2.4. Частотные характеристики фильтров

Общие понятия.От z-образов передаточных функций подстановкой z = exp(-jt) в уравнение (2.3.2) можно перейти к Фурье-образам функций, т.е. к частотным спектрам сигналов и частотной характеристике фильтров, а точнее – к функциям их спектральных плотностей.

Можно применить и способ получения частотных характеристик непосредственно из разностного уравнения системы обработки данных. Так как цифровая фильтрация относится к числу линейных, то, принимая для сигнала на входе фильтра выражение x(kt) = B() exp(jkt), мы вправе ожидать на выходе фильтра сигнал y(kt) = A() exp(jkt). Подставляя эти выражения в разностное уравнение фильтра (2.1.1), получаем:

a_m A() exp(jkt-jmt) =b_n B() exp(jkt-jnt).

A() exp(jkt)a_m exp(-jmt) = B() exp(jkt)b_n exp(-jnt).

A()a_m exp(-jmt) = B()b_n exp(-jnt). (2.4.1)

Передаточная частотная функция (частотная характеристика при а_о=1):

H() =A()/B() =b_nexp(-jnt)[1+a_m exp(-jmt)]. (2.4.2)

Полученная частотная характеристика повторяет функцию (2.3.2) при z = exp(-jt), что и следовало ожидать. Аналогично z-преобразованию (2.3.7), частотная характеристика фильтра представляет собой Фурье-образ его импульсной реакции, и наоборот. Приt = 1:

H() =h(n) exp(-jn), (2.4.3)

h(n) = (1/2)H() exp(jn) d. (2.4.4)

В общем случае H() является комплексной функцией, модуль которой R() называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент() – фазово-частотной характеристикой (ФЧХ).

A() = |H()| =

() = arctg(-Im H()/Re H()).

Выбор знака фазового угла ориентирован на каузальные системы с отрицательным временным запаздыванием сигналов. Допустим, что система осуществляет только сдвиг сигнала x(t) вправо по временной оси, т е. y(t) =x(t-). Для преобразования Фурье функции y(t) имеем:

Y(f) =y(t)exp(-j2ft) dt =x(t-)exp(-j2ft)dt=

= exp(-j2f)x(t)exp(-j2ft)dt=exp(-j2f)X(f).

Отсюда:

H(f) =Y(f)/X(f) =exp(-j2ft), |H(f)| = 1,_h(f) = -2f.

Из последнего равенства следует, что фаза представляет собой прямую с отрицательным тангенсом угла наклона -2f. Соответственно, для всех каузальных фильтров, осуществляющих преобразование с определенной задержкой сигнала на выходе, при выполнении операции над частотными составляющими сигнала имеет место:

Y(f)= H(f) X(f)= |H(f)|exp(j_h(f)) |X(f)|exp(j_x(f))= |H(f)| |X(f)|exp{j_h(f)+_x(f)]},

|Y(f)| = |H(f)| |X(f)|,_y(f) =_h(f)+_x(f).

Cучетом отрицательного знака_h(f) фазовой характеристики каузальных фильтров это вызывает сдвиг в "минус" всех частотных составляющих сигнала и соответствующую задержку выходного сигнала относительно входного.

На рис. 2.4.1-2.4.3 приведены частотные характеристики фильтров (модули и аргументы спектральных плотностей), которые были рассмотрены выше в примерах и на рис. 2.1.4 – 2.1.6. Графики приведены в границах главных диапазонов спектров, и получены непосредственной подстановкой z=exp(-jt) приt=1 в уравнения передаточных функций H(z).

Рис. 2.4.1. Спектр не имеет особых точек.

Рис. 2.4.2. Спектр имеет особые точки на границах диапазонов.

Рис. 2.4.3. Спектр интегрирующего фильтра. Особая точка на нулевой частоте.

При обработке ограниченных массивов амплитуда центрального пика равна количеству точек массива.

Основные свойствачастотных характеристик цифровых фильтров:

1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями частоты.

2. При дискретизации данных по интервалам t функция H() является периодической. Период функции H() равен частоте дискретизации входных данных F = 1/t. Первый низкочастотный период (по аргументуот -/t до/t, по f от -1/2t до 1/2t) называется главным частотным диапазоном. Граничные частоты главного частотного диапазона соответствуют частоте Найквиста_N,_N =/t. Частота Найквиста определяет предельную частоту данных, которую способен обрабатывать фильтр.

3. Для фильтров с вещественными коэффициентами импульсной реакции h(nt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ - нечетной. С учетом этого частотные характеристики фильтров обычно задаются только на интервале положительных частот 0-_Nглавного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно сопряженными со значениями на интервале положительных частот.

Как правило, при частотном анализе фильтров значение t интервала дискретизации принимают за 1, что соответственно определяет задание частотных характеристик на интервале (0,) по частотеили (0,1/2) по f. При использовании быстрых преобразований Фурье (БПФ) вычисления спектров осуществляются в одностороннем варианте положительных частот в частотном интервале от 0 до 2(от 0 до 1 Гц), где комплексно сопряженная часть спектра главного диапазона (от -до 0) занимает интервал отдо 2(для ускорения вычислений используется принцип периодичности дискретных спектров). Заметим, что при выполнении БПФ количество точек спектра равно количеству точек входной функции, а, следовательно, отсчет на частоте 2, комплексно сопряженный с отсчетом на частоте 0, отсутствует. При нумерации точек входной функции от 0 до N он принадлежит точке N+1 - начальной точке следующего периода, при этом шаг по частоте равен 2/(N+1). Современное программное обеспечение БПФ допускает любое количество точек входной функции, при этом для нечетного значения N частотесоответствует отсчет на точке (N+1)/2, не имеющий сопряженного отсчета, а при четном значении N отсутствует отчет на частоте(она располагается между отсчетами k=N/2 и N/2 +1). Отсчетам с номерами k главного диапазона БПФ (за исключением точки k=0) соответствуют комплексно сопряженные отсчеты N+1-k (за исключением точки k=(N+1)/2 при нечетном N).

Фазовая и групповая задержка.Задержка сигналов во времени относится к характерной особенности каузальных систем в целом, а, следовательно, рекурсивных и односторонних нерекурсивных фильтров.

Фазовая задержка, это прямая характеристика временной задержки фильтром гармонических колебаний. При подаче на вход фильтра гармоники sin t, сигнал на выходе каузального фильтра, без учета изменения его амплитуды, равен sin(t-), при этом:

sin(t-) = sin(t-t_p), ωt-= ω(t-t_p).

Отсюда, фазовая задержка t_pна частотеравна:

t_p=/ω. (2.4.5')

При распространении (2.4.5) в целом на спектральную передаточную функцию фильтра получаем:

t_p()=/ω. (2.4.5)

Постоянство значения t_p() в определенном частотном диапазоне обеспечивает для всех гармоник сигнала такое же соотношение их фазовых характеристик, какое было на входе системы, т.е. не изменяет формы сигнала, если его спектр полностью сосредоточен в этом частотном диапазоне, и значения АЧХ в этом диапазоне также имеют постоянное значение. Это условие является определяющим, например, для систем передачи данных, для сглаживающих и полосовых частотных фильтров.

Что касается каузальных фильтров, то они, как правило, имеют в рабочем диапазоне определенную зависимость значения t_pот частоты, которая характеризуется групповым временем задержки (ГВЗ). ГВЗ характеризует среднюю временную задержку составного сигнала.

Допустим, что сигнал на входе фильтра представляет собой сумму двух гармоник с близкими частотами:

s(t) = cos ω₁t + cos ω₂t.

Тождественная тригонометрическая запись:

s(t) = 2cos0.5(ω₁+ω₂)t·cos0.5(ω₁-ω₂)t.

Эта запись показывает, что сумму двух гармоник с частотами ω₁и ω₂можно рассматривать, как амплитудную модуляцию гармоники с частотой (ω₁+ω₂)/2 гармоникой с частотой (ω₁-ω₂)/2.

При прохождении через фильтр каждая из гармоник ω₁ и ω₂может получить различную задержку, при этом сигнал на выходе фильтра, без учета амплитудных изменений:

s(t) = cos (ω₁t-₁) + cos (ω₂t-₂).

Тождественная запись:

s(t) = 2 cos[0.5((ω₁+ω₂)t-(₁+₂))] · cos[0.5((ω₁-ω₂)t-(₁-₂))].

Пульсацию колебаний выразим через групповую временную задержку t_g:

cos[0.5((ω₁-ω₂)t-(₁-₂))] = cos[0.5(ω₁-ω₂)·(t-t_g)].

Отсюда:

(ω₁-ω₂)·t_g=₁-₂.

t_g= (₁-₂)/(ω₁-ω₂) =/ω. (2.4.6)

При распространении выражения на непрерывную частотную характеристику фильтра:

t_g(ω)= d()/dω. (2.4.7)

Для вычислений ГВЗ удобно использовать комплексный логарифм передаточной функции фильтра:

Ln H(ω) = ln |H(ω)| + j·(ω),(ω) = Im [Ln H(ω)].

t_g(ω)= d/dω = Im{d[Ln(H(ω))]/dω} = Im{dH(ω)/[H(ω)dω]}. (2.4.8)

Приближение для дискретных спектральных функций:

t_g(k·ω) ≈ (2/ω) Im{(H_k+1-H_k) / (H_k+1+H_k)}. (2.4.9)

Различают фильтры с линейной и нелинейной фазовой характеристикой.

В фильтрах с нелинейной фазовой характеристикой частотные компоненты сигнала задерживаются на величину, не пропорциональную частоте, и тем самым в выходном сигнале изменяется связь между его компонентами, что может быть недопустимо во многих случаях обработки сигналов (передача данных, обработка биосигналов, воспроизведение музыки и видео, и пр.).

Чтобы фильтр имел линейную фазовую характеристику необходимо и достаточно, если выполняется одно из следующих условий:

(2.4.10)

 (2.4.11)

где и- константы. Условие (2.4.10) обеспечивает постоянные значения групповой и фазовой задержки. Оно выполняется, если импульсная характеристика фильтра имеет положительную симметрию:

h(n) = h(N-n-1), n= 0, 1, 2, …, (N-1)/2,N– нечетное;

n = 0, 1, 2, …, (N/2)-1, N – четное.

При этом фазовая характеристика является функцией длины фильтра:

(N-1)/2.

Пример.

Импульсный отклик фильтра задан параметрами: N=7, h(0)=h(6), h(1)=h(5), h(2)=h(4), h(3).

Передаточная функция фильтра: H(z) =h(k) z^k. Подставляем z=exp(-jt) приt = 1 и получаем частотную характеристику фильтра в главном диапазоне (-,):

H() =h(0)+h(1)exp(-j)+h(2)exp(-2j)+h(3)exp(-3j)+h(4)exp(-4j)+h(5)exp(-5j)+h(6)exp(-6j) =

= exp(-3j) {h(0)[exp(3j)+exp(-3j)] +h(1)[exp(2j)+exp(-2j)] +h(2)[exp(j)+exp(-j)] + h(3)} =

= exp(-3j) {2h(0) cos 3j + 2h(1) cos 2j + 2h(2) cos j + h(3)}.

Изменяя обозначения и переходя к индексации относительно центра симметрииa(0) =h(3),a(n) = 2h(3-n),n=1, 2, 3, записываем в компактной форме:

H() =a(n)cos(nj)exp(-3j) = |H()|exp(j()),() = -3N-1)/2.

Частотная характеристика фильтра линейна.

Условие (2.4.11) обеспечивает постоянную групповую задержку и выполняется при отрицательной симметрии импульсной характеристики фильтра:

h(n) = -h(N-n-1),

 = (N-1)/2,=/2.

Для того чтобы убедиться в последнем, достаточно рассмотреть пример, аналогичный выше приведенному.

Корреляция входа и выхода фильтровможет быть получена на основе следующих простых соображений.

Примем для входного сигнала x(t)X(f) и выходного сигнала y(t)Y(f) за основу выражение преобразования в частотной области

Y(f) = H(f) X(f). (2.4.12)

Умножим обе части этого выражения на комплексно сопряженную функцию X*(t) и найдем математические ожидания левой и правой части:

M{X*(f) Y(f)} = M{X*(f)H(f)X(f)} =H(f)M{X*(f)X(f)}.

Но математические ожидания этих произведений спектров представляют собой спектры плотности мощности, и, при обратном преобразовании Фурье, зависимость взаимной корреляционной функции входного и выходного сигналов фильтра от корреляционной функции входного сигнала и функции импульсного отклика фильтра:

W_xy=H(f)W_xh(t)③B_x() =B_xy().

Это выражение в спектральной области может использоваться для практического определения частотных передаточных функций фильтров с неизвестной формой импульсных откликов.

Если математические ожидания взять от квадратов модулей левой и правой части исходного выражения (2.4.12), то в результате получим выражения:

W_y(f) = |H(f)|²W_x(f)B_h()③B_x().

Области применения НЦФ и РЦФобычно обуславливаются видом их передаточных функций.

В принципе, нерекурсивные цифровые фильтры универсальны и способны реализовать любые практические задачи обработки сигналов. Это и понятно, т.к. реакция РЦФ на импульс Кронекера представляет собой импульсный отклик НЦФ, а, следовательно, задачи, решаемые РЦФ, могут выполняться и НЦФ, но при условии отсутствия ограничений по размерам окна фильтра. В первую очередь это касается реализации БИХ-фильтров с незатухающим или слабо затухающим импульсным откликом, например, интегрирующих или фильтров рекурсивной деконволюции. Ограничение по размерам окна является скорее не теоретическим (бесконечных операторов НЦФ не требуется), а чисто практическим. Нет смысла применять НЦФ с огромными размерами операторов и тратить машинное время, если та же задача во много раз быстрее решается рекурсивным фильтром.

Существенным преимуществом НЦФ является их устойчивость, возможность выполнения в виде двусторонних симметричных фильтров, не изменяющих фазу выходных сигналов относительно входных, и реализации строго линейных фазовых характеристик.

С другой стороны, нерекурсивные фильтры могут быть преобразованы в рекурсивные фильтры, если есть возможность z-полином передаточной функции НЦФ выразить в виде отношения двух коротких z-полиномов РЦФ типа (2.3.2), что может дать существенное повышение производительности вычислений. Как правило, такая возможность имеется для сходящихся степенных рядов. Отношение двух z-полиномов позволяет реализовать короткие и очень эффективные фильтры с крутыми срезами на частотных характеристиках.

АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ДАННЫХ

В традиционных методах обработки данных информация извлекается из входных сигналов линейными системами с постоянными параметрами алгоритмов преобразования данных. Системы могут иметь как конечную, так и бесконечную импульсную характеристику, но передаточная функция систем не зависит от параметров входных сигналов и их изменения во времени.

Адаптивные устройства обработки данных отличаются наличием определенной связи параметров передаточной функции с параметрами входных, выходных, ожидаемых, прогнозируемых и прочих дополнительных сигналов или с параметрами их статистических соотношений, что позволяет самонастраиваться на оптимальную обработку сигналов. В простейшем случае, адаптивное устройство содержит программируемый фильтр обработки данных и блок (алгоритм) адаптации, который на основании определенной программы анализа входных, выходных и прочих дополнительных данных вырабатывает сигнал управления параметрами программируемого фильтра. Импульсная характеристика адаптивных систем также может иметь как конечный, так и бесконечный характер.

Как правило, адаптивные устройства выполняются узкоцелевого функционального назначения под определенные типы сигналов. Внутренняя структура адаптивных систем и алгоритм адаптации практически полностью регламентируются функциональным назначением и определенным минимальным объемом исходной априорной информации о характере входных данных и их статистических и информационных параметрах. Это порождает многообразие подходов при разработке систем, существенно затрудняет их классификацию и разработку общих теоретических положений /л38/. Но можно отметить, что наибольшее применение при разработке систем для адаптивной обработки сигналов находят два подхода: на основе схемы наименьших квадратов (СНК) и рекурсивной схемы наименьших квадратов (РСНК).

Основные области примененияадаптивной фильтрации – очистка данных от нестабильных мешающих сигналов и шумов, перекрывающихся по спектру со спектром полезных сигналов, или когда полоса мешающих частот неизвестна, переменна и не может быть задана априорно для расчета параметрических фильтров. Так, например, в цифровой связи сильная активная помеха может интерферировать с полезным сигналом, а при передаче цифровой информации по каналам с плохими частотными характеристиками может наблюдаться межсимвольная интерференция цифровых кодов. Эффективное решение этих проблем возможно только адаптивными фильтрами.

Частотная характеристика адаптивных фильтров автоматически регулируется или модифицируется в соответствии с определенным критерием, позволяющем фильтру адаптироваться к изменениям характеристик входного сигнала. Они достаточно широко используются в радио- и гидролокации, в системах навигации, в выделении биомедицинских сигналов, и многих других отраслях техники. В качестве примера рассмотрим наиболее распространенные схемы адаптивной фильтрации сигналов.

Адаптивный шумоподавитель. Блок-схема фильтра приведена на рис. 11.1.1.

Рис. 11.1.1.

Фильтр состоит из блока цифрового фильтра с регулируемыми коэффициентами и адаптивного алгоритма для настройки и изменения коэффициентов фильтра. На фильтр одновременно подаются входные сигналы y(k) и x(k). Сигнал y(k) содержит полезный сигнал s(k) и некоррелированный с ним загрязняющий сигналg(k). Сигнал x(k) какого-либо источника шума, коррелированный сg(k), которыйиспользуется для формирования оценки сигналаğ(k). Полезный сигнал оценивается по разности:

š(k) = y(k) – ğ(k) = s(k) + g(k) – ğ(k). (11.1.1)

Возводим уравнение в квадрат и получаем:

š²(k) = s²(k) + (g(k) – ğ(k))² + 2.s(k) (g(k) – ğ(k)). (11.1.2)

Вычислим математическое ожидание левой и правой части этого уравнения:

M[š²(k)] = M[s²(k)] + M[(g(k) – ğ(k))²] + 2M[s(k) (g(k) – ğ(k))]. (11.1.3)

Последнее слагаемое в выражении равно нулю, поскольку сигнал s(k) не коррелирует с сигналами g(k) и ğ(k).

M[š²(k)] = M[s²(k)] + M[(g(k) – ğ(k))²]. (11.1.4)

В этом выражении M[s²(k)] = W(s(k)) – мощность сигнала s(k),M[š²(k)] = W(š(k)) – оценка мощности сигнала s(k) и общая выходная мощность,M[(g(k) – ğ(k))²]= W(_g) - остаточная мощность шума, который может содержаться в выходном сигнале. При настройке адаптивного фильтра к оптимальному положению минимизируется мощность остаточного шума, а, следовательно, и мощность выходного сигнала:

min W(š(k)) = W(s(k)) + min W(_g). (11.1.5)

На мощность полезного сигнала настройка не влияет, поскольку сигнал не коррелирован с шумом. Эффект минимизации общей выходной мощности будет выражаться в максимизации выходного отношения сигнал/шум. Если настройка фильтра обеспечивает равенство ğ(k)=g(k), то при этомš(k) = s(k). Если сигнал не содержит шума, адаптивный алгоритм должен устанавливать нулевые значения всем коэффициентам цифрового фильтра.

Рис. 11.1.2.

Адаптивный фильтр Винера. Входной сигналy(k) фильтра, приведенного на рис. 11.1.2, включает компоненту, коррелированную с со вторым сигналом x(k), и полезную компоненту, некоррелированную с x(k). Фильтр формирует из x(t) сигналğ(k)- оптимальную оценку той части у(k), которая коррелированна с x(k), и вычитает ее из сигнала y(k). Выходной сигнал:

e(k) =y(k) -ğ(k)=y(k) -H^TX_k=y(k) -h(n) x(k-n),

где H^TиX_k – векторы весовых коэффициентов фильтра и его входного сигнала.

Аналогично предыдущему методу, возводим в квадрат левую и правую части уравнения, находим математические ожидания обеих частей и получаем уравнение оптимизации выходного сигнала:

^ 2P^TH+H^TRH, (11.1.6)

где ²=M[y²(k)] – дисперсия y(k),P= M[y(k)X_k] – вектор взаимной корреляции,R= M[X_kX_k^T] – автокорреляционная матрица.

Рис. 11.1.3.

В стационарной среде график зависимостиот коэффициентовHпредставляет собой чашеобразнуюповерхность адаптации(рис. 11.1.3). Градиент поверхности:

d/dH= -2P+ 2RH.

Каждому набору коэффициентов h(n) на этой поверхности соответствует определенная точка. В точке минимума градиент равен нулю и вектор весовых коэффициентов фильтра является оптимальным:

H_opt =R^-1P. (11.1.7)

Эта формула называется уравнением Винера-Хопфа. Задачей алгоритма автоматической настройки является подбор таких весовых коэффициентов фильтра, которые обеспечивают работу в оптимальной точке поверхности адаптации.

Однако практическое применение фильтра затрудняется использованием корреляционных матриц R и P, априори неизвестных, и которые могут изменяться со временем для нестационарных сигналов.

Адаптивный алгоритм наименьших квадратов Уидроу-Хопфа. По существу, это модификация фильтра Винера, в которой вместо вычисления коэффициентов (11.1.7) за один шаг используется алгоритм последовательного спуска в оптимальную точку при обработке каждой выборки:

H_k+1=H_k-e_kX_k, (11.1.8)

e_k=y_k-H^TX_k. (11.1.9)

Условие сходимости к оптимуму:

0 < > 1/_max, (11.1.10)

где - параметр скорости спуска,_max– максимальное собственное значение ковариационной матрицы данных. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 11.1.4.

Рис. 11.1.4. Алгоритм адаптации методом наименьших квадратов.

На практике точка максимальной оптимальности флюктуирует около теоретически возможной. Если входной сигнал нестационарный, то изменение статистик сигнала должно происходить достаточно медленно, чтобы коэффициенты фильтра успевали следить за этими изменениями.

Рекурсивные схемы наименьших квадратовотличаются тем, что вычисление каждой последующей выборки коэффициентов h(n) производится не только по коэффициентам только одной предыдущей выборки, но и с определенной длиной постепенно затухающей памяти по предшествующим выборкам, что позволяет снижать флуктуации оценок при обработке стационарных сигналов.