Тема III. Предельное исчисление Последовательность. Предел последовательности

Определение 3.1.Если каждому натуральному числупоставить в соответствие по некоторому правилу вещественное число, то полученное множество пронумерованных вещественных чиселназываетсячисловой последовательностью. Числаназываются элементами последовательности, а число- общим (- м) членом последовательности.

Пример 3.1.а)- арифметическая прогрессия; б) -1, 1, -1, …,,… - геометрическая прогрессия; в) 1, 1/2, 1/3, …,,…; г) -1, 2, -3, …,, … .

Виды последовательностей

Определение 3.2.Последовательностьназывается ограниченной сверху (снизу), еслитакое, что.

Определение 3.3.Последовательностьназывается ограниченной, если(т.е.ограниченна и сверху, и снизу -). Последовательностьназывается неограниченной, если.

!Прочитать формулы словами!

Пример 3.2.Последовательность а) является ограниченной снизу (), последовательность б) – снизу и сверху (), последовательность в) – снизу и сверху (), последовательность г) – неограниченная.

Определение 3.4.Последовательностьназывается бесконечно большой, если

.

Замечание.Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Обратное, однако, неверно. Так, например, последовательность с общим членомнеограниченная, но не бесконечно большая.

Определение 3.5.Последовательностьназывается бесконечно малой, если

.

Пример 3.3.Последовательности а) и г) являются бесконечно большими, последовательность в) - бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема 3.1.Пустьи- бесконечно малые последовательности,- ограниченная последовательность. Тогда последовательности,итакже являются бесконечно малыми.

Доказательство.1) Пустьи- бесконечно малые последовательности, тогда

и.

Выберем , тогда

,

то есть последовательность является бесконечно малой.

2) Пусть и- бесконечно малые последовательности, тогда

и.

Выберем , тогда

,

то есть последовательность является бесконечно малой.

3) Пусть - бесконечно малая последовательность,- ограниченная. В силу последнего утверждения

.

Поскольку - бесконечно малая, то

.

Тогда

,

то есть последовательность является бесконечно малой.

Теорема 3.2(о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей).Если- бесконечно большая последовательность и все её члены отличны от нуля, то последовательностьявляется бесконечно малой.

Доказательство.Пусть- бесконечно большая последовательность. По определению. Тогда. Обозначими получим, что

,

то есть последовательность является бесконечно малой.

Сходящиеся последовательности и их свойства

Определение 3.6.Числоназывается пределом последовательности, если последовательностьявляется бесконечно малой. Обозначается

.

Последовательность, у которой есть предел, называется сходящейся.

Из определения предела и свойств бесконечно малых последовательностей вытекают

Теорема 3.3.Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание.Обратное утверждение не верно. Так, например, последовательность б) является ограниченной, но не является сходящейся.

Теорема 3.4.Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 3.5.Пустьи- сходящиеся последовательности с пределамиисоответственно. Тогда последовательности,,также являются сходящимися и,,.

Определение 3.7.Последовательностьназывается возрастающей (убывающей, неубывающей, невозрастающей), еслитаких, что, имеет место неравенство(,,). Общее название таких последовательностей – монотонные. Другими словами, последовательностьназывается монотонной, если последовательностьсохраняет знак.

Теорема 3.6.Монотонная ограниченная последовательность является сходящейся.