ЦОС-2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ФИЛЬТРАМ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет радиофизики и электроники

Кафедра радиофизики

Л А Б О Р АТ ОР Н А Я Р А Б ОТ А

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ И ПАРАМЕТРОВ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Минск 2005

2

1. АНАЛОГОВЫЕ НИЗКОЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ-ПРОТОТИПЫ

Фильтр нижних частот представляет собой устройство, которое пропус-

кает сигналы низких частот и задерживает сигналы высоких частот. В общем случае определим полосу пропускания как интервал частот 0< < с, полосу задерживания как частоты > с, переходную область как диапазон частот

с< < 1 ( с – частота среза). Эти частоты обозначены на рис. 1, на котором приведена реальная амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот, где в данном случае заштрихованные области представляют собой допустимые отклонения характеристики в полосе пропускания и задержива-

ния.

Если минимальное затухание выбрать за нормированный уровень 0 (А=1

на рис. 1), то логарифмическая характеристика фильтра нижних частот имеет вид, изображенный на рис. 2. Максимальное затухание в децибелах в полосе пропускания составляет 1, а минимальное затухание в полосе задерживания

2 (А1 и А2 – соответственно значения амплитудно-частотной характеристи-

ки). Затухание 1 не может превышать 3 дБ, в то время как типовое значение

3

2 значительно больше и может находиться в пределах 20 2 100 дБ (в этом случае имеем 0,1 А2 0,00001).

Коэффициент усиления фильтра нижних частот представляет собой зна-

чение его передаточной функции при s=0 или, что эквивалентно, значение его амплитудно-частотной характеристики на частоте =0. Следовательно,

коэффициент усиления реального фильтра с амплитудно-частотной характе-

ристикой, показанной на риc. 1, равен А.

Существует много типов фильтров нижних частот, удовлетворяющих данному набору технических требований, таких, как А1, А2, с, 1, обозна-

ченных на рис. 1, или 1, 2, с, 1 – на рис. 2. Фильтры Баттерворта, Чебы-

шева, инверсные Чебышева и эллиптические образуют четыре наиболее из-

вестных класса. Фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой,

подобной характеристике на рис. 1 и рис. 2. (Характеристика является моно-

тонно спадающей, если она никогда не возрастает с увеличением частоты.)

Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации (колебания переда-

чи) в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания. На рис. 3 изо-

бражен вид характеристики фильтра Чебышева шестого порядка. Инверсная характеристика фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания и обла-

дает пульсациями в полосе задерживания. Пример характеристики фильтра шестого порядка приведен на рис. 4.

4

1.1. Фильтры Баттерворта Вероятно, наиболее простая амплитудно-частотная характеристика фильтра

нижних частот у фильтра Баттерворта, которая в случае n-го порядка опреде-

ляется следующим образом:

Эта характеристика фильтра Баттерворта монотонно спадает (никогда не возрастает) при увеличении частоты. Увеличение порядка также приводит к улучшению характеристики.

Фильтр Баттерворта представляет собой полиномиальный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцие й вида:

где К – постоянное число. Для нормированного фильтра, т. е. при с=1 рад/с,

передаточную функцию можно записать в виде произведения сомножителей для n=2, 4, 6 ... как

или для n=3, 5, 7, ... как

Чем выше порядок фильтров, тем лучше их амплитудно-частотная ха-

рактеристика. Однако более высокий порядок усложняет схемную реализа-

цию и вследствие этого повышает стоимость. Таким образом, для разработ-

чика представляет интерес выбор минимально необходимого порядка фильт-

ра удовлетворяющего заданным требованиям.

Другими словами, предположим, что в изображенной на рис. 2 общей характеристике заданы максимально допустимое затухание в полосе пропус-

кания 1 (дБ), минимально допустимое затухание в полосе задерживания 2

(дБ), частота среза с (рад/с) или fс (Гц) и максимальная допустимая ширина переходной области TW, которая определяется следующим образом

TW= 1– 2. (5)

(Следовательно, полоса задерживания должна начинаться с некоторой часто-

ты 2 1.) Задача состоит в нахождении минимального порядка n, который будет удовлетворять всем этим условиям.

Для фильтра Баттерворта минимальный порядок можно определить,

подставив приведенные выше условия в (1) и решив его относительно поряд-

ка n. В результате получаем

Уравнение (5) можно записать в виде

6

и полученное соотношение подставить в (6) для нахождения зависимости по-

рядка n от ширины переходной области, а не от частоты 1. Параметр TW/ c

называется нормированной шириной переходной области и является без-

размерной величиной. Следовательно, ТW и c можно задавать и в радианах на секунду, и в герцах.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты =0 по сравнению с характеристикой любого поли-

номиального фильтра n-го порядка и вследствие этого называется максималь-

но плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную харак-

теристику. Однако для частот, расположенных около точки среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает харак-

теристике Чебышева, который рассматривается ниже.

Однако фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта лучше (бо-

лее близка к линейной), чем соответствующие фазочастотные характеристики фильтров Чебышева, инверсных Чебышева и эллиптических сравнимого по-

рядка. Это согласуется с общим правилом для фильтров данного типа – чем лучше амплитудно-частотная характеристика, тем хуже фазочастотная, и на-

оборот.

1.2. Фильтры Чебышева Фильтр Чебышева обладает амплитудно-частотной характеристикой, ко-

торая определяется следующим образом:

7

Параметры и К – постоянные числа, а Сn является полиномом Чебышева первого рода степени n и имеет вид:

Cn(x)=cos(n arcos(x)). (9)

Амплитудно-частотная характеристика достигает своего наибольшего значения К в тех точках, где Сn равно нулю. Поскольку эти точки распреде-

лены по полосе пропускания, то характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в других областях. Размах этих пульсаций определяет параметр , а их число степень n. Коэффициент уси-

ления фильтра определяется значением К.

Фильтр Чебышева иногда называют равноволновым фильтром, посколь-

ку все пульсации равны по значению. Для К=1, т.е. на рис. 3 A=1, размах пульсаций RW=A A1 для фильтра Чебышева будет равен

Таким образом, как угодно можно уменьшить RW, выбрав значение па-

раметра достаточно малым.

Минимально допустимое затухание в полосе пропускания – постоянный размах пульсаций, часто выражается в децибелах как

и может использоваться как характеристика фильтра Чебышева. Например,

фильтр с неравномерностью передачи 1/2 дБ обладает таким значением , что

=1/2 (это дает =0,3493). В общем случае, решая уравнение (11) относи-

8

тельно , можно получить

1010 1.

(12)

Наибольшим допустимым размахом пульсаций обладает фильтр Чебы-

шева с неравномерностью передачи 3 дБ, для которого в (11) =1 (если гово-

рить более точно, то необходимо иметь значение =0,99763, поскольку

1оg10(2) не равен точно 0,3).

По амплитудно-частотной характеристике на рис. 1 определяем А=1, а

A1 1/ 1 2 . Для данного случая также можно точно определить А2, кото-

рое установило бы значение частоты 1. Частота c=1 рад/с представляет со-

бой точку среза или граничную точку полосы частот с пульсациями. Если интересуются значением частоты 3дБ ,т. е. точкой, в которой характеристика спадает на 3 дБ, то получают:

фильтр Чебышева с неравномерностью передачи 3 дБ.

На основе (8) для К=1 найдем минимальный порядок фильтра Чебышева:

2

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева данного по-

рядка лучше амплитудно-частотной характеристики Баттерворта, так как у

9

фильтра Чебышева уже ширина переходной области. Однако фазочастотная характеристика фильтра Чебышева хуже (более нелинейна) по сравнению с фазочастотной характеристикой фильтра Баттерворта. Фазочастотные харак-

теристики фильтра Чебышева для 2–7-го порядков приведены на рис. 5. Для сравнения на рис. 5 штриховой линией изображена фазочастотная характери-

стика фильтра Баттерворта шестого порядка. Можно также отметить, что фа-

зочастотные характеристики фильтров Чебышева высокого порядка хуже фа-

зочастотных характеристик фильтров более низкого порядка. Это согласует-

ся с тем фактом, что амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебы-

шева высокого порядка лучше амплитудно-частотной характеристики фильт-

ра более низкого порядка.

Рис. 5. Фазочастотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева.

1.3. Эллиптические фильтры Эллиптический фильтр имеет амплитудно-частотную характеристику,

10

которая содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе за-

держивания и является лучшим среди всех фильтров нижних частот в том смысле, что для заданного порядка и допустимых отклонений характеристик в полосах пропускания и задерживания обладает самой узкой шириной пере-

ходной области. Пример амплитудно-частотной характеристики эллиптиче-

ского фильтра пятого порядка изображен на рис. 6.

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра нижних частот для случая n=5.

Пульсации в полосе пропускания равны по значению и могут характери-

зоваться максимальным допустимым затуханием в полосе задерживания. Эта величина которую мы также будем называть неравномерностью передачи, в

полосе пропускания (РRW), дБ, согласно обозначению на рис. 6 равна:

PRW=–20 log10(A1). (15)

Пульсации в полосе пропускания так же равны по значению (хотя не обязательно равны размаху пульсаций в полосе пропускания) и характеризу-

ются минимальным затуханием в полосе задерживания МSL, дБ, следующим образом: