Тема 3. Деякі задачі на пряму і площину в просторі.

Зміст:

1. Кут між прямою та площиною. Умови перпендикулярності та паралельності прямої і площини. Приклад.

2. Перетин прямої з площиною. Приклад.

3. Рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до даної площини. Приклад.

4. Рівняння площини, яка проходить через точку паралельно до заданої площини. Приклад.

5. Рівняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно до заданої прямої. Приклад.

1. Кут між прямою та площиною

Означення: Кутміж прямою і площиною – це гострий кут між прямою та її проекцією на площину.

Нехай пряма і площина задані відповідно рівняннями:

та

Тоді, ,- кут між вектором нормаліданої площини та напрямним векторомпрямої.

Кут можна знайти за формулою

З іншого боку. Тому кут між прямою і площиною обчислюється за формулою:

(1)

Випадки:

• Якщо пряма паралельна площині то кут дорівнює нулю і навпаки. Тому(2) - умова паралельності прямої та площини.

• Якщо пряма перпендикулярна до площини, то вектори іколінеарні і навпаки. Тому (3) – умова перпендикулярності прямої і площини.

Приклад: Знайти кут між прямою і площиною.

Розв'язок:

1. Кут за формулою (1):тому для того щоб знайти потрібний кут потрібно знати координати напрямного вектора прямої та координати вектора нормалі площини.

2. Згідно умові . Враховуючи загальний вигляд прямої в параметричному вигляді маємо, що координати напрямного вектора будуть наступні -.

3. Отже,

Отримали,

Відповідь: 30⁰

2. Перетин прямої з площиною

Пряма в просторі може перетинати площину, бути до неї паралельною або належати їй.

Нехай пряма і площина задані рівняннями тавідповідно. Запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді: і підставимо отримані координати довільної точки прямої в рівняння площини. Отримаємо:Спростимо дане рівняння виконавши алгебраїчні дії:

Можливі випадки:

• - пряма перетинає площину в одній точці;

• ;

• .

Приклад:При яких значенняхA i D пряма належить площині

Розв'язання:

Умова того що пряма належить площині наступна: . В нашому випадку;;, підставимо ці значення в систему:

.

Тоді . Отже, при значенняхпряма перетинає площину в одній точці.

Відповідь:

3. Рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до даної площини

Потрібно скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до площини

Оскільки пряма проходить через точку , то її рівняння має вигляд, де- напрямний вектор даної прямої. Але за умови ця пряма перпендикулярна площині, тому напрямний вектор прямої перпендикулярне вектору нормалі цієї площини, тобто координати ціх векторів пропорційні. Значить, за напрямний вектор прямої можливо взяти координати вектора нормалі площини, тобто. В результаті чого рівняння прямої має вигляд:

(4)

Приклад: Скласти рівняння прямої, яка проходить через точкуперпендикулярно до площини

Розв'язання:

Вектор нормалі даної площини має координати . Шукана пряма проходить через точку. Тому згідно рівнянню(4) можемо записати рівняння шуканої прямої:

-рівняння шуканої прямої.

Відповідь: