Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие написано на основе курса лекций, в течение многих лет читаемого автором студентам физического факультета Белгосуниверситета.

Первая глава носит вводный характер. В ней приводятся некоторые сведения, факты и обозначения, быть может, известные читателю, которые используются в дальнейшем.

Вторая глава посвящена фундаментальному понятию математического анализа — понятию предела. Здесь изложение ведется весьма подробно. Многочисленные заме- чания, отступления и разобранные примеры должны помочь студенту глубже вникнуть в суть рассматриваемых понятий и утверждений. Обычно введение в анализ, «эп- силон-дельта» рассуждения даются начинающему весьма трудно. Однако овладение предметом без значительных затрат времени и усилий на изучение языка анализа, «эпсилон-дельта» рассуждений невозможно. Многие утверждения, казалось бы совершенно очевидные, доказываются с помощью формальных рассуждений на основе четких определений и аксиом. Там, где это по какой-то причине не удается провести, мы предлагаем обратиться к соответствующему источнику, стараясь, следуя П. Л. Че- бышеву, придерживаться в изложении разумной строгости, которая, предохраняя от ошибок, придает непреложность выводам.

В третьей главе, посвященной дифференциальному ис- числению, изложение постепенно становится более сжатым, некоторые утверждения предлагаются для самостоятельного доказательства. Вместе с тем, важные теоремы о дифференцируемых функциях и правило Лопиталя снабжены пространными комментариями.

3

Г л а в а 1 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ

1.1. МНОЖЕСТВА

1.1.1. Множества, подмножества, включения

Понятие множества является фундаментальным, первич- ным понятием. Оно не поддается определению через более простые понятия. Лучшее его пояснение принадлежит основателю теории множеств Георгу Кантору, который сказал, что «под множеством мы понимаем любое объединение в одно целое Ì определенных вполне различимых объектов m из нашего восприятия или мысли (указанные объекты называются элементами М)».

Если мы имеем какое-то множество, то относительно любого объекта верно одно и только одно из двух утверждений: либо этот объект является элементом данного множества, либо не является.

Множества обозначают обычно большими буквами латинского алфавита Ì, À, Â, Õ ..., а их элементы — малыми буквами m, a, b, x ....

Запись a A означает, что à является элементом множества À èëè à принадлежит множеству À ( — знак принадлежности). Если à не является элементом множества À, то пишут: à À èëè

à À.

Если множество À состоит из элементов, принадлежащих некоторому другому множеству Â, то множество À называют подмножеством множества Â и записывают À B èëè Â À ( знак включения). Иначе говоря, À Â, если для любого элемента à À следует, что à Â.

Множества À è Â называют равными, À Â, если одновременно À B è Â À.

5

Существуют различные формы задания множеств. Для этого используют фигурные скобки, внутри которых тем или иным способом описываются элементы, из которых эти множества состоят.

Символическая запись

Ì {x}

означает, что множество Ì состоит из элементов x, ïðè ýòîì ïîä õ понимают любой элемент множества.

Если множество М конечное, т. е. количество его элементов можно выразить каким-то определенным числом, то все эти элементы просто указываются в скобках:

Ì {a, b, c, d}

(читается: «Ì есть множество, состоящее из элементов a, b, c, d»). Если же множество бесконечное, то выписать все его элементы невозможно, однако из записи часто достаточно ясно, о каком множестве идет речь. Например, множество всех натуральных

чисел записывается в виде

{1, 2, 3, ..., n, ...}.

Иная часто употребляемая форма записи множества состоит в указании свойств элементов множества:

M {x : x обладает свойством P}

(читается: «Ì есть множество тех и только тех элементов õ, которые обладают свойством л).

Может случиться, что свойством Ð не обладает ни один элемент õ, следовательно, множество Ì не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом :

õ , что бы ни обозначала буква õ.

Понятие пустого множества, обычно вызывающее при первом знакомстве психологические трудности, оказывается в ряде слу- чаев весьма удобным и полезным.

1.1.2. Операции, производимые над множествами

Произведением (пересечением) двух множеств À è Â называют множество

À Â {x : x A è õ Â},

6

т. е. множество всех элементов, принадлежащих как À, òàê è Â. Если таких элементов нет, то À B (в таком случае говорят, что множества À è Â не пересекаются).

Объединением (суммой) двух множеств À è Â называют множество

À Â {x : x A èëè õ Â}.

Таким образом, речь идет о множестве всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух данных множеств (в него входят и те элементы, которые принадлежат им обоим).

Аналогично определяются пересечение и объединение нескольких (не обязательно двух) множеств. Следующая операция, в отличие от двух предыдущих, всегда проводится только с двумя множествами.

Разностью двух множеств À è Â называют множество

À\ Â {x : x A è õ Â},

ò.е. множество всех элементов, принадлежащих À и не принадлежащих Â.

Åñëè À Â, то разность Â \ À называют дополнением множества À до множества Â.

Иногда используют другие обозначения для произведения и объединения множеств:

ÀÂ À Â, À Â À Â.

Очевидны следующие утверждения:

À À À, À À À, À À, À ,

каково бы ни было множество À.

Операции над множествами особенно удобно наглядно иллюстрировать на примере плоских множеств, т. е. множеств, элементами которых являются точки плоскости (рис. 1.1).

Ðèñ. 1.1: à — произведение (пересечение) A B; á — объединение (сумма) A B; â — разность A/B

7

1.1.3. Свойства объединений и произведений множеств

Операции объединения и произведения множеств обладают следующими свойствами:

1)коммутативности:

ÀÂ Â À, À Â Â À;

2)ассоциативности:

À(Â Ñ) (À Â) Ñ À Â Ñ;

À(Â Ñ) (À Â) Ñ À Â Ñ;

3)дистрибутивности:

À(Â Ñ) (À Â) (À Ñ);

À(Â Ñ) (À Â) (À Ñ).

Доказательство третьего свойства как простой, но типичный образец рассуждений о равенстве множеств приведено ниже (см. пример 2).

Свойства 1 и 2 очевидны.

Отступленние. Слова «очевидно», «легко видеть», «нетрудно показать» нередко встречаются в математических доказательствах. Эти слова вовсе не означают, что соответствующие утверждения не нуждаются в доказательстве и даже не обязательно говорят о том, что доказательства просты и коротки (как, например, в данном случае). Иногда автор по каким-то причинам решает уклониться от доказательства. Например, в научных журналах существуют жесткие ограничения на объем статей, поэтому громоздкие доказательства либо вовсе опускаются, либо отдельные их фрагменты заменяются словами «легко видеть». Для студента, читающего учебник, подобные слова никогда не следует принимать на веру. Все «очевидные» утверждения следует подвергать сомнению и тщательно проверять. Весьма часто ошибки в доказательствах допускаются именно в тех местах, которые казались автору «очевидными». Как заметил Дж. Литлвуд в книге «Математическая смесь», «две пропущенные тривиальности могут в совокупности образовать непреодолимое препятствие».

Пример 1. Доказать следующее утверждение: включение A B имеет место тогда и только тогда, когда A B B.

Пусть A B. Нужно доказать, что при этом допущении A B B, т. е. (по определению равенства множеств) имеют место включения

 (À Â) è (À Â) Â.

8

Первое включение очевидно. Докажем второе, а именно, (À Â) Â. Åñëè x (À Â), то возможны два случая: õ À èëè õ Â. Åñëè õ À, òî õ Â, поскольку мы допустили, что À B. Итак, в обоих случаях õ Â, откуда следует, что (À Â) Â.

Докажем обратное утверждение: если (À Â) Â, òî À B. Пусть õ À, тогда тем более õ (À Â). Но по условию (À Â) Â, значит, õ Â, ò. å. À B.

Пример 2. Доказать первый дистрибутивный закон

À(Â Ñ) (À Â) (À Ñ).

Исходя из определения равенства множеств, нужно показать два включения:

( ) À (Â Ñ) (À Â) (A Ñ); ( ) (À Â) (À Ñ) À (Â Ñ).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ( ): åñëè õ À (Â Ñ), òî õ À и одновременно õ Â èëè õ Ñ. Следовательно, õ À è õ Â или, может быть, õ À è õ Ñ, ò. å. õ À Â èëè õ A C. Тогда

õ(À Â) (A Ñ).

Äî ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ( ): åñëè õ (À Â) (A Ñ), òî õ (À Â) èëè õ (À Ñ), значит, õ À и в то же время õ Â èëè õ Ñ. Òà-

ким образом, õ À è õ Â Ñ, ò. å. õ À (Â Ñ). Замечание 1. Если для произведения и суммы множеств использовать другие обозначения, то доказываемое равенство при-

нимает естественный вид:

À(Â Ñ) ÀÂ ÂÑ.

Второй дистрибутивный закон, записанный в тех же обозна- чениях, имеет вид

À ÂÑ (À Â)(À Ñ).

Если теперь формально раскрыть произведение в правой части по обычным правилам алгебры, то получим равенство

Убедимся в том, что данное равенство, полученное таким формальным путем, в самом деле имеет место для любых множеств À, Â è Ñ.

Так как для любого множества À2 ÀÀ À, то соотношение (1.1) принимает вид À ÂÑ À ÀÑ ÀÂ ÂÑ. Из очевидных вклю- чений ÀÂ À è ÀÑ À следует (см. пример 1), что À ÀÂ À è

9

À ÀÑ À, а тогда À ÀÑ ÀÂ ÂÑ À ÀÂ ÂÑ À ÂÑ, что и требовалось доказать.

Отметим, что случай ÀÑ è ÀÂ — тривиален*, поскольку À À.

Замечание 2. Разобранный пример наталкивает на гипотезу (которая в самом деле имеет место), что множества с введенными операциями сложения и умножения образуют своеобразную алгебру, где нет коэффициентов и степеней (ведь À2 À, À À À).

1.1.4. Отступление: о словах «и», «или», «если… то», «не»

Мы пользовались этими словами при определении операций над множествами и включений множеств. Употребление этих слов в обычной речи не всегда однозначно. В математике принято следующее соглашение:

1)слова «и», «не» употребляются точно в том же смысле, что

èв обычной речи;

2)считают, что высказывание «p èëè q» ложно в том и только том случае, когда ложны оба высказывания p è q. В частности, если и p, è q истинны, то и высказывание «p èëè q» истинно (не исключающее «или»);

3)считают, что высказывание «если p, òî q» ложно в том и только том случае, когда p истинно, а q ложно. Во всех других случаях высказывание «если p, òî q» истинно.

Пример 3. Доказать, что для любого множества A имеет место включение A.

Нужно показать, что если x , òî x A. Но высказывание x всегда ложно, следовательно, (в соответствии с вышесказанным в пункте 3), включение A истинно.

Если приведенное доказательство вызывает трудности у читателя, то он может найти на с. 21 решение данного примера дру-

1.1.5. Упражнения

1. Верны ли следующие утверждения:

à) a {a}; á) {a} {a}; â) a {a}; ã) a {a}; ä) {a} a? 2. Равны ли множества {1, 2, 3, 4} и {4, 1, 3, 2}?

*Часто полагают, что для любого множества À имеет место включение

A. В таком случае приведенное доказательство корректно и при AB , AC . Мы же включение A докажем ниже (см. пример 3).

10

3.Найдите:

à) {1, 2} \ {3, 4}; á) {1, 2} \ {2, 3};

â) À \ Â, ãäå A {x : x > 1}, B {x : x 3}.

4.Покажите, что:

à) åñëè A B è B C, òî A (B C); á) åñëè A C è B C, òî ( A B) C.

5.Перечислите все подмножества множества {a, b, c} (всего таких подмножеств восемь).

6.Докажите, что если M1 M2, òî M1 M2 M1. Верно ли обратное утверждение?

7.Докажите транзитивность включения: если A B è B C, òî A C.

8.Докажите, что (À \ Â) B A, åñëè A B. Приведите при-

мер двух множеств A è B, для которых указанное равенство не выполняется, если условие A B опущено.

9.Докажите включения:

à) A (Â \ Ñ) A B \ Ñ; á) A C \ Â (À \ Â) Ñ.

10.Докажите, что равенство A B \ Â À имеет место только

âслучае, когда A B .

11.Укажите число элементов множества A B, если множество A содержит n элементов, множество B — m элементов, а пересечение A B — k элементов.

12.Даны множества A, B, C. С помощью операций объединения и пересечения запишите множество, состоящее из элементов, принадлежащих:

1)всем трем множествам;

2)хотя бы одному из этих множеств;

3)по крайней мере двум из этих множеств.

13.Пусть À, Â è Ñ — множества натуральных чисел, относительно которых известно следующее:

1)A B {2, 3, 4, 5, 6,7, 8};

2)B C {1, 2, 4, 6, 8};

3)C A {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8};

4)A B {2};

5)B C {2, 4, 8};

6)C A {2}.

Укажите каждое из множеств À, Â è Ñ.

11