышеперечисленного следует, что:
– параллелограмм (в том числе квадрат, ромб, прямоугольник) изображается произвольным параллелограммом;
– трапеция изображается трапецией;
– треугольник (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный, равнобедренный, равносторонний) изображается произвольным треугольником;
– окружность изображается эллипсом.
При этом невидимые части (линии) фигур изображаются пунктирными (штриховыми) линиями.
Некоторые фигуры хорошо Вам известны: пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб, шар, цилиндр, конус.
Вот некоторые изображения:
|
Треугольная пирамида (тетраэдр - слово образовано из двух греческих слов: тетра – четыре, эдрос – грань, то есть четырехгранник).
|
М В А С |
|
Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 |
В1 С1
А1 D1
В С
А D
|
R
|
Цилиндр R – радиус цилиндра l – образующая цилиндра
|
l
|
|
Конус R – радиус конуса l – образующая конуса
|
l
R
|
-
Вопросы и задачи
Изобразите пятиугольную призму и покажите, как её можно составить из треугольных призм.
Изобразите прямую треугольную призму, на верхнее основание которой поставлена наклонная призма с таким же основанием так, что основания совпадают.
Изобразите четырехугольную призму, не являющуюся параллелепипедом.
Верно ли утверждение, что понятия «правильная четырехугольная призма» и «куб» совпадают?
Изобразите какой-нибудь многогранник, составленный из прямоугольного параллелепипеда и треугольной призмы.
а) На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1, его пересечения с плоскостью, проходящей через точки A,D1 и C (с плоскостью AD1C) и отдельно пересечение плоскости AD1C и граней AA1D1D, CC1D1D и ABCD. Проанализируйте этот чертёж.
|
B1 C1
D1 А1
В С
D А
|
А А1 D1 D D |
D1 C1 С |
D С В А |
б) Изобразите куб ABCDA1B1C1D1 и пересечение его с плоскостью, проходящей через точки A, B1 и C. (сечение куба плоскостью A B1C).
Изобразите треугольную призму ABCA1B1C1 и её сечение плоскостью A1BC (пересечение призмы этой плоскостью).
Может ли сечение куба быть треугольником? четырехугольником? семиугольником?
Можете ли вы определить, глядя на изображение тетраэдра, правильный ли тетраэдр изображён?
Изобразите треугольную и четырехугольную призмы и объясните, как их можно сложить из тетраэдров.
Существуют ли тетраэдры, у которых:
а) все грани – остроугольные треугольники;
б) три грани – прямоугольные треугольники, а одна – остроугольный;
в) три грани – тупоугольные треугольники, а одна – остроугольный?
Если да, объясните почему (как бы вы стали изготовлять их модели)
Внутрь тетраэдра помещена треугольная призма так, что вершины её верхнего основания лежат на боковых рёбрах тетраэдра, одна из вершин нижнего основания лежит на медиане нижнего основания тетраэдра, а стороны её основания параллельны сторонам основания тетраэдра. Нарисуйте эту конструкцию.
Изобразите правильный тетраэдр SABC и перпендикуляр, опущенный из вершины A на сторону BC.
Покажите, пользуясь чертежом или моделью, как можно сложить из тетраэдров пирамиду:
а) четырёхугольную;
б) пятиугольную.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны друг другу. Что вы можете сказать о её гранях и углах граней?
Объясните, пользуясь моделью куба, как разбить куб на правильные четырехугольные пирамиды.
На какое минимальное число пирамид можно разбить треугольную призму?
Прямоугольный параллелепипед расположен внутри правильной четырёхугольной пирамиды так, что вершины его верхнего основания лежат на боковых рёбрах пирамиды, а вершины нижнего основания – в плоскости основания пирамиды. Нарисуйте эту конструкцию.
Дан тетраэдр SABC, M - середина ребра BC. Изобразите этот тетраэдр и то, что получится при пересечении его с плоскостью, проходящей через точки S, A, M (сечение тетраэдра плоскостью SAM).
Дан тетраэдр SABC, M - середина SC, N - середина ребра SA, K - середина ребра SB. Изобразите этот тетраэдр и то, что получится при пересечении его с плоскостью, проходящей через точки M, N, K(сечение тетраэдра плоскостью MNK).
Через середины трёх рёбер правильного тетраэдра, идущих из одной вершины, проводят плоскость. Четырьмя такими плоскостями от исходного тетраэдра отсекают меньшие тетраэдры. Нарисуйте оставшийся многогранник. Знаком ли он вам?
Может ли сечение тетраэдра быть пятиугольником?
Нарисуйте сечение четырёхугольной пирамиды, которое является:
а) треугольником;
б) четырёхугольником.
Рассматриваются два многогранника с одинаковым числом вершин: призма и пирамида. Может ли это число быть четным? нечётным? У какого из этих многогранников больше граней, рёбер?
Приведите пример фигуры, которую нельзя отнести ни к многогранникам, ни к телам вращения.
Назовите все возможные случаи взаимного расположения сферы и прямой; сферы и плоскости. Сделайте рисунки.
Тетраэдр расположен так, что три его вершины лежат на сфере, а четвёртая – в центре сферы. Сделайте рисунок.
Треугольная призма расположена так, что все её вершины лежат на сфере. Сделайте рисунок.
Сколько общих точек может иметь прямая и поверхность цилиндра? Сделайте рисунки.
Цилиндр и шар расположены так, что основания цилиндра являются сечениями шара. Сделайте рисунок.
Сколько общих точек может иметь конус и прямая?
Четырехугольная пирамида и конус расположены так, что их вершины совпадают, а все вершины основания пирамиды лежат на окружности основания конуса. Сделайте рисунок.
Четырехугольная пирамида и конус расположены так, что их вершины совпадают, а окружность основания конуса вписана в основание пирамиды. Сделайте рисунок.
Конус и шар расположены так, что основание конуса является каким-то сечением шара, а вершина конуса лежит на сфере. Сделайте рисунок.
Треугольник ABC с тупым углом при вершине B вращается вокруг прямой AC. Нарисуйте получающуюся фигуру.
Треугольник ABC с тупым углом при вершине B вращается вокруг прямой AB. Нарисуйте получающуюся фигуру.
Прямоугольная трапеция ABCD вращается вокруг прямой, содержащей сторону AB, являющейся высотой трапеции. Нарисуйте получающуюся фигуру. Объясните, как будет выглядеть развертка.