Ekzamen_2_semestr_2012-2013_programma

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экономический факультет

Кафедра экономической информатики и математической экономики

Программа

письменного экзамена по “Высшей математике”

для I курса дневного отделения экономического факультета (специальности: “международный менеджмент” и “финансы и кредит”) в весеннюю сессию 2012-2013 учебного года

Экзамен проводится в письменной форме. На выполнение письменного задания отводится два астрономических часа (120 мин.) Экзаменационное задание состоит из 2 теоретических вопросов и 8 практических заданий по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и линейной алгебре. Задание охватывает всю программу “Высшей математики” в весеннем семестре. Решение задач должно быть кратким и четким, при этом необходимо дать теоретическое обоснование основным пунктам решения.

1

.

Раздел 4.

Математический анализ. Часть 2

1. Неопределенный интеграл.

Понятие о неопределенном интеграле. Простейшие свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих иррациональности. Интегралы от тригонометрических функций.

2. Определенный интеграл.

Понятие определенного интеграла. Свойства. Существование определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов. Теоремы о среднем значении для определенных интегралов. Геометрические приложения определенных интегралов. Применение определенных интегралов в экономике.

3. Несобственные интегралы.

Понятие об интегралах по неограниченному промежутку и интегралов от неограниченных функций. Связь с определенными интегралами. Методы вычисления несобственных интегралов. Сходимость несобственных интегралов. Специальные признаки сходимости несобственных интегралов. Теоремы сравнения.

4. Функции многих переменных.

Необходимость использования функций многих переменных в экономикоматематических моделях. Понятие функции многих переменных. Примеры функций многих переменных, используемых в экономике (линейные, квадратичные, функции полезности, производственные функции). График, линии уровня. Предел и его существование. Повторные пределы. Частные производные. Геометрический смысл частных производных. Дифференциал и его связь с частными производными. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Производные по направлениям, градиент. Геометрический смысл градиента. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование неявных функций. Локальный экстремум, необходимые условия локального экстремума, достаточные условия локального экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Абсолютный экстремум на ограниченной замкнутой области.

5. Кратные интегралы.

Понятие двойного интеграла. Методы вычисления. Решение геометрических и экономических задач. Понятие о несобственных двойных интегралах.

6. Числовые ряды.

Понятие числовых рядов. Сходимость. Необходимое условие сходимости. Признаки сравнения. Признаки сходимости числовых рядов (признаки Даламбера, Коши, интегральный признак). Числовые ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость.

7. Степенные ряды.

2

Определение степенного ряда. Область сходимости. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Основные разложения функций в ряд Тейлора.

Раздел 5.

Дифференциальные уравнения.

8. Общие понятия о дифференциальных уравнениях.

Общее и частное решение дифференциальных уравнений. Задача Коши. Разрешимость дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности.

9. Специальные типы дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения в полных дифференциалах. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Структура общего решения однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Системы дифференциальных уравнений. Применение дифференциальных уравнений в экономике.

Раздел 6.

Линейная алгебра. Часть 2

10. Линейные (векторные) пространства.

Основные определения и аксиомы. Примеры линейных пространств. Линейная зависимость системы векторов. Базис. Размерность. Матрица перехода.

11.Евклидовы пространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Скалярное произведение и его свойства. Евклидово пространство. Размерность

ибазис пространства. Переход к новому базису. Ортогональный базис, ортонормированный базис. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Применение матричного анализа в экономике.

12.Квадратичные формы.

Основные определения. Закон инерции квадратичных форм. Положительноопределенные квадратичные формы. Канонический базис. Условия Якоби. Приведение к канонической форме, метод Лагранжа, метод ортогональных преобразований.

13. Симплекс-метод.

Построение линейных математических моделей. Различные формы записи задач линейного программирования. Понятие о решениях задачи линейного программирования. Графический метод. Табличная реализация симплекс-метода решения задач линейного программирования. Метод искусственного базиса. Теория двойственности и ее экономический смысл. Теоремы двойственности

3

Литература

основная:

1.Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1-2. - Мн.: БГУ, 1998.

2.Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. Т. 1-2. - Мн.: Высш. школа, 1988.

3.Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: 2004.

4.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1-2. - М.: Высш. шк., 1982.

5.Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. - М.: 2001.

6.Минюк С.А., Самаль С.А., Шевченко Л.И. Высшая математика для экономистов, том 1. - Мн., 2003.

дополнительная:

7.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализа экономики. - М.: ДАС, 2008.

8.Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова.

-М., 2001.

9.Солодовников А.С. и др. Математика в экономике. Ч. 1-2. - М., 2001.

4

Решение типовых задач письменного экзамена.

Задача 1. Графический метод решения задачи линейного программирования.

Решение. Схема решения двумерной задачи линейного программирования

z = c1x1 + c2x2 ! max;

ai1x1 + ai2x2 · bi; i = 1; : : : ; m; x1 ¸ 0; x2 ¸ 0

состоит в следующем.

1.Строим прямые ai1x1 + ai2x2 = bi; i = 1; : : : ; m.

2.Для каждой прямой определяем “подходящую” полуплоскость, обозначая ее

штриховкой с соответствующей стороны прямой. Для определения “подходящей” полуплоскости для i-ой прямой достаточно подставить в левую часть уравнения ai1x1 + ai2x2 = bi координаты какой-нибудь точки, не лежащей на прямой. Если при этом значение левой части меньше, чем bi, то полуплоскость - подходящая. Если нет, то подходящей является противоположная полуплоскость.

3. Находим пересечение всех подходящих полуплоскостей и первого квадранта x1 ¸ 0; x2 ¸ 0.

4.Если это пересечение пусто, то задача не имеет решений, поскольку множество допустимых планов задачи пусто.

5.Если пересечение непусто, то множество точек этого пересечения (многоугольной фигуры) - это множество допустимых планов. Угловые точки этой многоугольной фигуры - опорные планы задачи.

6.Строим линию нулевого уровня для целевой функции, т.е. прямую c1x1 +

c2x2 = 0.

7.Передвигаем эту линию параллельно себе в направлении возрастания

функции z (это направление совпадает с направлением вектора (c1; c2); оно может быть определено также как выше определяется “подходящая” полуплоскость для ограничений).

8.Крайняя точка пересечения линий уровня функции z с множеством допустимых планов является искомым решением задачи линейного программирования.

Задача 2. Табличный метод решения задачи линейного программирования. Решить задачу линейного программирования

z = 3x1 + x2 ! max; x1 ¡ x2 + x3 = 2;

2x1 + x2 ¡ x4 = 2; xj ¸ 0; j = 1; : : : ; 4;

табличным методом.

Решение. Система ограничений разрешена относительно переменных x3, x4. Следовательно, x3, x4 являются базисными переменными, а x1, x2 - свободными. Полагая x1, x2 равными нулю, получим начальный план задачи X0 = (0; 0; 2; 2). Сведем данные задачи в таблицу.

5

BVar - базисные переменные, BVal - базисные значения.

Внижней строке таблицы записываются последовательно название целевой функции, значение целевой функции на начальном плане, коэффициенты целевой функции с обратным знаком (последние называются относительными

оценками и обозначаются dj). Цель решенеия задачи в табличной форме - сделать относительные оценки неотрицательными. Если относительные оценки неотрицательны, то соответствующий план является оптимальным планом задачи.

Вданном случае d1 = ¡3; d2 = ¡1. Выберем наибольшую по модулю отрицательную относительную оценку

max jdjj = jd1j = j ¡ 3j:

dj<0

Следовательно, новой базисной переменной будет x1. Выберем переменную, которая будет удалена из числа базисных. Для этого найдем минимум отношений значений базисных значений на ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ элементы столбца, соответствующие переменной x1:

minf21; 22g = 22:

Следовательно, из числа базисных будет удалена переменная x4 (т.е. переменная x1 заменит переменную x4).

Преобразуем таблицу с помощью элементарных преобразований так, чтобы переменной x1 соответствовал столбец единичной матрицы и нулевая относительная оценка. Для этого поделим вторую строку на 2, вычтем из старой первой строки новую вторую, а также прибавим к старой третьей строке новую вторую умноженную на 3.

В последней таблицы все относительные оценки неотрицательны. Следовательно, план X = (1; 0; 1; 0) является оптимальным, а оптимальное значение целевой функции равно z = z(X) = 3.

Ответ. Оптимальный план X = (1; 0; 1; 0), z = z(X) = 3.

Задача 3. Метод искусственного базиса. Решить задачу линейного программирования

z = ¡4x1 ¡ x2 ! max; 3x1 + x2 = 3;

4x1 + 3x2 ¡ x3 = 6; x1 + 2x2 + x4 = 4; xj ¸ 0; j = 1; : : : ; 4;

6

методом искусственного базиса.

Решение. Введем в первое и второе уравнения системы ограничений искусственные переменные x5, x6, а также введем вспомогательную целевую функцию w = ¡x5 ¡x6 (вводить новую переменную в третье уравнение не нужно, поскольку переменная x4 содержится только в этом уравнении). Рассмотрим w- задачу.

w = ¡x5 ¡ x6 ! max;

3x1 + x2 + x5 = 3;

4x1 + 3x2 ¡ x3 + x6 = 6; x1 + 2x2 + x4 = 4;

xj ¸ 0; j = 1; : : : ; 6:

Сведем данные в таблицу (как в Задаче 2.), предварительно преобразовав w- строку (сделав отновительные оценки, соответствующие базисным переменным x5, x6, нулевыми - т.е. вычтя первую и вторую строки из “старой” w-строки).

Здесь z-строка является вспомогательной, ее удобно преобразовывать с помощью элементарных преобразований, чтобы в дальнейшем использовать при решении исходной задачи. Выберем наибольшую по модулю отрицательную относительную оценку (среди оценок в “новой” w-строке - второй снизу строке таблицы)

max jdjj = jd1j = j ¡ 7j:

dj<0

Найдем минимум отношений значений базисных значений на положительные элементы столбца, соответствующие переменной x1:

minf33; 64; 41g = 33:

Следовательно, из числа базисных будет удалена переменная x5 (т.е. переменная x1 заменит переменную x5). Поскольку переменная x5 является искусственной, то соответствующий ей столбец в дальнейшем преобразовываться не будет. Производя элементарные преобразования (с целью получения столбца единичной матрицы в столбце x1 и нулевых относительных оценок, соответствующих базисным переменным в w- и z-строке).

7

Выберем наибольшую по модулю отрицательную относительную оценку

max jdjj = jd2j = j ¡ 5=3j:

dj<0

Найдем минимум отношений значений базисных значений на положительные элементы столбца, соответствующие переменной x2:

minf11=3; 52=3; 53=3g = 52=3:

Следовательно, из числа базисных будет удалена переменная x6 (т.е. переменная x2 заменит переменную x6). Поскольку переменная x6 является искусственной, то соответствующий ей столбец в дальнейшем преобразовываться не будет.

Все искусственные перемнные удалены из числа базисных. Следовательно, мы определили начальный план исходной задачи X0 = (3=5; 6=5; 0; 1). Последняя таблица может быть использована для дальнейшего решения исходной задачи.

Выберем наибольшую по модулю отрицательную относительную оценку

max jdjj = jd3j = j ¡ 1=5j:

dj<0

Найдем минимум отношений значений базисных значений на положительные элементы столбца, соответствующие переменной x3:

minf31==55; 11g = 11:

Следовательно, из числа базисных будет удалена переменная x4 (т.е. переменная x3 заменит переменную x4).

8

X= (2=5; 9=5; 1; 0) является оптимальным планом задачи линейного

программирования, а оптимальное значение целевой функции равно z = z(X) = ¡17=5.

Ответ. Оптимальный план X = (2=5; 9=5; 1; 0), z = z(X) = ¡17=5.

Задача 4. Вычислить неопределенный интеграл R (3x2 + 1) cos 2xdx.

Решение. Для интегралов такого типа удобно применить формулу интегрирования по частям: R udv = uv ¡ R vdu с тем, чтобы понизить степень многочлена в подынтегральной функции. Положим

· u = 3x2 + 1; du = 6x;

Применим формулу интегрирования по частям к интегралу в правой части.

Ответ.

12(3x2 + 1) sin 2x + 32x cos 2x ¡ 34 sin 2x + C;

где C - произвольная постоянная.

Решение. С целью сведения интеграла к табличным сделаем замену

9

Решение. Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, то следует сначала поделить числитель на знаменатель

Вычисляя интеграл от частного и раскладывая знаменатель на множители, получаем

Для вычисления последнего интеграла применим метод неопределенных коэффициентов. Представим подынтегральное выражение в виде

где A; B; C - неизвестные постоянные. Приводя выражения в правой части к общему знаменателю, получаем

Таким образом, имеем систему уравнений для определения постоянных A; B; C.

A + B = 12;

C ¡ 2B = 0;

A ¡ 2C = 16:

Из второго уравнения C = 2B. Подставляя это равенство в третье уравнение, имеем

A ¡ 4B = 16:

10