mehanika_spl.sr.tekst_lekciy_popov_savich

Оглавление

стр Предисловие…………………………………………… 4

Лекция 1. Действие с тензорами……………………… 6 Лекция 2. Закон преобразования тензоров………….. 15 Лекция 3. Кинематика деформируемой среды……… 22 Лекция 4. Распределение сил сплошной среды.

Равенства Коши……………………………. 28

Лекция 5. Уравнения статики сплошной среды в

“напряжениях” …………………………….. 34

Лекция 6. Общие теоремы динамики сплошной Среды……………………………………….. 38

Лекция 7. Законы сохранения массы и энергии…….. 45 Лекция 8. Теорема Бернулли…………………………. 49 Лекция 9. Уравнение Навье-Стокса и их применение

для решения простейших линейных задач…. 56

3

Предисловие

Предмет и методы механики сплошной среды. Механика сплошной среды – обширная часть механики, изучающая движение газообразных, жидких и твёрдых деформируемых тел.

Вмеханике сплошной среды с помощью и на основании методов и данных, развитых

втеоретической механики, рассматривается движение таких материальных тел, которые заполняют пространство сплошным образом, расстояние между точками которых во время движения меняется.

По мимо обычных материальных тел, подобных воде, воздуху или железу, в механике сплошной среды рассматриваются такие особые среды – поля: электромагнитное поле, поле излучений, гравитационное поле и другие.

Многими движениями деформируемых тел мы можем управлять в необходимой степени, опираясь на повседневный элементарный опыт. Каждый из нас может сразу указать способ решения практических вопросов о движении деформируемых тел, например, как перелить воду из одного сосуда в другой, как сохранить тёплый воздух в нутрии помещения, как защитить себя от ветра и дождя и т.п. Вместе с тем существует множество других вопросов, на которые можно дать ответы только на основании специальных знаний. Например, какова скорость вытекания газов из отверстия в баллоне, как будет двигаться в атмосфере воздушный циклон; как можно снизить воздушное сопротивление самолёта или водяное сопротивление корабля; что произойдёт с увеличением или уменьшением диаметра воздушного винта на самолёте; что можно сказать о распределении давлений и о движении воздуха при взрыве бомбы и т.д.

Сразу отметим, что существует много вопросов и задач, на которые мы ещё не можем дать требуемого удовлетворительного ответа с помощью известных нам экспериментальных и теоретических методах.

Вместе с тем современная техника усложнилась на столько, что теперь в технике уже нельзя обходиться без науки, без использования накопленного и систематизированного опыта.

Назовём наиболее существенно разработанные проблемы механики сплошной среды.

1. Проблемы воздействия жидкости и газа на движущиеся на них тела. Особенным стимулом развития этой проблемы послужили технические задачи о движении самолётов, вертолётов, дирижаблей, снарядов, ракет, кораблей, подводных лодок.

2. Движение жидкости и газов по трубам и вообще внутри различных машин. В этих вопросах основное значение имеют законы взаимодействия жидкости с границами потока, в частности, величина сопротивления подвижных и неподвижных твёрдых стенок; явление не равномерности распределения скоростей и т.д. Эти задачи имеют непосредственное значение для проектирования газопроводов, нефтепроводов, насосов, турбин и других гидравлических машин.

3. Фильтрация – движение жидкости сквозь почву и другие пористые среды. Например, в почве постоянно наблюдается движение воды, которое необходимо учитывать при постройке фундаментов различных сооружений: плотин, опор мостов, гидростанций, подземных туннелей и т.д. Большое значение фильтрация имеет в нефтяном деле.

4. Волновое движение. Распространение волн в твёрдых телах; волны на поверхности моря; волны, вызываемые движением корабля; распространение волн в каналах и реках; приливы и отливы; сейсмические процессы; звуковые колебания; общая проблема шума в различных среда и т.д.

5. Неустановившиеся движения газов с химическими превращениями при взрывах, детонации и горении, например в потоке воздуха в цилиндрах поршневых машин или камерах реактивных двигателей и т.д.

6. Теория турбулентных движений газов и жидкостей, представляющих собой в действительности очень сложные не регулярные, случайного характера движения. Подавляющее число движений газов и жидкостей в звёздах и космических облаках, в атмосфере земли, в

4

реках, в каналах, в трубопроводах имеет турбулентный характер. Отсюда ясна огромная важность теории и экспериментов, посвященных изучению турбулентности.

7.Проблемы магнитной гидродинамики и исследований движений ионизированных сред – плазмы, с учётом их взаимодействия с электромагнитным полем в настоящее время приобретает первостепенное познавательное и техническое значение. В частности, такие явления надо изучать при создании магнтогидродинамических генераторов электрического тока, в которых происходит непосредственное превращение энергии движения плазмы в энергию электрического тока. Проблемы использования термоядерной энергии теснейшим образом связано с разрешением задач о поведении высокотемпературной плазмы в сильных магнитных полях.

8.Наука о прогнозе погоды – метеорология – в значительной степени представляет собой изучение движения воздушных масс в атмосфере земли и является важнейшим разделом механики сплошной среды, тесно связанным с множеством других разделов физики.

9.Значительная часть механики сплошной среды посвящена исследованию движений и равновесию твёрдых деформируемых тел. Теория упругости является основой для создании всякого рода сооружений и всевозможных машин. Большое значение имеет изучение различных видов усталости материалов, учёт явлений наследственности в процессах движения и равновесия тел. Наконец большое значение имеют работы, посвящённые общей задаче о прочности и о разрушении конструкций из различных материалов. Это важнейшая практическая задача до сих пор ещё не имеет ясного удовлетворительного решения.

10.Можно упомянуть ещё о механических проблемах, связанных с движением всякого рода смеси, с движением песков, снега и различных грунтов, сплавов, жидких растворов, суспензии и эмульсии. Интересные проблемы кавитации, характеризующиеся образованием и исчезновением в движущейся жидкости пузырьков и больших каверн, наполненных газами и парами жидкости.

Вмеханики сплошной среды разрабатываются методы сведения механических задач к задачам математическим, то есть к задачам об отыскании некоторых чисел или числовых функций с помощью различных математических операций.

Кроме того, важнейшей целью механики сплошной среды является установление общих свойств и законов движений деформируемых тел.

Следует отметить, что само решение конкретных задач механики сплошной среды путём математических операций также обычно относиться к механики сплошной среды. Это объясняется тем, что, как правило, даже в простейших случаях математически поставленные задачи получаются очень трудными и не разрешимыми эффективно современными средствами математики.

Оказывается также, что различные проблемы механики сплошной среды и математические методы их исследования во многих случаях тесно связанны между собой. Так, например, исследования движении жидкости в трубах послужили для объяснения движении жидкости окала крыла самолета. Методы решения задачи об обтекании крыла самолёта имеют много общего с математическими методами решения задач о фильтрации жидкости в почве. Многие результаты теории движения газов в трубах, оказывается, можно использовать при рассмотрении различных задач о волновом движении воды в каналах и т.д.

Внастоящем курсе мы изложим основы механики сплошной среды, которые достаточны и необходимы для специального изучения различных конкретных вопросов.

5

Лекция 1

Действия с тензорами 1. Тензоры и механика сплошной среды

Механика сплошной среды имеет дело с физическими величинами, которые не зависят от выбора системы координат, применяемой для их описания. Математически такие величины представляются тензорами.

Тензор как математический объект существует независимо от системы координат. И в то же время в каждой системе координат его можно задать некоторой совокупностью величин, называемых компонентами тензора. Если компоненты тензора заданы в одной системе координат, то они будут известны и в любой другой системе, ибо само определение тензора включает закон преобразования его компонент. Компоненты могут быть функциями, например, времени и координат.

Так как большая часть механики сплошной среды может быть изучена при помощи прямоугольной декартовой системы координат, то ограничимся изучением «декартовых тензоров».

Тензоры классифицируются по рангу, в соответствии с частным видом законов преобразования, которым они подчиняются. В трёхмерном евклидовом пространстве число компонент тензора равно 3n, где n – ранг тензора. Тензор нулевого ранга (30 = 1) задаётся в любой системе координат пространства любого числа измерений одной компонентой; такие тензоры называются скалярными и выражают физические величины характеризующиеся только одним численным значением (температура, плотность, масса и т.д.). Тензоры первого ранга (31 = 3) имеют три координатные компоненты в трёхмерном пространстве. Они называются векторами и представляют величины, которые характеризуются как численным значением, так и направлением в пространстве (скорость, ускорение, сила и т.д.). Тензоры второго ранга (32 = 9) называются диадиками. Они описывают некоторые характеристики, важные в механике сплошной среды, и

ненту.

2. Скаляры и векторы. Система координат. Базисные векторы

Скаляр – это величина, полностью определяемая в любой координатной системе одним числом (или функцией), которое не меняется при изменении пространственной системы координат.

Скаляр имеет одну компоненту. Таким образом, если φ – значение скаляра в одной системе координат, а φ' – в другой, то всегда

φ' = φ.

Например, температура в какой-либо точке пространства не зависит от того какая пространственная система координат применяется для описания этого пространства.

Векторные величины требуют для своего определения трёх действительных чисел или функций.

Вектор V изображается отрезком прямой, направление которого совпадает с направлением рассматриваемой величины, а длина в выбранном масштабе характеризует его численное значение (модуль вектора).

Выбор системы координат произволен. Задать систему координат – это значит задать единицы измерения длин векторов и указать направление осей в пространстве, чтобы можно было определить ориентацию векторов.

6

Ортогональную декартовую систему координат Оxyz обычно представляют взаимно перпендикулярными осями x, y, z. В качестве базиса обычно берут набор единичных векто-

ров i , j,k , направленных вдоль осей координат в положительном направлении отсчё-

та. Эти базисные векторы образуют правый триэдр единичных векторов (рис. 1.1), которые согласно правила скалярного и векторного произведения двух векторов обладают следующими свойствами:

Рис. 1.1

Такой набор базисных векторов называют ортонормированным базисом. Вектор V , изображённый на рис.1,1 можно представить в виде линейной комбинации единич-

ных векторов i j,k :

V vxi vy j vzk ,

. Вектор V произволен, следовательно, для любого единичного вектора его направляющие косинусы являются его декартовыми компонентами.

7

Для принятого обозначения скалярное произведение векторов a и b в декартовых компонентах запишется в форме:

a b (a1e1 a2e2 a3e3 ) (b1e1 b2e2 b3e3 ) a1b1 a2b2 a3b3 .

Для тех же двух векторов векторное произведение имеет вид

a b (a2b3 a3b2 )e1 (a3b1 a1b3 )e2 (a1b2 a2b1 )e3

или его можно записать в виде определителя

b1 b2 b3

Смешанное произведение трёх векторов так же можно записать через компоненты этих векторов в виде определителя:

кулярен к вектору a .

Этот вектор, компланарный векторам b и c вычисляется по формуле:

a (b c ) b(a c ) c(a b )

В общем случае a (b c) (a b) c , так как:

(a b) c b(a c) a(b c).

3. Диады и диадики

Диадой называется неопределённое произведение двух векторов, которое по определению задаются написанием векторов один за другим без всяких знаков между

ними ab . Неопределённое произведение в общем случае некоммутативно, т.е.

ab ba .

Диадиком называется тензор второго ранга; он всегда может быть представлен в виде суммы конечного числа диад

В символических обозначениях тензоры второго ранга (диадики) записываются заглавными буквами, как это сделано выше.

Если в каждой диаде формулы (1.1) первый и второй сомножители поменять местами, то полученный тензор второго ранга называется сопряжённым исходному и записывается так:

8

Если каждую диаду в сумме D формулы (1.1) заменить скалярным произведением соответствующих векторов, то получится скаляр, называемый скаляром диадика D, который записывается в виде

Если каждую диаду в формуле (1.1) заменить векторным произведением составляющих её векторов, то результат будет называться вектором диадика D и записываться так:

Неопределённое произведение векторов обладает свойствами дистрибутивности:

Два диадика D и В равны тогда и только тогда, когда для любого вектора V справедливо равенство

где e1,e2 ,e3 - векторы любого ортонормированного базиса в трехмерном евклидовом пространстве. Единичный диадик Е характеризуется следующим свойством:

9

В заключение отметим, что диада ab через декартовы компоненты выразится

так:

ab (a1e1 a2e2 a3e3 )(b1e1 b2e2 b3e3 ) a1b1e1e1 a1b2e1e2 a1b3e1e3 (1.24)a2b1e2e1 a2b2e2e2 a2b3e2e3 a3b1e3e1 a3b2e3e2 a3b3e3e3.

Из-за того, что выражение (1.24) состоит из девяти членов, оно называется де-

вятичленной формой диады ab . Любой тензор второго ранга можно записать в девятичленной форме. Скалярные множители при ортальных диадах будут компонентами диадика. Если некоторые из компонент окажутся равными нулю, то число диад в диадике уменьшится на это же число. Например, если диадик В состоит из пяти диад

В 2е1e1 е1е3 3е2е3 4е3е2 е3е3,

то остальные четыре компоненты этого диадика равны нулю.

4. Индексные обозначения.

Интервал изменения индексов и соглашение о суммировании

Компоненты тензора любого ранга и сам тензор можно наглядно и кратко представить с помощью индексных обозначений. Эти обозначения состоят в том, что к основной букве, представляющей тензор, добавляются верхние или нижние буквенные индексы.

По правилам индексных обозначений буквенный индекс может встречаться в каждом члене один или два раза. Неповторяющийся индекс называют свободным. Тензорный ранг данного члена равен числу свободных индексов в этом члене. Правильно написанные тензорные соотношения имеют одинаковые свободные индексы в каждом члене.

Если индекс употребляется дважды, то подразумевается, что этот индекс принимает все значения из своего интервала изменения и члены, соответствующие каждому

свободный индекс, узнаются тоже тензоры первого ранга

10