математика
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Ухтинский государственный технический университет (УГТУ)
Контрольные работы по математике.
Методические указания для студентов II курса технических специальностей факультета безотрывного обучения,
обучающихся по сокращенной программе
Ухта 2010
УДК 51(075) В-67
Волкова, И. И.
Контрольные работы по математике [Текст]: метод. указания для студентов II курса технических специальностей ФБО, обучающихся по сокращенной программе / И. И. Волкова, Е. В. Пластинина, Е. Н. Мотрюк, Е. В. Жилина. – Ухта: УГТУ, 2010. – 36 c.
Методические указания содержат задания для выполнения четырех контрольных работ для студентов технических специальностей и двух работ для студентов специальности ЭАП: «Функции нескольких переменных. Кратные интегралы», «Криволинейные интегралы. Элементы теории поля», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Операционное исчисление. Ряды Фурье. Теория функций комплексного переменного», «Ряды Фурье. Преобразования Фурье. Операционное исчисление (для специальности ЭАП)», «Теория функций комплексного переменного. Уравнения математической физики (для специальности ЭАП)» и соответствуют требованиям ГОС.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой высшей математики, протокол № 5 от 28 мая 2010 г.
Рецензент: О. А. Сотникова, профессор кафедры высшей математики. Редактор: Канева Е. А., ассистент кафедры высшей математики.
В методических указаниях учтены замечания рецензента и редактора.
План 2010 г., позиция 20. Подписано в печать 03.06.2010 г. Компьютерный набор.
Объем 36 с. Тираж 150 экз. Заказ № 243.
© Ухтинский государственный технический университет, 2010 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, 13. Отдел оперативной полиграфии УГТУ.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.
Содержание |
|
Порядок выполнения контрольных работ. ............................................................... |
4 |
Таблица вариантов ...................................................................................................... |
5 |
Рекомендуемая литература......................................................................................... |
6 |
Контрольная работа № 5. Функции нескольких переменных. |
|
Кратные интегралы. .................................................................................................... |
7 |
Контрольная работа № 6. Криволинейные интегралы. Элементы |
|
теории поля. ............................................................................................................... |
11 |
Контрольная работа №7. Теория вероятностей и математическая |
|
статистика................................................................................................................... |
16 |
Контрольная работа №8. Операционное исчисление. Ряды Фурье. |
|
Теория функций комплексного переменного......................................................... |
26 |
Контрольная работа №8 (для специальности ЭАП). Ряды Фурье. |
|
Преобразования Фурье. Операционное исчисление.............................................. |
30 |
Контрольная работа №9 (для специальности ЭАП). Теория функций |
|
комплексного переменного. Уравнения математической физики. ...................... |
34 |
3
Порядок выполнения контрольных работ.
Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить теоретический материал, соответствующий теме работы.
Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны ФИО студента, название дисциплины, шифр, номер контрольной работы. Условия задач необходимо выписывать полностью. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, а чертежи аккуратными. Для замечаний рецензента следует на каждой странице оставлять поля шириной
3 см.
Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последними двумя цифрами его шифра. Например, если шифр 54035, то следует выполнить вариант 35, т.е. решить задачи 11, 33, 52, 77, 87 (см. таблицу вариантов).
После получения контрольной работы с отметкой «на доработку» студент должен исправить все отмеченные рецензентом замечания и предоставить работу на повторное рецензирование.
Контрольные работы должны быть сданы на проверку в срок не позднее, чем за 10 дней до начала сессии. На экзамен студент должен явиться с зачтенными контрольными работами.
Если в процессе выполнения контрольных работ у Вас возникают вопросы, то можно обратиться на кафедру для получения консультации.
4
Таблица вариантов
Вари- |
Номера задач |
Вари- |
Номера задач |
Вари- |
Номера задач |
ант |
|
ант |
|
ант |
|
00 |
1, 26, 43, 66, 90 |
34 |
8, 21, 43, 67, 97 |
67 |
7, 26, 46, 63, 90 |
01 |
9, 33, 54, 65, 92 |
35 |
11, 33, 52, 77, 87 |
68 |
14, 33, 53, 71, 85 |
02 |
10, 27, 41, 70, 82 |
36 |
10, 40, 42, 68, 86 |
69 |
20, 38, 45, 70, 93 |
03 |
12, 21, 55, 64, 94 |
37 |
17, 22, 51, 80, 96 |
70 |
4, 32, 48, 62, 88 |
04 |
14, 32, 42, 71, 81 |
38 |
20, 34, 59, 75, 100 |
71 |
15, 24, 54, 74, 86 |
05 |
18, 34, 56, 73, 93 |
39 |
9, 35, 41, 76, 88 |
72 |
13, 39, 57, 78, 95 |
06 |
11, 35, 48, 63, 83 |
40 |
11, 21, 43, 63, 85 |
73 |
8, 23, 47, 69, 92 |
07 |
2, 22, 44, 67, 89 |
41 |
2, 30, 48, 71, 94 |
74 |
18, 25, 55, 73, 97 |
08 |
13, 25, 53, 74, 91 |
42 |
10, 22, 42, 78, 86 |
75 |
5, 37, 58, 79, 94 |
09 |
17, 31, 45, 72, 95 |
43 |
12, 28, 53, 72, 96 |
76 |
19, 40, 49, 64, 87 |
10 |
6, 28, 58, 80, 88 |
44 |
18, 34, 55, 64, 87 |
77 |
12, 36, 44, 72, 96 |
11 |
19, 23, 47, 68, 96 |
45 |
1, 35, 54, 61, 84 |
78 |
6, 31, 56, 61, 89 |
12 |
20, 36, 52, 77, 87 |
46 |
17, 38, 41, 70, 95 |
79 |
3, 23, 44, 71, 83 |
13 |
5, 24, 57, 69, 98 |
47 |
3, 27, 45, 79, 93 |
80 |
13, 21, 47, 73, 92 |
14 |
8, 30, 46, 75, 84 |
48 |
19, 29, 56, 69, 88 |
81 |
15, 27, 54, 67, 93 |
15 |
4, 37, 51, 79, 99 |
49 |
6, 26, 46, 65, 89 |
82 |
1, 36, 43, 66, 94 |
16 |
15, 39, 59, 62, 97 |
50 |
13, 32, 57, 73, 83 |
83 |
12, 40, 46, 74, 84 |
17 |
3, 40, 49, 78, 85 |
51 |
16, 40, 44, 62, 92 |
84 |
4, 29, 42, 65, 81 |
18 |
7, 38, 60, 76, 100 |
52 |
4, 23, 47, 77, 82 |
85 |
2, 24, 53, 72, 95 |
19 |
16, 29, 50, 61, 86 |
53 |
20, 24, 50, 66, 97 |
86 |
11, 22, 59, 75, 82 |
20 |
3, 29, 44, 63, 81 |
54 |
5, 37, 58, 74, 98 |
87 |
5, 28, 41, 69, 85 |
21 |
6, 23, 53, 69, 85 |
55 |
14, 39, 59, 68, 99 |
88 |
6, 25, 45, 70, 86 |
22 |
12, 28, 60, 64, 93 |
56 |
7, 31, 51, 76, 91 |
89 |
10, 35, 51, 68, 90 |
23 |
13, 36, 57, 73, 94 |
57 |
9, 36, 60, 80, 100 |
90 |
8, 30, 52, 63, 99 |
24 |
5, 24, 45, 72, 92 |
58 |
15, 33, 52, 75, 90 |
91 |
14, 26, 50, 76, 97 |
25 |
1, 32, 49, 78, 82 |
59 |
8, 25, 49, 67, 81 |
92 |
16, 34, 55, 62, 91 |
26 |
16, 26, 48,74, 91 |
60 |
1, 27, 43, 67, 99 |
93 |
7, 32, 58, 77, 96 |
27 |
2, 38, 46, 65, 84 |
61 |
9, 34, 50, 76, 81 |
94 |
9, 37, 49, 64, 88 |
28 |
18, 31, 54, 70, 83 |
62 |
3, 29, 52, 68, 91 |
95 |
17, 33, 56, 80, 100 |
29 |
15, 37, 56, 79, 90 |
63 |
10, 22, 51, 65, 83 |
96 |
19, 39, 60, 78, 87 |
30 |
19, 27, 55, 61, 95 |
64 |
2, 28, 59, 75, 82 |
97 |
18, 38, 57, 61, 98 |
31 |
7, 25, 47, 66, 98 |
65 |
16, 21, 41, 66, 100 |
98 |
20, 31, 48, 79, 89 |
32 |
14, 39, 58, 62, 89 |
66 |
17, 35, 60, 80, 84 |
99 |
11, 30, 42, 77, 98 |
33 |
4, 30, 50, 71, 99 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Рекомендуемая литература
1.Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу [Текст]: учебник для вузов
/Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков. – М.: Высшая школа, 2000. – 695 с.
2.Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры [Текст]: учебник для вузов / Д. В. Беклемишев. – М.: Наука, 1987. – 304 с.
3.Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст]: учеб. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука, 1988. – 432 с.
4.Гусак, А. А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра [Текст] / А. А. Гусак. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 288 с.
5.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Том I, II [Текст] / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с., 416 с.
6.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1, 2 [Текст]
/Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.
7.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1, 2 части [Текст]
/Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, 2002. – 288 с., 256 с.
8.Шипачев, В. С. Основы высшей математики [Текст] / В. С. Щипачев.– М.: Высшая школа, 1998. – 479 с.
9. |
Шнейдер, В. Е. Краткий курс высшей математики. Том I [Текст] / |
В. Е. |
Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С.Шумов. – М.: Высшая школа, 1978. – 384 с. |
10.Пластинина, Е. В. Теоретические сведения и примеры решения задач по математике для студентов I курса ФБО [Текст]: учеб. пособие / Е. В. Пластинина, С. Е. Зубкова, М. Н. Габова. – Ухта: УГТУ,2009. – 124 с.
11.Мужикова, А. В. Теоретические сведения и примеры решения задач по мате-
матике для студентов 2 курса ФБО [Текст]: учеб. пособие / А. В. Мужикова, Е. В. Жилина, Е. Н. Мотрюк, И. Ф. Чупров. – Ухта: УГТУ, 2009.
6
Контрольная работа № 5 Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.
1-20. Дана скалярная функция двух переменных z = f (x; y). Найти частные производные первого порядка и полный дифференциал функции.
1. |
z = |
|
|
y |
|
11. |
z = x2 ln(x + y) |
x |
2 |
− y |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
2. |
z = ln(x2 − 4 y3 ) |
|||
3. |
z =sin(x + cos y) |
|||
4. |
z =ln |
x2 |
− y2 |
|
|
xy |
|||
|
|
|
||
5.z =cos ln xy
6.z =arcsin xy
7.z =ln(x3 −5y2 )
8.z = x3 + x2 y +1
9.z = xln(xy)
10.z = arctg(x2 y)
12.z = ln(x2 + y2 )
13.z = 2(x2 1+ y2 )
= x − y
14. z + x y
15. |
z =ln x2 + y |
16.z =arcsin(x2 y)
17. |
z = |
1 |
|
x2 + y2 |
|||
|
|
18.z = xsin xy + y cos xy
19. |
z =ln x2 + y2 |
|||
20. |
z =arctg |
y |
|
|
x |
||||
|
|
|||
21-40. Найти экстремумы функции z = f (x; y).
21. z = 4x2 y +24xy + y2 +32 y −6 , y >0 . 22. z = x2 − 2 y2 + 4xy −3x + 4 y −1.
23. z = −x2 + xy − y2 −9x +3y −20.
24. z = x4 + y4 −2x2 + 4xy −2 y2 , x > 0 .
25. z = 6x2 −7xy + 2 y2 −3y +6x .
26. z = x3 + y2 −6xy −39x +18y + 20 , y >0 . 27. z = x2 + xy + y2 −2x −3y +5 23 .
28. z = 2x3 + 2 y3 −36xy +10 , x > 0 .
7
29. |
z = 2x2 −3xy + y2 − 2x + y −5 . |
|
|
30. |
z = −x2 + xy − y2 −9 y +6x −35 . |
|
|
31. |
z = x3 y2 (12 − x − y), x > 0 , y > 0 . |
|
|
32. |
z = 4x2 −5xy +3y2 −9x −8y . |
|
|
33. |
z = x2 + xy + y2 −3x −6 y . |
|
|
34. |
z = xy2 (1 − x − y), x > 0 , y > 0 . |
|
|
35. |
z = x3 + y3 −15xy , x > 0 . |
|
|
36. |
z = x3 +3xy2 −15x −12 y , x > y , |
x + y > 0 . |
|
37. |
z = x2 + xy + y2 −2x − y . |
|
|
38. |
z = x3 y2 (6 − x − y), x > 0 , y > 0 . |
|
|
39. z = x2 + xy + y2 + x − y +1. |
|
|
|
40. |
z = x3 −3xy + y3 , x > 0 . |
|
|
41-60. Вычислить двойной интеграл по области D. |
|
||
41. |
∫∫(12x2 y2 +16x3 y3 )dxdy; |
51. |
∫∫(9x2 y2 +48x3 y3 )dxdy; |
|
D |
|
D |
|
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
42. |
∫∫(36x2 y2 −96x3 y3 )dxdy; |
|
D |
|
D : x =1, y = 3 x, y = −x3. |
43. |
∫∫(27x2 y2 +48x3 y3 )dxdy; |
|
D |
|
D : x =1, y = x2 , y = −3 x. |
44. |
∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy; |
|
D |
D : x =1, y = x, y = −x2 .
52.∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = x3 , y = −3 x.
53.∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = 3 x, y = −x2 .
54.∫∫(27x2 y2 +48x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = x3 , y = − x. |
|
D : x =1, y = x, y = −x3. |
45. ∫∫(4xy +3x2 y2 )dxdy; |
55. |
∫∫(12xy +9x2 y2 )dxdy; |
D |
|
D |
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
|
D : x =1, y = x, y = −x2 . |
8
46. |
∫∫(8xy +9x2 y2 )dxdy; |
56. |
∫∫(24xy +18x2 y2 )dxdy; |
|
D |
|
D |
|
D : x =1, y = 3 x, y = −x3. |
|
D : x =1, y = x3 , y = −3 x. |
47. |
∫∫(12xy +27x2 y2 )dxdy; |
57. |
∫∫(8xy +18x2 y2 )dxdy; |
|
D |
|
D |
D : x =1, y = x2 , y = −3 x.
48. |
∫∫D |
|
4 |
|
9 2 |
2 |
||||
|
|
|
|
xy + |
|
|
|
x y |
|
|
|
5 |
11 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy; |
||
|
D : x =1, y = x3 , y = − x. |
|||||||||
49. |
∫∫( |
24xy −48x3 y3 )dxdy; |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x =1, y = 3 x, y = −x2 .
58. |
∫∫D |
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
xy +9x y |
|
|
|
5 |
||||
|
|
|
dxdy; |
||
D : x =1, y = x, y = −x3.
59.∫∫(6xy +24x3 y3 )dxdy;
D
D : x =1, y = x2 , y = − x. |
|
D : x =1, y = x, y = −x2 . |
50. ∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy; |
60. |
∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy; |
D |
|
D |
D : x =1, y = 3 x, y = −x3. |
|
D : x =1, y = x3 , y = −3 x. |
61-80. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
61.y2 −2y + x2 = 0, y2 −4y + x2 = 0,
y = x
3, y = 3x.
62.y2 −6 y + x2 = 0, y2 −8y + x2 = 0,
y = x
3, y = 3x.
63.y2 −8y + x2 = 0, y2 −10 y + x2 = 0,
y = x
3, y = 3x.
64.y2 −4 y + x2 = 0, y2 −6 y + x2 = 0, y = x, x = 0.
65.y2 −6 y + x2 = 0, y2 −10 y + x2 = 0, y = x, x = 0.
71.x2 −4x + y2 = 0, x2 −8x + y2 = 0,
y = 0, y = x
3.
72.x2 −2x + y2 = 0,
x2 −4x + y2 = 0, y = 0, y = x.
73.x2 −4x + y2 = 0,
x2 −8x + y2 = 0, y = 0, y = x.
74.x2 −2x + y2 = 0, x2 −10x + y2 = 0,
y = 0, y = 3x.
75.x2 −2x + y2 = 0, x2 −4x + y2 = 0,
y = x
3, y = 3x.
9
66.y2 −2 y + x2 = 0, y2 −4 y + x2 = 0,
y = 3x, x = 0.
67.y2 −4 y + x2 = 0, y2 −6 y + x2 = 0,
y = 3x, x = 0.
68.y2 −2y + x2 = 0, y2 −6 y + x2 = 0, y = x
3, y = 0.
69.y2 −2y + x2 = 0, y2 −10 y + x2 = 0,
y = x
3, y = 3x.
70.y2 −4y + x2 = 0, y2 −10 y + x2 = 0,
y = x
3, y = 3x.
76.x2 −2x + y2 = 0, x2 −6x + y2 = 0,
y = x
3, y = 3x.
77.x2 −2x + y2 = 0, x2 −8x + y2 = 0,
y = x
3, y = 3x.
78.x2 −2x + y2 = 0, x2 −4x + y2 = 0,
y = 0, y = x
3.
79.x2 −2x + y2 = 0, x2 −6x + y2 = 0,
y = 0, y = x
3.
80.x2 −2x + y2 = 0,
x2 −6x + y2 = 0, y = 0, y = x.
81-100. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями. Сделать чертеж тела и его проекции на плоскость xOy .
21. |
x2 + y2 = 4, |
z = 0, z = 3 . |
31. |
z = |
9 − x2 − y2 , |
9z = x2 + y2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
22. |
z = 9 − x2 − y2 , |
z =1. |
32. |
z = |
8 − x2 − y2 , |
z = |
x2 + y2 . |
||||
23. |
x2 + y2 = z2 , |
|
z = 3. |
33. |
x2 + y2 =10 − z, |
z = 3 |
x2 + y2 . |
||||
24. |
z = |
x2 + y2 , |
|
2z =8 − x2 − y2 . |
34. |
z = 2(x2 + y2 ), |
z =18 . |
|
|||
25. |
2z = x2 + y2 , |
|
z = 2 . |
35. |
z = |
9 − x2 − y2 , |
z = |
x2 + y2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
z2 = 2(x2 + y2 ), |
|
|
80 |
|
26. |
x2 + y2 = z +1, |
z = 3 . |
36. |
|
z = 0, |
z = 4 . |
|||||
27. |
z = x2 + y2 , |
z = |
x2 + y2 . |
37. |
z = |
x2 + y2 , |
z = 2 − x2 − y2 . |
||||
28. |
3z =10 − x2 − y2 , |
z = x2 + y2 . |
38. |
z = x2 + y2 , z = 4 . |
|
||||||
29. |
z = 3 |
x2 + y2 , |
z =10 − x2 − y2 . |
39. |
z = 4 − x2 − y2 , |
|
z = 0 . |
|
|||
30. |
z = |
16 − x2 − y2 , |
6z = x2 = y2 . |
40. |
z = |
x2 + y2 , |
z = 6 − x2 − y2 . |
||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|