матемVM_Санюкевич А.В._ч

Если система (1.13) имеет единственное решение, то оно будет искомым.

1.6 Частные случаи

Укажем вид нормальных систем для определения параметров зависимостей 1-7.

1. Парабола y = ax2 + bx + c :

3. Экспонента y = a ebx . После логарифмирования равенства, получим ln y = ln a + bx .

Следовательно, нормальная система запишется в виде:

11

Система (1.22) запишется в виде

6. Гипербола y = a + bx .

12

Недостатком метода наименьших квадратов является громоздкость вычислений. Поэтому к нему прибегают обычно при обработке наблюдений высокой точности, когда нужно получить весьма точные значения параметров.

1.7 Порядок выполнения работы

а) Изучить краткий теоретический курс.

б) Подобрать вид эмпирической формулы для индивидуального задания. в) Ответить на контрольные вопросы.

г) Оформить отчет по лабораторной работе, учитывая рекомендации.

1.8 Рекомендации по выполнению лабораторной работы и оформлению отчета

После изучения основных теоретических сведений, данных в настоящем методическом указании, студент, получив индивидуальное задание, приступает к его выполнению.

Рекомендуется выполнять работу в следующей последовательности:

а) построить точки, данные в таблице-задании на миллиметровой бумаге; б) соединив построенные точки плавной кривой, сделать предварительный

вывод о виде эмпирической формулы.

13

Если предполагается квадратичная или линейная зависимость, то необходимо пользоваться аналитическими критериями, данными в настоящих методических указаниях. Для всех остальных случаев необходимо использовать критерии, данные в таблице 1.2. Все вычисления рекомендуется оформлять в виде таблицы 1.3 (как при решении примера-образца 1.3). После того, как вид эмпирической формулы будет определен, необходимо приступить к нахождению параметров эмпирической формулы и получить значения a, b, c подобранной эмпирической формулы.

1.9 Индивидуальные задания

14

называется число объектов, входящих в совокупность. В проведении ряда исследований выборочный метод является единственно возможным.

В результате первой стадии статистического исследования – статистического наблюдения – получают сведения о каждой единице совокупности. Задача второй стадии статистического исследования состоит в том, чтобы упорядочить и обобщить первичный материал, свести его в группы и на этой основе дать обобщающую характеристику совокупности. Этот этап в статистике называется сводкой.

Результаты сводки могут быть представлены в виде статистических рядов распределения. Статистическим рядом распределения называют упорядоченное распределение единиц совокупности. Статистический ряд, расположенный по возрастанию или убыванию вариант, называется вариационным. Статистические ряды распределения позволяют систематизировать и обобщать статистический материал. Однако они не дают всесторонней характеристики. Чтобы решить ряд конкретных задач, выявить особенности в развитии явления, обнаружить тенденции, установить зависимости, необходимо произвести группировку статистических данных.

2.2 Группировка статистических данных

Для проведения группировки выделяют группировочный признак или основание группировки. Чем больше групп, тем точнее будет воспроизведен характер исследуемого объекта. Однако слишком большое число групп затрудняет выявление закономерностей при исследовании социальноэкономических явлений и процессов. Поэтому в каждом конкретном случае при определении числа групп следует исходить не только из степени колеблемости признака, но еще учитывать и особенности объекта и цель исследования. Одна из таких процедур основана на использовании формулы Стерджесса для определения оптимального числа групп: k ≈1 + 3,322 lgn , где n – объем

выборки.

После определения числа групп следует определить интервалы группировки. Интервал – это значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Длину интервала определяем по формуле

h = xmax − xmin ,

k

где xmax и xmin – максимальное и минимальное значения вариант в выборке, k – число групп. Началом первого интервала берется xmin . Прибавляя последовательно h, получают границы остальных интервалов: x1 = xmin + h ,

x2 = x1 + h , x3 = x2 + h и так далее.

После этого строится ряд распределения. Для этого в первый столбец (или строку) таблицы заносят границы интервалов. Во второй столбец (или строку) таблицы заносят число вариант попадающих в данный интервал ni – частоту.

Если просуммировать все частоты, то должны получить общее число

16

k

наблюдений (объем выборки): ∑ni = n . Если частоты поделить на объем

i=1

выборки, то в результате получим относительные частоты (частости): wi = nni (i =1,k ).

2.3 Графическое изображение вариационного ряда

Существенную помощь в анализе вариационного ряда и его свойств оказывает графическое изображение.

Для дискретного вариационного ряда в качестве графического изображения используют полигон. Полигоном частот называют ломаную линию, состоящую из отрезков, соединяющих точки (x1;n1) ,(x2;n2 ) ,...,(xk ;nk ) .

Полигон относительных частот представляет собой ломаную, состоящую из отрезков, соединяющих точки (xi ;wi ) (i =1,k ).

При обработке и отображении экспериментальных данных, в которых изучаемый признак может принимать любое значение из некоторого интервала, используют следующие способы представления данных: гистограммы; полигон частот; полигон накопленных частот (кумулята).

Столбиковая диаграмма, в которой основания столбиков, расположенные на оси абсцисс – это интервалы значений варьирующего признака, а высоты столбиков – частоты или относительные частоты, соответствующие масштабу по оси ординат, называется гистограммой. Гистограмма частостей является статистическим аналогом плотности распределения вероятностей генеральной совокупности.

Полигон для интервального ряда строится так же, как и для дискретного, но в качестве вариант используются середины интервалов. Полигон частот получается из гистограммы, если соединить середины вершин прямоугольников ломаной линией.

Преобразованной формой вариационного ряда является ряд накопленных частот. Это ряд значений числа единиц совокупности с меньшими и равными нижней границе соответствующего интервала значениями признака. Такой ряд называется кумулятивным. Можно построить кумулятивное распределение "не меньше, чем", а можно "больше, чем". В первом случае график кумулятивного распределения называется кумулятой, во втором – огивой.

2.4 Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения выборки называется функция

F(x) = P(X < x) в теории вероятностей. Основные свойства функции F (x): 1) значения функции F (x) принадлежат отрезку [0;1];

17

2)функция F (x) – неубывающая;

3)F (x) =0 при x<xmin и F (x) =1 при x>xmax.

2.5 Выборочные оценки параметров распределения

Следующим этапом изучения вариации признака в совокупности является измерение характеристик силы, величины вариации. Пусть x1, x2,..., xn – выборка из генеральной совокупности.

Размахом вариации называется абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака R = xmax − xmin .

Средним значением выборки или выборочным средним называется число

значений признака от средней арифметической величины равно нулю. Выборочной дисперсией случайной величины X называется число

Показателем силы вариации выступает средний модуль отклонений:

математические свойства модулей "плохие".

Поэтому в качестве такого показателя используется среднее квадратическое отклонение. В статистической литературе среднее квадратическое отклонение от средней величины принято обозначать малой

18

совокупностях всегда больше среднего модуля отклонений. Соотношение σ : a зависит от наличия в совокупностях резких, выделяющихся отклонений и может служить индикатором "засоренности" совокупности неоднородными с основной массой элементами: чем это соотношение больше, тем сильнее подобная "засоренность".

2.6Генеральные оценки параметров распределения

Всравнении с другими видами несплошных наблюдений преимущество выборочного наблюдения заключается в том, что по результатам этого наблюдения можно оценить искомые параметры генеральной совокупности.

Любой параметр θ , найденный по выборке, извлеченной из генеральной совокупности X, является подходящей оценкой параметра θ этой совокупности, если он удовлетворяет трем условиям:

1) М(θ ) =θ ;

2) lim P(θ −θ <ε) =1;

n→∞

3) D(θ ) – является минимальной.

Параметр θ , удовлетворяющий условиям 1)-3) называется соответственно

несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой параметра θ генеральной совокупности признака X.

Выборочное среднее xВ является несмещенной оценкой для

математического ожидания генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия DВ является смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности. В качестве несмещенной оценки принимается

величина s2 = n n−1 DВ – исправленная выборочная дисперсия. Соответственно,

исправленное среднее квадратическое отклонение – s = n n−1σ .

2.7 Порядок выполнения работы

а) Изучить краткий теоретический курс.

Для данных, полученных в результате эксперимента и записанных в виде статистического ряда:

б) Записать значения выборки в виде вариационного ряда; в) Найти размах вариации; по формуле Стерджесса найти оптимальное

число интервалов, длину интервала и составить интервальное распределение выборки;

г) Построить гистограмму и полигон относительных частот выборки; д) Построить график эмпирической функции распределения;

е) Найти числовые характеристики выборки xВ , DВ , aВ , σВ , s2, s. ж) Оформить отчет по лабораторной работе.

19

2.8Пример выполнения работы

Врезультате статистических наблюдений некоторой совокупности относительно признака Х были получены выборочные данные.

1.Для данных задания составим вариационный ряд, то есть расположим их

впорядке возрастания:

принимает любое целое значение из интервала (61;81) . Следовательно, можно предположить, что X – дискретная случайная величина. Объем выборки n = 95.

2. Так как случайная величина X принимает много различных значений, то составим интервальное распределение выборки. Для этого найдем размах

вариации: R = xmax − xmin = 81 −61 = 20 .

Для выбора оптимальной длины интервалов используем формулу Стерджесса:

где n – объем выборки, h – длина интервала. В качестве границы первого интервала выберем значение x1 = xmin =61. Границы следующих частичных

эксперимента, попавших в каждый интервал, то есть, находим частоты

полученные результаты поместим в общую таблицу:

20