ANTIDEMIDOVICH-00-MAIN

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ кафедра теории функции

ПРАКТИКА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ

АНАЛИЗУ

.

Минск, 2014

Содержание

2

Введение

Данный материал составлен из решений индивидуальных заданий студентов механико математического факультета БГУ. Задания для студентов подбирались из сборника задач [1].

ВНИМАНИЕ!!!

ДАННЫЙ ТЕКСТ ЕЩЕ СОСТАВЛЕН (В ОНОВНОМ) ДВОЕЧНИКАМИ И ПРОГУЛЬЩИКАМИ ИЗ 5 ГРУППЫ!!!

ОН ЕЕ НЕ ПРОШЕЛ ПРОВЕРКУ И СОДЕРЖИТ МНОГО ОШИБОК И ОПЕЧАТОК!!!

3

1Вещественные числа

Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторая теорема верна для всякого натурального числа n, достаточно доказать:

1)что эта теорема справедлива для n = 1 и

2)что если эта теорема справедлива для какого-нибудь натурального числа n, то она справедлива также и для следующего натурального числа n + 1.

Сечение. Разбиение рациональных чисел на два класса A и B называется сечением,

если выполнены следующие условия:

1)оба класса не пусты;

2)каждое рациональное число попадает в один и только в один класс и

3)любое число, принадлежащего классу A (нижний класс), меньше произвольного

числа, принадлежащего классу B (верхний класс). Сечение A=B определяет:

а) рациональное число, если или нижний класс A имеет наибольшее число или же верхний класс B имеет наименьшее число, и

б) иррациональное число, если класс A не имеет наибольшего числа, а класс B

наименьшего числа.

Числа рациональные и иррациональные носят название вещественных или действительных.

Абсолютная ввеличина. Если x вещественное число, то абсолютной величиной jxj называется неотрицательное число, определяемое следующими условиями:

jxj =

x; åñëè x < 0; x; åñëè x 0:

Для любых вещественных числе x и y имеет место неравенство

jxj jyj jx + yj jxj + jyj :

Верхняя и нижняя грани. Пусть X=fxg ограниченное множество вещественных

чисел. Число

m = inf fxg

называется нижней гранью множества X, если:

1)x 2 X удовлетворяет неравенству x m;

2)каково бы ни было " > 0, существует x0 2 X такое, что x0 < m + ".

Аналогично число

M = sup fxg

называется верхней гранью множества X,если:

1)каждое x 2 X удовлетворяет неравенству x M,

2)для любого " > 0 существует x00 2 X такое, что x00 > M ".

4

Если множество X не ограничено снизу, то принято говорить, что inf fxg = 1. Если же множество X не ограничено сверху, то полагают sup fxg = +1.

Если a (a 6= 0) есть точное значение измеряемой величины, а x приближенное значение этой величины, то = jx aj назы-

вается абсолютной погрешностью, а = jaj относительной погрешностью измеряемой величины.

Ï Ð È Ì Å Ð 1 (1) Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство:

Ï Ð È Ì Å Ð 2 (2) Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство:

Покажем справедливость равенства для n = k + 1. Для этого преобразуем его к виду

12 + 22 + 32 + : : : + k2 + (k + 1)2 = (k + 1)(k + 1 + 1)(2(k + 1) + 1) = 6

5

и, подставив выражение (3), получим

П Р И М Е Р 3 (3) Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство:

Решение. При n = 1 равенство 13 = 12 очевидно. Предположим, что (4) верно для

Предполагая справедливость последнего равенства при n = k, покажем справедливость

(4) при n = k + 1 с помощью цепочки элементарных преобразований, используя (5):

13 + 23 + : : : + k3 + (k + 1)3 = (1 + 2 + : : : + k + (k + 1))2;

(1 + 2 + : : : + k)2 + (k + 1)3 = (1 + 2 + : : : + k + (k + 1))2; (k + 1)3 = (1 + 2 + : : : + k + (k + 1))2 (1 + 2 + : : : + k)2; (k + 1)3 = (k + 1) (2 (1 + 2 + 3 + : : : + k) + (k + 1)); (k + 1)2 = 2 (1 + 2 + 3 + : : : + k) + (k + 1);

(k + 1)2 (k + 1) = 2 (1 + 2 + 3 + : : : + k); (k + 1) (k + 1 1) = 2 (1 + 2 + 3 + : : : + k); (k + 1) k = 2 (1 + 2 + 3 + : : : + k);

k(k + 1) = 1 + 2 + 3 + : : : + k: 2

П Р И М Е Р 4 (4) Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство:

1 + 2 + 22 + : : : + 2n 1 = 2n 1

6

Решение. Для n = 1 необходимое равенство 1 = 21 1, очевидно, верно. Предположим, что оно верно и для n = k:

2Теория последовательностей

Понятие предела последовательности. Говорят, что последовательность

x1; x2; : : : ; xn; : : : ;

или иначе xn (n = 1; 2; : : :) имеет своим пределом число a (короче сходится к a), то есть

lim xn = a;

n!1

если для любого " > 0 существует число N = N(") такое, что

jxn aj < "

при n > N. В частности, xn называется бесконечно малой, если

lim xn = 0:

n!1

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Признаки существования предела.

1)Åñëè yn xn zn è limn!1 yn = limn!1 zn = c, òî limn!1 xn = c.

2)Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

3)Критерий Коши. Для существования предела последовательности необходимо и

достаточно, чтобы для любого " > 0 существовало число N = N(") такое, что

jxn xn + pj < "

если только n > N и p > 0.

Основные теоремы и пределах последовательностей. Предполагая,что суще- ствуют limn!1 xn è limn!1 yn, имеем:

1) åñëè xn < yn, òî limn!1 xn limn!1 yn;

7

2) limn!1 (xn yn) = limn!1 xn limn!1 yn; 3) limn!1 (xn yn) = limn!1 xn limn!1 yn;

Число e. Последовательность

1 + n1 n

имеет конечный предел

lim 1 + 1 n = e = 2; 7182818284 : : : :

n!1 n

Бесконечный предел. Символическая запись limn!1 xn = 1 обозначает ,что, каково бы ни было E > 0 ,существует число N = N(E) такое,что jxnj > E ïðè n > N.

Предельная точка. Число (или символ 1) называется частичным пределом (пре-

дельной точкой) данной последовательности xn (n = 1; 2; : : :), если существует ее после-

довательность xp1; xp2; : : : ; xpn; : : : (1 p1 < p2 < : : :) такая, что limn!1 xpn = .

Всякая ограниченная последовательность имеет по меньшей мере один конечный ча- стичный предел (принцип Больцано Вейерштрасса). Если этот частичный предел единственный, то он же является конечным пределом данной последовательности.

Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный) последовательности xn

limn!1xn называется нижним пределом, а наибольший частичный предел ее limn!1xn называется верхним пределом этой последовательности.

Равенство

limn!1xn = limn!1xn

является необходимым и достаточным условием существования предела (конечного или бесконечного) последовательности xn.

Ï Ð È Ì Å Ð 5 (46) Определить значение выражения:

lim 10000n:

x!1 n2 + 1

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на n

Ï Ð È Ì Å Ð 6 (47) Определить значение выражения:

pp

lim n + 1 n:

x!1

8

Решение. Домножив выражение на сопряженное, получим

Ï Ð È Ì Å Ð 7 (48) Определить значение выражения:

Ï Ð È Ì Å Ð 8 (49) Определить значение выражения:

Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на 3n+1, получим

9

Решение. Применим формулу суммы арифметической прогрессии

убывает. Далее, из неравенства xn > 0 следует ограниченность снизу xn. Из монотонности и ограниченности xn следует сходимость.

1Надо рассмотреть 2 случая

2Это НЕ арифметическая прогрессия

10