Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2
.pdf
1
Кобрунов А.И.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
В ПРИКЛАДНОЙ ГЕОФИЗИКЕ. (ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ)
Учебное пособие
Ухта 2013
2
УДК 550:519.1(075.8)
ББК К 55…
ББК 26:22.3. Я7
Кобрунов А. И. Математические методы моделирования в прикладной
геофизике. (Избранные главы). – Ухта: УГТУ, 2013. – 400 c.
ISBN ______
Учебное пособие для студентов старших курсов, магистрантов, аспирантов и соискателей ученых степеней по специальностям: Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых, Геофизика, Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ; Системный анализ, управление и обработка информации в нефтегазовой отрасли.
В справочной форме излагается разделы современного математического аппарата, не нашедшего должного отражения в учебных программах, для специальностей из цикла науки о Земле но, тем не менее, крайне необходимые при изучении методов моделирования в геологоразведочном и нефтегазовом деле. Это язык функционального анализа как способ формализованного описания принципов конструкции математических моделей, методы теории оптимизации, включая элементы теории приближений в нормированных пространствах, методы нечеткого моделирования, включая технологию нечеткого вывода. Формулируются законы сохранения и демонстрируются методы конструирования моделей и процессов в широком классе задач, состоящее в дополнении законов сохранения уравнениями состояния.
Впервые в учебной геофизической литературе рассмотрены вопросы системного анализа и системной инверсии наблюдаемых данных в параметры геолого-геофизической модели и модели запасов полезных ископаемых.
Рассмотрены общие вопросы моделирования информационного канала при прохождении сигналов от преобразующей системы, включающей в себя влияние изучаемой среды, до измерительного канала с мультипликативными и аддитивными искажениями. На этом примере излагаются принципы нахождения регуляризованных приближений к решению операторных уравнений и конструирования регуляризующих алгоритмов. Приводятся способы выбора параметров регуляризации и излагаются основы теории винеровской фильтрации.
Наиболее крупным является раздел, посвященный моделированию сред по системе несовместных наблюдаемых данных в условиях неопределенности и существенной некорректности обратных задач, предполагающую не выполнимость всех трех условий корректности по Адамару. Здесь продемонстрирована эффективность и реализуемость методов системной инверсии для классов таких задач на примере реконструкции сложных и многокомпонентных моделей сред. Излагаются основные принципы управления классами эквивалентности для систем уравнений, характеризующих состояние среды, включающие в себя критериальные, эволюционно-динамические и аппроксимационные принципы. На этой основе приводятся общие вычислительные схемы, лежащие в основе методов системной инверсии для комплекса разноплановых данных.
©Ухтинский государственный технический университет, 2013
3
Оглавление |
|
Предисловие .............................................................................................................................................. |
8 |
Список наиболее употребительных обозначений .................................................................................. |
12 |
Введение .................................................................................................................................................. |
18 |
Глава 1. Математический конспект ......................................................................................................... |
41 |
1.1 Анализ....................................................................................................................................... |
41 |
1.1.1 Базовые математические понятия ................................................................................... |
41 |
1.1.2 Гильбертовы пространства функций................................................................................ |
47 |
1.1.3 Линейные функционалы в Гильбертовом пространстве ................................................. |
59 |
1.1.4 Линейные операторы ....................................................................................................... |
61 |
1.1.5 Нелинейные операторы ................................................................................................... |
73 |
1.1.6 Линейные уравнения в Гильбертовом пространстве ...................................................... |
77 |
1.1.7 Элементы теории банаховых пространствах ................................................................... |
84 |
1.2 Оптимизация ............................................................................................................................ |
89 |
1.2.1 Введение........................................................................................................................... |
89 |
1.2.2 Аналитические методы оптимизации.............................................................................. |
93 |
1.2.3 Численные методы оптимизации .................................................................................. |
110 |
1.2.4 Генетические алгоритмы оптимизации ......................................................................... |
117 |
1.2.5 Принцип оптимальности Беллмана ............................................................................... |
121 |
1.2.6 Основные понятия о нейронных сетях........................................................................... |
128 |
1.3 Векторы, тензоры и дифференциальные формы .................................................................. |
133 |
1.3.1 Алгебра тензоров............................................................................................................ |
133 |
1.3.2 Элементы теории тензорных полей............................................................................... |
143 |
1.3.3 Дифференциальные формы........................................................................................... |
148 |
1.3.4 Обобщенная формула Стокса......................................................................................... |
153 |
1.4 Операторы теории поля ......................................................................................................... |
159 |
1.4.1 Лапласиан ....................................................................................................................... |
159 |
1.4.2 Криволинейные координаты ......................................................................................... |
161 |
1.4.3 Метод функций Грина в теории моделирования процессов в сплошных средах ........ |
171 |
4
1.5 |
Методы нечеткого моделирования....................................................................................... |
180 |
|
1.5.1 Функции принадлежности.............................................................................................. |
180 |
||
1.5.2 |
Операции над нечеткими множествами........................................................................ |
186 |
|
1.5.3 Нечеткие отношения....................................................................................................... |
190 |
||
1.5.4.Операции над нечеткими числами. ............................................................................... |
195 |
||
1.5.5 Основы нечеткой логики ................................................................................................ |
197 |
||
1.5.6 Алгоритмы нечеткого вывода ........................................................................................ |
199 |
||
1.5.7. Нечеткие петрофизические композиции. ..................................................................... |
202 |
||
1.5.8. Вычислительные примеры ........................................................................................... |
204 |
||
1.5.9 Оценки подсчетных параметров продуктивности......................................................... |
207 |
||
Глава 2. Физические основы.................................................................................................................. |
215 |
||
2.1 |
Фундаментальные законы классической механики.............................................................. |
215 |
|
2.1.1 Введение......................................................................................................................... |
215 |
||
2.1.2 Гидродинамическая модель пласта............................................................................... |
215 |
||
2.1.3 О координатных уравнениях.......................................................................................... |
218 |
||
2.1.4 Законы сохранения......................................................................................................... |
221 |
||
2.2 |
Основы теории размерностей................................................................................................ |
237 |
|
2.2.1 Введение......................................................................................................................... |
237 |
||
2.2.2 Основы теория подобия ................................................................................................. |
238 |
||
2.2.3 Формула размерностей и П – теорема........................................................................... |
242 |
||
2.2.4 Примеры применения.................................................................................................... |
244 |
||
Глава 3. Системный подход в построении моделей ............................................................................. |
249 |
||
3.1 |
Модели задач системного анализа и понятия о системном анализе................................... |
250 |
|
3.2 |
Принципы системного анализа при моделировании геологических сред........................... |
255 |
|
3.3 |
Первый принцип системного анализа ................................................................................... |
256 |
|
3.3.2 Связи в ФГМ. .................................................................................................................. |
257 |
||
3.3.3 Единство прообраза........................................................................................................ |
258 |
||
3.4 |
Второй принцип системного анализа .................................................................................... |
259 |
|
3.4.1 Адекватность операторов............................................................................................... |
259 |
||
5
3.4.2 Наблюдаемые................................................................................................................. |
261 |
|
3.5 |
Третий принцип системного анализа..................................................................................... |
262 |
3.6 |
Системная инверсия и декомпозиция ................................................................................... |
265 |
3.7 |
Модели объектов и их системная организация .................................................................... |
268 |
3.7.1 Геологический объект .................................................................................................... |
271 |
|
3.7.2 Физическая модель геологической среды..................................................................... |
272 |
|
3.7.3 Параметризации моделей.............................................................................................. |
273 |
|
3.8 |
Модели геолого-геофизических связей................................................................................. |
274 |
3.8.1 Уравнения математической физики............................................................................... |
274 |
|
3.8.2 Наблюдаемые................................................................................................................. |
276 |
|
3.8.3 Эталонирующие преобразования .................................................................................. |
277 |
|
3.9 |
Классификация моделей........................................................................................................ |
278 |
3.9.1 Модели среды ................................................................................................................ |
279 |
|
3.9.2 Модели поля................................................................................................................... |
281 |
|
3.9.3 Модель связей................................................................................................................ |
282 |
|
3.9.4 Синтез интегрированной ФГМ........................................................................................ |
283 |
|
Глава 4. Моделирование системы прохождения сигнала.................................................................... |
285 |
|
4.1 |
Модель информационного канала........................................................................................ |
285 |
4.2 |
Основные понятия теории сигналов...................................................................................... |
287 |
4.2.1 Типы сигналов................................................................................................................. |
287 |
|
4.2.2 Характеристики случайных сигналов ............................................................................. |
291 |
|
4.3 |
Задачи анализа сигналов ....................................................................................................... |
295 |
4.4 |
Линейная модель измерительного канала ........................................................................... |
297 |
4.5 |
Реконструкция входных сигналов (принципы)...................................................................... |
300 |
4.5.1 Задачи инверсии как основа реконструкции................................................................. |
300 |
|
4.5.2 Метод регуляризации..................................................................................................... |
304 |
|
4.5.3 Принцип обобщенной невязки ...................................................................................... |
307 |
|
4.5.4 Квазиоптимальный алгоритм определения параметра регуляризации....................... |
308 |
|
4.5.5 Винеровская фильтрация ............................................................................................... |
309 |
|
6
Глава 5. Моделирование сред в условиях неопределенности............................................................. |
313 |
5.1 Природа неопределенности .................................................................................................. |
313 |
5.1.1 Неопределенность наблюдаемых.................................................................................. |
314 |
5.1.2 Неопределенности в задании связей............................................................................. |
314 |
5.1.3 Теоретическая эквивалентность..................................................................................... |
317 |
5.1.4 Практическая эквивалентность ...................................................................................... |
319 |
5.2 Аппроксимационный подход, квазирешение и скрытая эквивалентность .......................... |
321 |
5.2.1 Квазирешения и аппроксимационный подход.............................................................. |
321 |
5.2.2 Скрытая эквивалентность ............................................................................................... |
324 |
5.2.3 Экстремальные классы и свойства квазирешений ........................................................ |
327 |
5.3 Критериальные принципы доопределения задач инверсии. ............................................... |
335 |
5.4 Классы критериев................................................................................................................... |
347 |
5.4.1 Интегральные квадратичные критерии оптимальности ............................................... |
348 |
5.4.2 Корреляционные критерии оптимальности .................................................................. |
351 |
5.4.3 Равномерные критерии оптимальности ........................................................................ |
355 |
5.5 Эволюционно-динамические принципы ............................................................................... |
364 |
5.5.1 Эволюционно-динамические условия ........................................................................... |
364 |
5.5.2 Инверсия для распределенных параметров.................................................................. |
367 |
5.5.3 Инверсия для структурных моделей.............................................................................. |
376 |
5.5.4 Параметр релаксации и смежные вопросы технологии................................................ |
380 |
5.5.5 Абстрактная вычислительная схема............................................................................... |
385 |
Библиографические замечания............................................................................................................. |
388 |
К главе 1........................................................................................................................................ |
388 |
К главе 3........................................................................................................................................ |
388 |
Глоссарий ............................................................................................................................................... |
390 |
Библиографический список ................................................................................................................... |
397 |
7
Предисловие
Идея моделирования пронизывает все ветви человеческого познания, являясь, по своей сути, междисциплинарной. Познание окружающего мира во всех его проявлениях осуществляется на основе создания модели изучаемых объектов, к числу которых относятся свойства или состояния, процессы или развитие, причинно-следственные связи и предсказания.
Моделирование это процесс построения модели – способ познания окружающего мира человеком. Понимание предмета происходит на основе создания его модели. Модель – есть результат понимания. Без модели предмета нет его понимания, но есть лишь туманные сведения не пригодные к научному использованию. Слово модель происходит от латинского modulus –
«мера, аналог, образец» и обозначает приближенное упрощенное и формализованное описание объекта, сохраняющее важные для его изучения черты. Разновидностей моделей существует много. Это физические модели, воспроизводящие в виде некоторых искусственно изготовленных физических аналогов или устройств изучаемый объект. Их разновидность – аналоговые модели,
воспроизводящие одни физические процессы посредством других, подчиненных схожим законам.
Но наиболее интересная разновидность моделей – это математические модели и их компьютерная реализация – компьютерные модели. Построение моделей объектов с помощью этого арсенала средств дало огромный толчок в познании окружающего мира и имеет ряд существенных преимуществ в сравнении с другими методами моделирования. Эти преимущества состоят, во-первых, в универсальности – возможности единообразным аппаратом и средствами моделировать различные по природе объекты. Во-вторых, маневренностью – возможности оперативной адаптации компьютерных моделей к новым условиям и данным, что сводится лишь к изменению программного обеспечения; В третьих возможностью воссоздания самых фантастических и не реализуемых физическими моделями условий, что, несомненно, расширяет горизонт познания. Наконец – оперативность. Все эти обстоятельства привели к формированию арсенала средств и методов процесса создания моделей – моделирования, формированию
«философии моделирования» как средства познания. Что касается арсенала средств математического моделирования – его математических методов то без преувеличения можно сказать, что он охватывает практически всю математику. Тем не менее, в каждой конкретной предметной области он имеет более узкий перечень. В этой книжке предметом рассмотрений служат некоторые из методов, традиционно приятых в науках о Земле и, в частности в геофизических методах как наиболее компьютерно-емкой отрасли человеческой деятельности.
8
Об этом мы предметно поговорим далее, а теперь вернемся к философско-методологической стороне вопроса.
Построение моделей, как уже указывалось, сопровождает процесс изучения объекта,
поэтому модель этого объекта является его упрощенным описанием на физико-математическом языке, в которой выделены главные, изучаемые и представляющие наибольший интерес компоненты. В другой модели того же объекта изучаться могут другие его характеристики,
поэтому модель будет иная. Таким образом, объект описывается множеством своих моделей. При построении каждого конкретного экземпляра модели (т.е. ориентированного на описание выделенных свойств) следует обеспечить их достоверность – проверку на правильность. Этот этап называется верификацией модели. Верификация моделей – проверка ее на адекватность реальности. Основным подтверждением адекватности принятой модели является согласие следствий из нее с известными из эксперимента или из независимых теоретических исследований свойствами моделируемого объекта. При этом, чем больше окажется таких независимых подтверждений, тем большее доверие приобретает модель. Если обнаружено существенное расхождение между рассчитанными и известными свойствами, то модель необходимо изменить.
Это можно делать, либо привлекая дополнительные теоретические соображения, либо путем подгонки, либо с помощью комбинации того и другого.
Следующий фундаментальный вопрос при построении моделей состоит в их однозначности. Промежуточный вопрос звучит так – достаточно ли исходной информации об объекте для однозначного построения его модели с заданной точностью адекватной реальности.
Здесь мы не утруждаем себя вопросом о том, что собственно означает « с достаточной точностью», считая, что интуитивно подразумеваемого ответа вполне достаточно. Почти очевидный ответ – отрицательный. Нет не достаточно. Его следует понимать так: моделей объекта, удовлетворительно описывающих наблюдаемые данные, может быть много и они могут быть принципиально разные. Совпадают же они лишь на участке наших входных данных. В
остальных участках они могут давать разные результаты. Но эти данные, по разного рода причинам, на текущем этапе недостижимы и, следовательно, верификация по этим данным невозможно. Для выбора модели, а точнее речь идет о языке ее описания, в этой ситуации следует руководствоваться принципами простоты и приближенности к уже известным и проверенным моделям. Не следует «вводить сущности сверх необходимости» (это известное изречение средневековых философов). Но только до тех пор, пока этого не потребуют результаты верификации.
Следующий фундаментальный вопрос построения моделей состоит в их устойчивости.
Добавление данных не должно вести к коренной перестройке моделей, но должно лишь уточнять уже построенную.
9
Перейдем теперь к арсеналу средств и методов моделирования. Это математические методы.
В чем разница между математическими методами моделирования и математическим моделированием. В том, что первое это арсенал средств, различное применение которых обеспечивает второе. Многообразие конкретных математических моделей в науках о земле велико. Но оно как множество точек многомерного пространства строится в виде комбинации базисных элементов – относительно небольшого числа математических методов. А вот их то, как раз и не так уже много. Совершенно различные задачи моделирования в различных аспектах науки о земле приводят к родственным или даже тождественным уравнениям и средствам их анализа. Так, например уравнения Лапласа и Пуассона возникают при моделировании гравитационного, магнитного, электростатического полей. Но эти же уравнения описывают распределение деформаций на поверхности земли через напряжения, возникающие внутри нее.
Эти уравнения появляются и при рассмотрении законов течения жидкостей через пористые среды. Уравнение параболического типа описывает эволюцию биологических систем и процессы теплопереноса, диффузию и распространение излучения. Вопрос в том – как в реальных процессах и явлениях увидеть эволюцию. Как увидеть состояние системы, описываемое эллиптическими уравнениями и как провести анализ данных, опираясь на общие сведения о характере их неопределенности. В настоящей работе рассматриваются математические методы на примере некоторых из задач, могущих служить своего рода эталоном.
Теперь о характере изложения. Я не хочу ставить читателя в тупик излишними тонкостями математического аппарата по нескольким причинам. Во-первых, значительная часть базовых процедур моделирования решения задач и уравнений уже реализована в пакетах общего и специализированного назначения. Так, например численные методы решения дифференциальных уравнений представлены в математических пакетах общего назначения
MathCad, Matlab, Mathematica, Maple. Есть и много других. Вместо того чтобы конструировать и исследовать разностные схемы решения для дифференциальных уравнений или систем таких уравнений следует воспользоваться готовым результатом. Правила доступа к процедурам,
реализующим эти вычисления, приведены в справочном обеспечении к перечисленным пакетам.
Конструирование и исследование конкретных вычислительных схем дело профессионалов,
занимающихся прикладной математикой. Не следует читать лекции по сольфеджио и изучать ноты с теми, кто пришел слушать музыку. Но тем не менее знать элементы из которых строиться здание и владеть принципами работы аппарата необходимо для того чтобы понимать что от него можно а чего нельзя ожидать. Я старался придерживаться золотой середины – придерживаться той глубина изложения предмета, которая нужна для понимания сути вопроса, оставляя детали профессионалам, но еще не обросла утомительными математическими деталями. Тем не менее,
базовая математическая подготовка у читателя предполагается. Это стандартный курс математики
10