- •3. Классическое определение вероятности события. Теорема умножения и её свойства.
- •8. Дисперсия дсв и ее св-ва. 3 на выбор доказать.
- •6. Определение интегральной функции распределения и доказательство ее св-в.
- •7. Доказать теоремы: «Формула полной вероятности», «Формула Байеса».
- •15. Простая и сложная статистическая гипотеза, ошибки 1и 2 рода
- •5. Математическое ожидание дсв и ее св-ва. 3св-ва доказать на выбор.
- •16. Поняття статистичної та кореляційної залежності. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості.
- •2. Определение дифференциальной функции распределения. Доказ-во свойств.
- •1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа. Её частные случаи.
- •11. Схема применения критерия Пирсона.
- •13. Точечные оценки выборки и требования к ним.
- •18. Выборочная дисперсия
- •17. Статистические гипотезы
- •12. Декомпозиция дисперсий. Коэффициент детерминаций.
- •4.Числовые характеристики биномиального распределения.
- •14. Критерий независимости двух дискретных св. Корреляционный момент. Коэффи-циент корреляции и его св-ва.
- •19. Выборочная средняя арифметическая
- •9. Определение нормального закона распределения. Вывести формулу для вероятности попадання значений нормально распределенной св з заданный промежуток. Следствие. Правило «три сигма».
- •1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа
9. Определение нормального закона распределения. Вывести формулу для вероятности попадання значений нормально распределенной св з заданный промежуток. Следствие. Правило «три сигма».
Нормальный закон распределения. Определение. СВ Х подчиняется нормальному закону распределения (НЗР), если ее дифференц. функция распределения имеет вид , где- параметры распределения и имеют след. вид: а=М(Х),.
Теорема. Математическое ожидание СВ X, распределённой по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а её дисперсия - квадрату параметра , т.е. М(Х)=а,.
Попадание в промежуток. Вероятность попадания нормально распределенной СВ Х в промежуток [x1;x2] находится по формуле: Р(x1≤X≤x2)=.
Доказательство.
Р(х1х2)=F(х2)-F(x1)=
Рассмотрим частный случай, когда точки х1=а-t, х2=а+tсиметричны относительно точки а. Найдем вероятность попадания СВ Х в промежуток (а-t; а+t).
Р(а-t≤Х≤а+t)==.
Неравенство а-t≤Х≤а+tэквивалентно неравенству≤t. Получили следующую формулу: Р(≤t)=
Обозначим t
Р(≤)=
Подложим в ф-лу t=1,2,3.
t=1, Р(≤)==0,6827;
t=2, Р(≤)==0,9545;
t=3, Р(≤)==0,9973.
Вероятность в последнем равенстве близка к 1, поэтому справедливо утверждение, называемое правилом «три сигма».
Следствие (правило «Три сигма»). Если СВ X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина её отклонения от М(Х) не превосходит утроенного, т.е. Р(≤)
Т.о., если СВ X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале [a-3σ; a+3σ]
Доказательство.
Р(≤)==2ф(3)=2*0,59865=0,9973
1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа
2. Определение дифференциальной функции распределения. Доказать свойства.
3. Классическое определение вероятности события. Св-ва вероятности. Теорема умножения и ее св-ва.
4. Выведение формул для математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, частости и относительной частоты в схеме независимых повторных испытаний.
5. Математическое ожидание ДСВ и ее св-ва. 3св-ва доказать на выбор.
6. Определение интегральной функции распределения и доказательство ее св-в.
7. Доказать теоремы: «Формула полной вероятности», «Формула Байеса».
8. Дисперсия ДСВ и ее св-ва. 3 на выбор доказать.
9. Определение нормального закона распределения. Вывести формулу для вероятности попадания значений нормально распределенной СВ в заданный промежуток. Следствие. Правило 3-сигма.
10. Доказать теорему: «Сумма вероятностей и следствия из нее»
11. Схема применения критерия Пирсона.
12. Декомпозиция дисперсии. Коэффициент детерминации.
13. Точечные оценки выборки и осн. требования к ним.
14. Критерий независимости двух дискретных и непрерывных СВ. Кореляционнный момент. Коэффициент корреляции и его св-ва.
15. Простые и сложные статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода.
16. Определение статистической и корреляционной зависимости. Как определяется сила корреляционной зависимости.
17. Статистические гипотезы.
18. Выборочная дисперсия.
19. Выборочная средняя арифметическая.
20. Выправляная дисперсия. Условие, которое они удовлетворяют.