6.2.1 Метод средних прямоугольников

Для вычисления значения интеграла разбиваем отрезок интегрирования на nравных частей (в первом приближении принимаемn= 4) и определим значенияf(x_i), гдеx_i=a+hi+h/2;h= (b–a)/n(рисунок 2).

Рисунок 2 – Метод средних прямоугольников

Вычислим площадь s_iкаждого из полученных прямоугольников:s_i=hf(x_i). СуммаI₁ площадей этих прямоугольников и является приближенным значением интеграла:

.

Однако одно приближение не позволяет оценить точность, с которой вычислено значение интеграла, поэтому необходимо найти второе приближение. Для этого увеличим число отрезков разбиения nв 2 раза, т. е.n= 2n. АналогичноI₁находим

.

Для вычисления интеграла с заданной точностью проверим условие |I₂-I₁|. Если условие выполняется, тоI₂ принимается за искомое значение интеграла. Если условие не выполняется, то последнее значение интегралаI₂принимается за предыдущее, т. е.I₁=I₂. После этого удвоим число точек деления отрезка и вычислим новое значениеI₂. Процесс удвоенияnи вычислениеI₂будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие |I₂-I₁|.

6.2.1 Метод трапеций

Для вычисления значения интеграла разбиваем отрезок интегрирования на nравных частей (в первом приближении принимаемn= 4) и определим значенияf(x_i) (i= 0, 1, …,n), гдеx_i=a+hi;h= (b–a)/n(рисунок 3).

Рисунок 3 – Метод трапеций

Вычислим площадь s_iкаждой из полученных трапеций:s_i=h(f(x_i-1) +f(x_i))/2 . СуммаI₁ площадей этих трапеций и является

Однако одно приближение не позволяет оценить точность, с которой вычислено значение интеграла, поэтому необходимо найти второе приближение. Для этого увеличим число отрезков разбиения nв 2 раза, т. е.n= 2n. АналогичноI₁находим

.

Для вычисления интеграла с заданной точностью проверим условие |I₂-I₁|. Если условие выполняется, тоI₂ принимается за искомое значение интеграла. Если условие не выполняется, то последнее значение интегралаI₂принимается за предыдущее, т. е.I₁=I₂. После этого удвоим число точек деления отрезка и вычислим новое значениеI₂. Процесс удвоенияnи вычислениеI₂будем продолжать до тех пор, пока не выполнится условие |I₂-I₁|.

7. Методические указания

Вычисление интеграла оформить в виде функции, где в качестве одного из параметров использовать указатель на функцию f(x).

8. Варианты заданий

1. Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-4.

2. Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-5.

3. Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-4.

4) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-5.

5) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-4.

6) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-5.

7) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-4.

8) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-5.

9) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-4.

10) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-5.

11) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-4.

12) Вычислить выражение

.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-5.

13)* Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

;;.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-4.

14)* Вычислить площадь фигуры между дугами двух кривых

и.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-5.

15)* Вычислить площадь фигуры между дугами двух кривых

и.

Интегралы вычислять с точностью = 10^-4.