Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матемVM_Санюкевич А.В._ч

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

721.03 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

д) Определить 95%-ый доверительный интервал для коэффициентов регрессии.

е) При уровне значимости α =0,05 проверить адекватность линейной

регрессии исходным данным.

ж) Оформить отчет по лабораторной работе.

4.7 Пример выполнения работы

По результатам измерений возраста (X) и дневной выработки молодых рабочих (Y) выполним все задания лабораторной работы.

	Y	10-16	16-22	22-28	28-34	34-40	ni
X		10-16	16-22	22-28	28-34	34-40	ni
X

14-20		3					3
20-26		7	2	3			12
26-32		2	8	50			60
32-38			6	4	2		12
38-44					6	3	9
44-50						4	4
m j		12	16	57	8	7	100

б) Найдем середины интервалов признаков X и Y. Так как значения вариант X, Y достаточно велики, а длина интервалов их значений соответственно hx = 6 ,

hy =6 , то введем условные варианты: u = 61 (x − 29) , v = 61 (y − 25) . Вычислим

величины условных вариант и составим корреляционную таблицу.

1) По результатам вычислений, сведенным в таблице, находим:

u = ∑nniui = 10024 =0,24 , v = ∑mnjv j = −10018 = −0,18 .

Тогда выборочные средние признаков X и Y:

x = 29 +6u = 29 +6 0,24 = 30,44 , y = 25 +6v = 25 −6 0,18 = 23,92 .

Для вычисления дисперсий признаков X и Y находим дисперсии U и V по формулам:

∑niui2

∑niui

108

− (u )

−0,24

1,0224 ,

σu =u

−

100

∑m jv2j

∑m jv j 2

100

= v

−

(v)

− (−0,18)

=0,9676 ,

σv

−

100

σu ≈1,011,

σv ≈0,9837 .

Тогда,

σx =σu hx =1,011 6 =6,066 , σ y

=σv hy =0,9837 6 = 5,9022 .

			Y		13	19	25	31	37	n	n u		∑n v		n			u	2	u	∑n v
												i		j								j

				v						i	i		ij						i	i	ij
X		u		v	-2	-1	0	1	2						i				i
X					-2	-1	0	1	2

17			-2		3					3	-6		-6			12					12
23			-1		7	2	3			12	-12		-16			12					16
29			0		2	8	50			60	0		-12				0				0
35			1			6	4	2		12	12		-4			12					-4
41			2					6	3	9	18		12			36					24
47			3						4	4	12		8			36					24
	m	j			12	16	57	8	7	100	24		-18		108						72

mj vj					-24	-16	0	8	14	-18
∑nijui					-13	4	1	14	18	24
mj v2j					48	16	0	8	28	100
vi ∑nij ui					26	-4	0	14	36	72

2) Условным средним yx0 называют среднее арифметическое значений Y,

соответствующих значению X=x0. Таким образом,
		y17	= 3 13		=13 , y25 = 7 13 + 2 19 + 3 25							=17 ,
			3						12
y29 = 2 13 + 8 19 + 50 25 = 23,8 , y35 = 6 19 + 4 25 + 2 31 = 23,
			60							12
			y41 = 6 31 + 3 37 = 33,						y47 =	4 37 = 37 .
					9					4
Занесем полученные данные в таблицу:
		X		17		23		29	35		41		47
Аналогично		yx		13		17		23,8	23		33		37
Аналогично		найдем условные средние xy :
	Y		13		19		25		31		37			47
	xy		22,5		30,5		29,10526		39,5		44,42857			37

3) Коэффициент корреляции признаков X и Y совпадает с коэффициентом корреляции условных вариант, который вычисляем по формуле

∑nijuiv j

r =

−0,24 (−0,18) ≈0,767 .

−u v

1,011 0,9837

100

σuσv

Следовательно, коэффициент

детерминации

r2 ≈0,588 . Полученный

результат означает, что 58,8% рассеивания зависимой переменной объясняется линейной регрессией Y на X, а 41,2% рассеивания Y остались необъясненными. Эти 41,2% необъясненной дисперсии Y могут быть вызваны либо случайными

ошибками, либо тем, что линейная регрессионная модель плохо согласуется с экспериментальными данными.

4) Статистическим корреляционным отношением Y на X (X на Y) называют отношение средних квадратов отклонения регрессии от соответствующих общих средних к статистическим средним квадратичным отклонениям:

ηY / X =

σ y

, ηX / Y =

σx

, где σ y2 =

∑(

− y)2 ni , σx2

∑(

− x)2 n j .

x j

σ y

σx

Тогда,

σy2 = 1001 (3(13 − 23,92)2 +12(17 − 23,92)2 +60(23,8 − 23,92)2 +

+12(23 − 23,92)2 + 9(33 − 23,92)2 + 4(37 − 23,92)2 ) =0,01 2369,76 ≈ 23,7 ;

σx2 = 1001 (12(22,5 − 30,44)2 +16(30,5 − 30,44)2 + 57(29,1 − 30,44)2 +

+8(39,5 − 30,44)2 +7(44,43 − 30,44)2 ) =0,01 2884,557 ≈ 28,8 ;

σy ≈ 4,868 , σx ≈ 5,37 .

Таким образом, получим: η				= 4,868	≈0,825	, η	X /	Y	= 5,37	≈0,885 .
			Y / X	5,9022			X /	Y	6,066
				5,9022					6,066
в) Построим корреляционное поле.
60
54
48
42
36
30
24
18
12
6
0
5	11	17	23	29	35		41		47	53
-6
-12
По характеру расположения точек на корреляционном поле можно
предположить, что функция регрессии имеет линейный вид.

г) Найдем	значения			параметров	эмпирической линейной функции
регрессии Y на	X: y		− y = b (x − x) ,		где b = r	σ y	=0,767	5,9022	≈0,746 .
						σx		6,066
		x		1	1

Тогда, уравнение регрессии Y на X имеет вид: y − 23,92 =0,746(x − 30,44) или y =0,746 x +1,212 .

Найдем значения параметров эмпирической линейной функции регрессии

X на

− x = a

(y − y),

где

= r

σx

=0,767

6,066

≈0,788 .

Тогда,

5,9022

σ y

уравнение

регрессии

на

имеет

вид:

x − 30,44 =0,788(y − 23,92) или

x =0,788 y +11,591.

Построим

на

корреляционном

поле

прямые

линии

регрессии

y =0,746 x +1,212 и x =0,788 y +11,591.

д) Найдем 95%-ый доверительный интервал для коэффициентов регрессии.

Если уравнение регрессии имеет вид

yx =b0 + b1x ,

то границы доверительных

интервалов равны:

для коэффициента b0:

∑xi2

(b0

−t

σ y x

;b0

+ t

σ y x

) ;

n∑xi2 − (∑xi )2

n∑xi2

− (∑xi )2

1−

;n−2

1−

;n−2

для коэффициента b1:

(b1

−t

σ y x

;b1

+ t

σ y x

) ;

n∑xi2 − (∑xi )2

n∑xi2

− (∑xi )2

1−

;n−2

1−

;n−2

где

найденные

оценки

коэффициентов;

t1−α;n−2

–

квантиль

b0 ,

b1 –

n − 2

распределения

Стьюдента с

степенями свободы;

σy x –

остаточная

дисперсия (σ y x

nσ y2 (1 − r2 )

n − 2

100 − 95

=0,05 ; t1−

;n−2 =t0,975;98 =1,98 ;

b0 =1,212

;

0,746 ; α =

100

nσ y2 (1 − r2 )

100

5,90222 (1 −0,7672 )

≈14,635 ,

σ y x ≈ 3,826 ;

σ y x

n − 2

100 − 2

∑xi2

∑xi

∑xi2

−

n∑x

− (∑x )2

2 (∑ i

−

∑ i

)

n(∑ i

− ∑ i

)

+ x2

6,066

2 + 30,442

≈0,512 ;

σx

nσx2

6,066

100

n∑xi2 − (∑xi )2

∑xi2

∑xi 2

(

∑xi

)

nσ2x

−

)

−

≈0,016 .

6,066 10

σx

Доверительный интервал для коэффициента b0

тогда будет равен

(1,212 −1,98 3,826 0,512;1,212 +1,98 3,826 0,512) или (−2,667;5,091) .

Доверительный интервал для коэффициента b1

будет равен

(0,746 −1,98 3,826 0,016;0,746 +1,98 3,826 0,016) или (0,625;0,867) .

е) Для проверки значимости полученного выборочного коэффициента

корреляции вычислим статистику

t = r

n − 2

, имеющую

распределение

1 − r2

Стъюдента с ν = n − 2 степенями свободы:

tНАБЛ =0,767

100 − 2

≈

11,8 .

1 −0,7672

Для проверки

нулевой

гипотезы

H0 : rΓ = 0

найдем

по

таблицам

распределения Стъюдента по фиксированному уровню значимости α =0,05 и

числу		степеней	свободы	ν =100 − 2 = 98			критическое	значение
tα	;n−2	=t0,025;98 =1,984	. Поскольку tНАБЛ		>tα	;n−2	, то нулевую	гипотезу
2	;n−2				2	;n−2
2					2

отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, то есть возраст X и дневная выработка Y коррелированы.

ж) Для проверки значимости полученного выборочного коэффициента


корреляции вычислим статистику	t = r			n − 2			, имеющую	распределение

Стъюдента с ν = n − 2 степенями свободы:				1 − r2

tНАБЛ =0,767		100 − 2				≈11,8 .
		1 −0,767			2

Для проверки нулевой гипотезы			H0 : rΓ = 0 найдем					по таблицам

распределения Стъюдента по фиксированному уровню значимости α =0,05 и

числу		степеней	свободы	ν =100 − 2 = 98				критическое	значение
tα	;n−2	=t0,025;98 =1,984 . Поскольку			tНАБЛ	>tα	;n−2	, то нулевую	гипотезу
2	;n−2					2	;n−2
2						2

2.9 Индивидуальные задания

Вариант № 1

Y		3	5	7	9	11	13	15	17
X
5		2	3	8
10			4	7	6
15				11	16	7
20					24	12	7
25						5	8	9
30							7	6	8
				Вариант № 3
XY	14,7 15,4 16,1 16,8 17,5 18,2 18,9 19,6
21		3	6	9
22			8	4	13
23				17	13	9
24					4	11	9	6
25							9	8	4
26						2	4	6	5
				Вариант № 5
Y		20	40	60	80	100 120 140 160
X
10		6	2	9	2
20			6	11	15	3
30				8	19	7
40				3	9	14	8
50						7	8	6
60								4	3
				Вариант № 7
XY	24,0 24,4 24,8 25,2 25,6 26,0 26,4 26,8
300		6	4	3
305			2	6	3
310				8	12	14	3
315				4	19	12	6
320						5	8	5	7
325							9	8	6

Вариант № 2

Y	26	36	46	56	66	76	86	96
X
3	5	12
7		8	11	7
11			10	8	15
15				17	9	6
19					9	10	8
23						6	5	4

						Вариант № 4
		Y		8	22	36	50	64	78	92 106
		X
		4		7	6	4	1
		20			6	4	8	3
		36				7	19	15
		52					11	9	6
		68					1	8	9	5
		84							8	6	7
					Вариант № 6
		Y	12		20	28	36	44	52	60	68
X
10,5			4		5	9	2
14,5					9	11	15
18,5						6	18	14	9
22,5								12	7	3
26,5								10	6
30,5									5	3	2
						Вариант № 8
		Y		35	40	45	50	55	60	65	70
	X
	28			7	8	3
	40				8	14	9
	52				6	12	9	9
	64						18	11	8
	76							7	5	3
	88								4	7	2

			Вариант № 9										Вариант № 10
X Y	18,5 19,7 20,9 22,1 23,3 24,5 25,7 26,9								XY		8,0 8,8 9,6 10,4 11,2 12,0 12,8 13,6
12,5	4	8	6						120		5	9
20,0		7	14	8					130			6	8	7
27,5				15	13	7			140				14	15	16	4
35,0				9	18	9	6		150					9	15	7
42,5						9	5	1	160							6	9	5
50,0							6	5	170								7	8
			Вариант № 11										Вариант № 12
Y	36	56	76	96	116 136 156 176					Y	2,3 3,8 5,3			6,8	8,3	9,8 11,3 12,8
X	36	56	76	96	116 136 156 176					X	2,3 3,8 5,3			6,8	8,3	9,8 11,3 12,8
5,4	6	4	4							21	5	13	8	5
7,0		8	17	9						34		6	17	18
8,6		3	9	18	9					47			10	12	18
10,2				16	7	8				60					9	4	3
11,8					6	8	5	1		73						6	8
13,4						6	4	2		86							3	5
			Вариант № 13										Вариант № 14
Y	2,2	3,6	5,0	6,4	7,8	9,2 10,6 12,0				Y	0,3 0,4 0,5			0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
X	2,2	3,6	5,0	6,4	7,8	9,2 10,6 12,0				X	0,3 0,4 0,5			0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
20	5	3	4							30	2	3	6	1
36		7	9	6						40		4	7	6	5	2
52			12	15	14					50			1	7	15	8	4
68			3	18	13	9				60			4	18	12	10	1
84				2	12	4	2			70				2	9	8	3
100							6	6		80						3	6	3

			Вариант № 15
Y	18,5 19,7 20,9 22,1 23,3 24,5 25,7 26,9
X
125	4	3	6	2
200		7	4	7	3
275			5	15	19	7	1
350			1	7	18	8	6
425					5	4	5	1
500						1	6	5

		Вариант № 16
Y	16	18	20	22	24	26	28	30
X
2,3	3	2	4
2,7		8	12	7
3,1			8	19	6
3,5			2	18	16	9
3,9				6	8	7	5
4,3						4	5	1

Вариант № 17

Y		7,5	8,0	8,5	9,0	9,5 10,0 10,5 11,0
X
1,5		2	5	4
2,0				9	8
2,5				5	17	17	4
3,0					13	15	7
3,5					2	18	9	2
4,0							8	4	1
				Вариант № 19
XY	22,0 22,4 22,8 23,2 23,6 24,0 24,4 24,8
1,0		3	2	1
1,2			6	9	5
1,4				10	27	6	3
1,6					12	19	5
1,8					4	7	6	3
2,0							5	9	8
				Вариант № 21
XY		0,58 1,08 1,58 2,08 2,58 3,08 3,58 4,08
50		3	3	9	6
74			5	9	9	2
98					13	23	9	2
122					7	19	9	4
146							2	3	5
170								5	3

Вариант № 23

Вариант № 18

		Y	0,3		0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
X
300				2	3	9
400						5	12	8
500							14	21	8
600						1	8	15	11
700								7	9	7
800									1	6	3
					Вариант № 20
		Y		11	13	15	17	19	21	23	25
		X
		10		1	3	7	2
		13			5	12	8
		16			2	14	16	6
		19				6	19	12	2
		22						8	8	7
		25							3	7	2
					Вариант № 22
		Y		14	17	20	23	26	29	32	35
	X
	1,8			2	6	9
	2,4				2	8	16	2
	3,0					6	18	15	1
	3,6						8	16	7
	4,2							5	6	9
	4,8								2	6	6

Вариант № 24

Y	2,3	3,8	5,3	6,8	8,3	9,8 11,3 12,8			Y	5	12	19	26	33	40	47	54
X									X
210	3	3	6						0,54	5	3	2	2
340		5	12	19	8				0,68		4	8	11	6
470			9	24	12				0,82			2	21	27	9	6
600				2	15	2	5		0,96				2	12	6	5
730					3	6	7		1,10						6	3	2
860							4	5	1,24							4	4

			Вариант № 25											Вариант № 26
Y	21,0 21,3 21,6 21,9 22,2 22,5 22,8 23,1									X	Y	64 72			80	88	96 104 112 120
X										X
0,90	1	3	2							1,0			6	2	4
1,05		4	2	5						1,3				3	8	6
1,20			5	17	8	1				1,6					2	8	14	5
1,35			6	22	24	9				1,9					8	17	28	9
1,50				3	7	6	7			2,2						5	9	5	6
1,65						6	7	5		2,5								1	1	3
			Вариант № 27											Вариант № 28
Y	56	68	80	92 104 116 128 140						Y	16			20	24	28	32	36	40	44
X									X
0,9	2	3	5						11,6		1			4	5
1,3		6	3	5					16,6		2			6	7	3
1,7			5	18	15				21,6						5	8	7
2,1				16	29	10			26,6						2	19	23	9
2,5			3	6	2	6	8		31,6							7	11	13	5
2,9						3	4	1	36,6									4	6	3
			Вариант № 29											Вариант № 30
Y	12	27	42	57	72	87 102 117				Y	1,8			2,9	4	5,1	6,2	7,3	8,4	9,5
X									X
2	4	2	5						5,1		2			3	4
52			7	5	2				7,3					4	6	8
102		1	3	9	14	6			9,5						7	15	14	1
152			5	19	28	6			11,7						5	29	19	7
202			1	2	9	6	7		13,9							4	5	5	3	1
252						3	2	4	16,1										6	2

ЛИТЕРАТУРА

1.Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Выш.шк., 1993.

2.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:

Высш.шк., 1991.

3.Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Выш.шк., 1976.

4.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., 1979.

5.Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике. – Мн.: Выш.шк., 1992.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица П.1

								1			x	t2
			Функция распределения Φ(x) =					1			∫e−	2 dt

							σ		2π
							σ		2π	0
x					Сотые доли x
x	0	1	2	3	4	5		6				7	8	9
	0	1	2	3	4	5		6				7	8	9

0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586

0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535

0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409

0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173

0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793

0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240

0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490

0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524

0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327

0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891

1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214

1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298

1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147

1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41308 0,41466 0,41621 0,41774

1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189

1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408

1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449

1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327

1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062

1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670

2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169

2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574

2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899

2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158

2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361

2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520

2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643

2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736

2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807

2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861

3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900

X					Десятые доли x
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

30,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984 0,49989 0,49993 0,49995

40,49997 0,49998 0,49999 0,49999 0,49999 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.08.2019484.86 Кб1марк в агро.doc
#
21.09.2019116.44 Кб2Маркетинг_МА-33.docx
#
20.09.2019426.5 Кб3маркировка!.doc
#
19.11.2019120.83 Кб4Масштаб.doc
#
01.03.2016575.29 Кб13матемVM_Санюкевич А.В._ч.1.pdf
#
01.03.2016721.03 Кб12матемVM_Санюкевич А.В._ч.2.pdf
#
01.03.2016510.45 Кб28Математическая статистика.pdf
#
19.07.2019283.14 Кб8материаловедение.doc
#
26.09.2019664.58 Кб72Мелиорация и водное хозяйство. Введение в специ...doc
#
25.04.2019113.71 Кб8Мелкие.docx
#
14.08.201927.51 Кб2менеджмент в торговле [7-12] ПЕРЕДЕЛ.docx