- •РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СТАТИСТИКИ
- •ГЛАВА 1. СТАТИСТИКА КАК НАУКА
- •Понятие статистики и история ее развития
- •Теоретические и методологические основы статистики
- •Задачи и организация государственной статистики в России
- •РАЗДЕЛ II. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА
- •ГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
- •Понятие о статистическом наблюдении
- •Основные формы, виды и способы статистического наблюдения
- •ГЛАВА 3. СВОДКА И ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
- •Понятие о сводке
- •Виды группировок. Вторичная группировка
- •Ряды распределения
- •ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
- •Статистические таблицы, их виды
- •Графическое изображение статистических данных
- •ГЛАВА 5. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
- •Понятие, формы и виды статистических показателей
- •Абсолютные показатели
- •Относительные показатели
- •ГЛАВА 6. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
- •РАЗДЕЛ III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •ГЛАВА 7. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
- •Показатели вариации
- •Дисперсия альтернативного признака
- •Контрольные вопросы
- •ГЛАВА 8. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
- •Понятие выборочного наблюдения
- •Ошибки выборочного наблюдения
- •Виды выборки
- •ГЛАВА 9. РЯДЫ ДИНАМИКИ
- •Ряды динамики, их виды и сопоставимость
- •Показатели изменения уровней ряда динамики
- •Показатели сезонности
- •Элементы прогнозирования и интерполяции
- •ГЛАВА 10. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ
- •Понятие экономических индексов. Классификация индексов
- •Индивидуальные и общие индексы
- •Средние индексы
- •Индексы структурных сдвигов
- •Свойства индексов Ласпейреса и Пааше
- •ГЛАВА 11. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
- •Сущность связи и ее виды
- •Методы изучения связи социально-экономических явлений
- •ЛИТЕРАТУРА
Глава 6. Средние величины
Средние величины в статистике выполняют роль обобщающих показателей, характеризующих изучаемую совокупность единиц по какому-либо признаку.
При изучении вопроса о применении средних величин особое внимание следует обратить на то, что каждый их вид определяется в зависимости от конкретного экономического условия и от поставленной задачи. В противном случае средняя даст ошибочный результат и будет являться искаженной характеристикой изучаемой статистической совокупности.
Следует уяснить, что средняя рассчитывается по качественно однородной совокупности, значения которой примерно одного порядка. Это основное условие применения средней.
Средние величины в статистике являются величинами именованными и выражаются в тех же единицах, в которых выражен признак.
В статистическом анализе используют следующие виды средних величин: арифметическая простая, арифметическая взвешенная, гармоническая, геометрическая, средняя квадратическая, структурные средние медиана и мода.
Средняя арифметическая простая применяется в том случае, когда каждая единица совокупности имеет свое конкретное значение, которое встречается один или одинаковое число раз, т.е. когда средняя рассчитывается по несгруппированным единицам совокупности. Она рассчитывается по формуле:
x = ∑nxi ,
где xi – значения показателя; n – число значений.
Средняя арифметическая простая равна частному от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество.
Пример. Рассчитаем среднюю арифметическую по следующим данным:
Порядковый номер рабочих …………………… |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Количество изготовленных деталей, тыс. шт…. |
1,0 |
1,1 |
1,0 |
0,9 |
1,2 |
1,1 |
1,0 |
В данном случае применима средняя арифметическая простая:
x = |
∑n |
x i |
= |
(1,0 |
+ 1,1 + 1,0 + 0,9 + 1,2 + 1,1 + 1,0 ) |
= 1,0 тыс .шт ., |
i =1 |
|
|||||
n |
|
|
7 |
|||
|
|
|
|
|
Таким образом, средняя выработка деталей на одного рабочего составляет
1,0 тыс. шт.
Если исходная информация дана на определённую дату и интервалы между ними равны, то средняя величина определяется по формуле средней хро-
нологической:
45
|
1 |
x |
+x |
2 |
+...+ |
1 |
x |
n |
|
|
|
|
|
||||||
x = |
2 1 |
|
2 |
|
. |
||||
|
n −1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Пример. Имеются данные о численности сотрудников предприятия: на
01.01.2002 – 40 чел., 01.03.2002 – 60 чел., 01.05.2002 – 80 чел. Средняя чис-
ленность сотрудников за квартал составляет:
x = (40÷2) +60+(80÷2) =60 чел. 3−1
Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда имеется некоторая повторяемость значений единиц совокупности. Она рассчитывается по формуле:
x = ∑xi fi ,
∑ fi
где f – частота (повторяемость признака).
Средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений вариант (x) на их частоты или веса (f), поделенной на сумму частот.
Пример. По данным о распределении рабочих-наладчиков по стажу работы и квалификации участка одного из цехов промышленного предприятия рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную (табл. 6.1). Определим:
1)средний разряд рабочих каждой возрастной группы;
2)средний стаж рабочих участка.
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
Стаж работы, лет |
|
Число рабочих, чел. |
|
|
||
Всего |
|
в том числе, имеющих разряд |
|
|||
|
4-й |
|
5-й |
6-й |
|
|
|
|
|
|
|||
До 10 |
9 |
2 |
|
4 |
3 |
|
10-20 |
7 |
— |
|
2 |
5 |
|
20-30 |
3 |
— |
|
1 |
2 |
|
30-40 |
2 |
— |
|
— |
2 |
|
Для нахождения среднего разряда рабочих каждой группы следует применять среднюю арифметическую взвешенную: в качестве веса (f) выступает конкретный разряд рабочих. Так, для рабочих со стажем работы до 10 лет средний тарифный разряд составит:
x 1 |
= |
∑x |
f |
=(2 |
× 4 + 4 |
× 5 + 3 |
× 6): (2 + 4 + 3) = (8 + 20 + 18) : 9 = 5-й разряд. |
∑ f |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Для рабочих со стажем работы 10-20 лет средний тарифный разряд составит:
x 2 |
= |
∑x |
f |
= (2 |
× 5 + 5 |
× 6) : (2 + 5) = 40 : 7 = 5,7 разряда. |
∑ f |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
И так далее по другим возрастным группам.
Длянахождениясреднегостажарабочихнаучасткеприменяюттужесреднюю арифметическуювзвешенную, ноужедляинтервальногорядараспределения:
46
x = ∑xi fi ,
∑ fi
Для того, чтобы вычислить среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем среднюю для всего ряда.
Средняя для каждого интервала определяется как полусумма верхних и нижних границ, т.е. по средней арифметической простой. Так, для первой группы со стажем работы до 10 лет среднее значение интервала составит
(0 + 10) : 2 = 5; 10-20 лет – (10 + 20) : 2 = 15 и т.д.
x = ∑∑xi fi fi ={[(0+10):2]×9+[(10+20):2]×7+[(20+30):2]×3+[(30+40):2]×2}:(9+7+3+2)
== 295 : 21 = 14 лет.
Таким образом, средний стаж рабочих по совокупности – 14 лет. Можно также рассчитать средний стаж рабочих по соответствующим квалификационным группам. Так, для рабочих 5-го разряда средний стаж составит:
X 5 = (5 × 4 + 15 × 2 + 25 × 1) : (4 + 2 + 1) = 10,7 года.
Аналогичные расчеты можно произвести по другим квалификационным группам.
Если нижняя граница интервала отсутствует в первой группе, то середина интервала определяется вычитанием из верхней границы интервала полусуммы величины интервала последующей группы. Если отсутствует верхняя граница последней группы, то середина интервала определяется прибавлением к нижней границе интервала полусуммы интервала предыдущей группы.
Часто в практике приходится определять среднюю из относительных величин. Здесь в качестве весов выступает частота (f) или частность. При расчете средней из относительных величин вариантами (x) являются эти относительные величины, а весами (f) – соответствующее каждой относительной величине основание.
Пример. Необходимо определить средний процент работающих студентов по трем факультетам по данным табл. 6.2.
|
|
Таблица 6.2 |
|
Факультет |
Всего студентов |
Из них работающих, в % |
|
1 |
1500 |
90 |
|
2 |
1000 |
80 |
|
3 |
500 |
50 |
|
Итого |
3000 |
|
|
x= ∑x f = 90 1500 +80 1000 +50 500 = 80%.
∑f 3000
47
Для упрощения расчета средних величин необходимо использовать некоторые свойства средних.
Свойства средней арифметической:
1. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:
x = |
∑x |
= |
∑( y |
+ z) |
= |
∑y |
+ |
∑z |
= y + z. |
n |
n |
|
n |
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
2.Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю, т.к. сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую, т.е. средняя выступает равнодействующей:
∑(xi − x) fi = 0.
3.ЕсливсевариантыуменьшитьилиувеличитьнапостоянноечислоА, тосредняяарифметическаясоответственноуменьшитсяилиувеличитсянатужевеличину:
|
∑x |
fi |
|
∑(x ± A) fi |
|
|
|
|
x = |
= |
± A или x ± A = x ± A. |
||||||
∑ fi |
|
∑ fi |
||||||
|
|
|
|
|
|
4. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно уменьшится или увеличится в А раз:
x = |
∑x fi |
|
∑ |
x |
|
f |
A = |
∑x A f |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
||||||||
= |
÷ A, илиAx = Ax . |
|||||||||||
∑ f |
∑ f |
|
∑ f |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5. Если все веса уменьшить или увеличить в d раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:
|
∑x fi |
|
∑x |
|
f |
|
∑x f d |
|
|
x = |
= |
|
d |
= x. |
|||||
∑ fi |
∑ |
f |
= |
∑ f d |
|||||
|
|
d |
|
|
|
|
Перечисленные свойства средней арифметической позволяют в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты на какое-либо число А, сокращать их в k раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариантов, а затем переходить к средней первоначального ряда. Такой способ называется «способом условного нуля» или условной средней или «способом моментов».
|
∑( |
x−A |
) |
f |
|
||
x = |
k |
d |
k + A. |
||||
∑ |
f |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
d |
|
|
Пример. Имеются данные о дневной выработке рабочих (табл. 6.3). Необходимо определить среднюю выработку, используя свойства средних.
Таблица 6.3
Выработка |
Число рабочих |
x – А |
|
′ |
|
|
x − A |
|
1 |
|
′ |
|
|
f |
|
|
деталей (шт.) |
(чел.) |
|
x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
d |
d |
|
||||||||
x |
f |
А = 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
k = 5 |
|
d = 20 |
|
|
|
|
|
|||||||
30 |
80 |
-10 |
|
|
|
-2 |
|
4 |
|
-8 |
|
|
||||
35 |
120 |
-5 |
|
|
|
-1 |
|
6 |
|
-6 |
|
|
48
40 |
150 |
0 |
0 |
7,5 |
0 |
45 |
60 |
+5 |
1 |
3 |
+3 |
50 |
90 |
+10 |
2 |
4,5 |
+9 |
|
|
|
|
25 |
-2 |
Для определения средней выработки по уменьшенным данным (свойство 4) необходимо из x вычесть A = 40, затем уменьшить эти значения в 5 раз. Частоты уменьшим в 20 раз (свойство 5). Числа берем исходя из логики упрощения решения.
Новая средняя x будет равна сумме произведений сокращенных вариант на частоты, поделенной на сумму сокращенных частот:
|
∑x′ |
f |
|
− 2 |
|
||
x′ = |
d |
= |
= −0,08. |
||||
∑ |
f |
|
25 |
||||
|
d |
|
|
Следующим шагом будет переход к первоначальному значению. Для этого полученное значение умножим на 5 (т.к. делили на 5) и прибавим 40 (т.к. вычитали 40):
x = x′ 5 + 40 = −0,08 5 + 40 = 39,6 дет.
Средняя гармоническая применяется в том случае, когда известны один из сомножителей и само произведение. Обозначим x·f через М, тогда средняя гармоническая будет определяться по формуле:
x = |
∑x |
f |
= |
∑M |
|
, где ∑M = ∑x f , а |
f = ∑ |
M |
, |
|
∑ f |
|
∑ |
M |
|
x |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
где х – известный сомножитель; М – известное произведение.
Пример. Требуется вычислить средний процент выполнения плана по выпуску продукции цехом, состоящим из четырех участков (табл. 6.4).
|
|
Таблица 6.4 |
|
Участок цеха |
Фактический выпуск продукции, тыс. руб. |
Выполнение плана, % |
|
Токарный |
6500 |
101,3 |
|
Фрезерный |
7300 |
90,5 |
|
Расточный |
6900 |
102,5 |
|
Слесарный |
5300 |
101,9 |
|
Применение средней арифметической простой исключается, так как процентные соотношения не подвергаются суммированию. Для решения данной задачи следует применить формулу средней гармонической. Критерием правильности применения данной формулы является то, что числитель ( ∑M )
представляет собой суммарный объем выпуска продукции участками цеха, а знаменатель ( ∑Mx ) – суммарную величину выпуска продукции по плану.
Подставляя числовые данные в формулу, получаем:
49
x = ∑∑MM =(6500+7300+6900+5300):(6500:1,013+7300:0,905+6900:1,025+5300:1,019)=
x
= (26000:26415,8) × 100% = 98,4%.
Средний процент выполнения плана по выпуску продукции цехом соста-
вил 98,4%.
В тех случаях, когда произведение x f = M одинаковое или равно единице, применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле:
x = |
∑M = |
|
1+1+1 |
|
= |
n |
. |
|||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
∑ |
M |
|
|
+ |
+ |
+K+ |
|
∑ |
1 |
|
|
||||
|
x |
x |
x1 |
x2 |
xn |
|
x |
Пример. Две автомашины прошли один и тот же путь. Одна – со скоростью 60 км/час, другая – 80 км/час. Необходимо определить среднюю скорость автомашин.
В данном случае произведения одинаковые, т.к. путь один. Применяем среднюю гармоническую простую:
x = |
n |
|
= |
1+ |
1 |
|
= 68,6 км/час, тогда как по средней арифметической про- |
||||
∑ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
||||
|
x |
60 |
80 |
|
|
стой скорость равна (60 + 80) : 2 = 70 км/час, что неверно.
Средняя геометрическая используется для определения среднего темпа роста явления за рассматриваемый период динамики. Она рассчитывается двояко:
x = n k1 k2 ,..., kn 100% или |
xn |
100% , |
x = n−1 x |
||
|
1 |
|
где k1, k2, …, kn – коэффициенты динамики по отношению к предыдущему периоду; n – число коэффициентов динамики; х1 и хn – соответственно первый и последний абсолютные уровни ряда динамики; (n-1) – число абсолютных уровней ряда динамики.
Пример. Требуется определить средний темп роста выпуска литья в оболочковых формах в литейном цехе завода за пятилетний период по данным табл. 6.5.
|
|
|
|
|
Таблица 6.5 |
|
Год |
1-й |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
|
Выпуск литья, т |
230,1 |
243,8 |
261,5 |
285,8 |
286,6 |
|
Цепные темпы роста |
— |
105,9 |
107,3 |
109,3 |
100,3 |
|
Произведем расчет:
x= 4 1,059 1,073 1,093 1,003 × 100 = 105,6% или
x= 5−1 286,6 : 230,1 × 100 = 105,6%.
Таким образом, средний темп роста выпуска литья составил 105,6%.
50
Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда осредняются величины, входящие в исходную информацию в виде квадратных функций. Определяется она по формулам:
x = |
∑x2 |
– простая; |
x = |
∑x2 f |
– взвешенная. |
|
n |
|
|
∑ f |
|
Пример. Имеются следующие данные о диаметрах труб: диаметр 1-й трубы – 25 см, 2-й – 40 см, 3-й – 50 см. Средний диаметр трубы равен:
x = |
252 + 402 +502 |
= 40 (см). |
|
3 |
|
Медиана и мода
Для изучения структуры исследуемой совокупности применяют так называемые структурные средние: медиану и моду.
Медианой в статистике называют такое значение признака, которое расположено в середине упорядоченного ряда.
Медиана определяется по-разному для дискретного и интервального ва-
риационных рядов. Медиана дискретного вариационного ряда, расположенного в ранжированном порядке, имеет серединное значение. Если дискретный ряд включает четное число единиц, то медиана (Ме) определяется как средняя из двух центральных значений. Медиана в интервальном ряде определяется по формуле:
Me = x0 +i |
|
1 |
∑f −Sm−1 |
, |
2 |
||||
|
fm |
|||
|
|
|
|
где x0 – нижняя граница медианного интервала (медианным называется пер-
вый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
i– величина медианного интервала;
∑f – сумма накопленных частот;
fm – частота медианного интервала;
Sm−1 – сумма накопленных частот предмедианного интервала.
По следующим данным дискретного ряда распределения, расположенного в ранжированном порядке (в порядке возрастания) определим медиану:
Номер по порядку рабочего...………. 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Стаж работы, лет ……………………. 7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Так как медиана имеет значение признака, находящееся в середине упорядоченного ряда, то для данного ряда распределения она составит 9 лет. Это значит, что половина совокупности рабочих имеет стаж работы до 9 лет, половина – более 9 лет.
Несколько сложнее определяется медиана для интервального вариационного ряда (табл. 6.6).
Таблица 6.6
51
Выполнение месячного |
Число рабочих, чел. |
Накопленные частоты |
|
задания, % |
от начала ряда |
||
|
|||
95-100 |
3 |
3 |
|
100-105 |
16 |
19 |
|
105-110 |
8 |
27 |
|
110-115 |
7 |
34 |
|
115-120 |
6 |
40 |
Прежде находится медианный интервал, на который должно приходиться 50% накопленных частот данного ряда, что по условию задачи 40 : 2 = 20. Сумма частот первых двух интервалов равна 19, что меньше 20. Следовательно, медианный интервал будет находиться не во второй группе, а в третьей, т.е. в пределах границ 105-110.
Подставим соответствующие значения в формулу:
Me =105 +5 (40 ÷2) −19 =105,6% . 8
Таким образом, 50% всех рабочих выполняют производственное задание менее чем на 105,6%, 50% – более чем на 105,6%.
Модой в статистике называют наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности значение признака.
В дискретном вариационном ряде моду определяют по наибольшей частоте. В интервальном вариационном ряде мода определяется по формуле:
|
Mo = xo +i |
f 2−f 1 |
|
, |
где |
|
|
|
|
|
( f 2 − f 1) + ( f 2 − f 3) |
|
|
|
|
||||
x0 |
– нижняя граница модального интервала; |
|
|
|
|
|
|
|
|
f 2 |
– частота модального интервала; |
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1 |
и f 3 – частоты интервала, соответственно предшествующего и сле- |
||||||||
дующего за модальным. |
|
|
|
|
|
|
|
||
По следующим данным дискретного ряда распределения определим моду: |
|||||||||
Дневная выработка рабочего, шт. ………………….. |
10 |
12 |
15 |
20 |
25 |
30 |
|||
Число рабочих, имеющих данную выработку, чел… |
5 |
|
10 |
8 |
12 |
9 |
7 |
Просматривая частоты ряда (число рабочих), видим, что наибольшая частота – 12. Она соответствует дневной выработке 20 шт. Таким образом, мода показывает, что в данной совокупности наибольшее число рабочих имеют выработку 20 шт. деталей в день.
Несколько иначе определяется мода для интервального вариационного ряда. В качестве примера воспользуемся данными табл. 6.6.
Сначала найдем модальный интервал, на который должна приходиться наибольшая частота; по условию задачи это будет интервал 100-105, так как ему соответствует наибольшая частота – 16 чел. Подставив соответствующие значения в формулу, получим:
Mo =100 +5 |
16 −3 |
=103% . |
(16 −3) + (16 −8) |
Наибольшее число рабочих выполняют месячное задание на 103%.
52
Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выберем самый высокий прямоугольник, который является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяем с левым верхним углом последующегопрямоугольника. Източкипересеченияопускаемперпендикулярнаось абсцисс. Абсциссаточкипересеченияэтихпрямыхибудетмодойраспределения.
Медиана рассчитывается на кумуляте. Для ее определения из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.
Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно найти значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на десять, сто частей. Эти величины называются квартили, децили и перцентили.
Квартили представляют собой значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равные части. Различают квартиль нижний (Q1), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q3), отделяющий ¼ с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут по величине меньше Q1; 25% будут заключены между Q1 и Q2, 25% – между Q2 и Q3, а остальные 25% превосходят Q3. Средним квартилем Q2 является медиана.
Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:
|
|
|
|
|
1 |
∑ f |
− SQ1−1 |
|
|
3 |
∑ f − SQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−1 |
|||||
Q1 |
= |
xq1 |
+i |
4 |
; |
Q |
= x +i |
3 |
|
, где |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
f |
|
|
3 |
Q3 |
fQ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
xQ1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал
определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);
xQ3 – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интер-
вал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%); i – величина интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу,
содержащему нижний квартиль;
SQ3−1 – то же для верхнего квартиля;
fQ1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль; fQ3 – то же для верхнего квартиля.
Пример.
Таблица 6.7
Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 2000 г.
Группы семей по |
Число |
Накопленные |
Накопленные частоты, |
размеру дохода (руб.) |
семей |
частоты |
% к итогу |
53
до 500 |
600 |
600 |
6 |
|
500 |
- 600 |
700 |
1300 |
13 |
600 |
- 700 |
1700 |
3000 |
30 |
700 |
- 800 |
2500 |
5500 |
55 |
800 |
- 900 |
2200 |
7700 |
77 |
900 |
- 1000 |
1500 |
9200 |
92 |
Свыше 1000 |
800 |
10000 |
100 |
|
Итого |
10000 |
– |
– |
Нижний квартиль находится в интервале 600-700, накопленная частота которого равна 30%. Верхний квартиль лежит в интервале 800-900 с накопленной частотой 77%. Поэтому получаем:
|
|
1 |
10000 −1300 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Q = 600 |
+100 |
4 |
≈ 671 |
руб. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
1700 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
10000 −5500 |
|
|
||||
Q = 800 +100 |
4 |
|
≈ 891 руб. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
2200 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, 25% семей имеют среднедушевой доход менее 671 руб., 25% семей – свыше 891 руб., а остальные имеют доход в пределах 671-891 руб.
Контрольные вопросы
1.Какова экономическая сущность средней?
2.Какие формы средней рассчитываются в экономических исследованиях?
3.Какова методология расчета средней по данным интервального вариационного ряда?
4.Каковы экономический смысл и методология расчета структурных средних?
5.Какой интервал в интервальном вариационном ряде называется модальным, какой медианным?
54