Выс_Математика_Контрольные
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНИХ ТА КОНТРОЛЬНИХ РОБIТ
З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
(для студентів 1 курсу денної форми навчання всіх спеціальностей)
Частина 1
Харків – ХНАМГ - 2009
Завдання для самостійних та контрольних робiт з вищої математики (для студентів 1 курсу денної форми навчання всіх спеціальностей). Частина 1 / Харк. нац. ак. міськ. госп., уклад.: А.О. Володченко, Г.А. Кузнецова, С.М. Ламтюгова – Х.:
ХНАМГ, 2009 –68 с.
Рецензент: к.ф.-м.н., доц. Л.Б. Коваленко
Рекомендовано кафедрою вищої математики протокол № 1
від 28.08.2009
2
ВСТУП
Пропоноване видання адресоване викладачам і студентам для проведення самостійних та контрольних робіт в аудиторії, підготовки до самостійних та контрольних робіт вдома.
Весь матеріал курсу поділено на теми. Кожна тема містить одну або декілька контрольних, кожна з яких має 10 варіантів. Самостійні і контрольні роботи пронумеровані у порядку зростання складності.
3
1. ВИЗНАЧНИКИ, МАТРИЦІ, СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Контрольна робота призначена для різнобічної перевірки знань за темою. Для написання студентами роботи за дві години викладач може вибрати 5 завдань (наприклад, завдання 1, 4, 5, пункти а), б) завдання 3).
1. Обчислити вказані вирази для заданих матриць A та
B .
2. Обчислити визначник:
а) розкладаючи його за елементами рядка; б) розкладаючи його за елементами стовпця; в) приводячи його до трикутного вигляду.
3.Розв’язати систему рівнянь: а) матричним методом; б) за формулами Крамера; в) методом Гауса.
4.Розв’язати однорідну систему рівнянь.
5.Розв’язати систему рівнянь.
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
3 5 |
4 |
|
|
1. A = 3 |
1 |
7 |
, B = − 3 0 |
1 |
; BA, 2 A + B . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
8 |
|
|
|
5 6 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
|
3 |
2 |
|
1 |
− 1 |
|
. |
|
|
|
|
1 |
1 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
4 |
− 4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
x1 − 4x2 − 2x3 = −7 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3x1 + x2 + x3 = −1 . |
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|||||||||||||||||
− 3x + 5x |
2 |
+ 6x |
3 |
= 14 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5x1 + x2 − 6x3 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. 4x1 + 3x2 − 7x3 = 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
− 2x |
2 |
+ x |
3 |
= 0 |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2x + y − z = 11 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+ 2 y |
− 4z = 15 . |
|
|
|
||||||||||||||
5. 3x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
+ 3y |
− 7z = 19 |
|
|
|
|
|||||||||||||
4x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
0 |
5 |
|
|||
1. A = |
|
3 |
1 0 |
|
, B = 4 |
− 1 |
− 2 |
; AB, B + 2 A . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
3 |
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
|
5 |
|
0 |
− 6 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
− 2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
− 1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
x1 + x2 − x3 = 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. 8x1 + 3x2 − 6x3 = 2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
− 4x − x |
2 |
|
+ 3x |
3 |
= −3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x1 − x2 + 3x3 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
− 3x2 |
|
+ 2x3 = 0 . |
|
|
|
|||||||||||||
4. x1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
+ 2x |
2 |
+ x |
3 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
2x + 3y − 5z = 4
5. 4x + 6 y − 10z = 8 .4x + 5 y − 7z = 6
Варіант 3
1.
2.
3.
4.
5.
|
|
|
|
2 |
3 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
|||||
|
|
A = |
1 3 |
|
− 1 |
, B = |
3 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
5 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
− 3 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
− 2 |
|
3 |
2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
− 1 |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
x1 − 2x2 + 3x3 = 6 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x3 = 20 . |
|
|||||||
2x1 + 3x2 |
|
|||||||||||||||
|
3x |
|
− 2x |
2 |
− 5x |
3 |
= 6 |
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x1 − 3x2 + 5x3 = 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
+ 2x2 − 3x3 = 0 . |
|
|
||||||||||||
x1 |
|
|
||||||||||||||
2x |
|
|
− x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 0 |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 y + 3z = 5
2x − 8 y + 6z = 10 .
2x − 6 y + 5z = 7
Варіант 4
− 1
2 ; BA, 3B + A .
|
3 |
1 |
2 |
0 |
− 1 2 |
|
||
1. |
A = − 1 |
0 |
2 |
, B = 2 |
1 |
1 |
; BA, 5B − A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
3 |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
− 1 |
|
1 |
|
|
− 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
− 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3x1 + 2x2 + x3 = 5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. 2x1 + 3x2 + x3 = 1 . |
|
|
||||||||||||||||
2x |
|
+ x |
2 |
+ 3x |
3 |
= 11 |
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3x1 + 4x2 − x3 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
− 5x2 + 2x3 = 0 . |
|
|
||||||||||||||
4. x1 |
|
|
||||||||||||||||
|
4x |
− x |
2 |
+ x |
3 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x + 2 y − 4z = 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
+ y − 5z = −1 . |
|
|
|
|||||||||||||
5. 2x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
− y − z = −2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 5 |
|
|
|||
|
|
|
8 |
|
5 − 1 |
4 − 7 |
− 6 |
|
||||||||||
1. A = |
1 5 3 |
|
, B |
= 3 2 |
− 1 |
; AB, 5B + A . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
0 1 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− 1 |
|
− 2 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
2 |
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
6 |
|
|
. |
|
|
|||
2 |
|
− 2 |
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
1 |
|
|
|
− 2 |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
||
2x1 + x2 + 3x3 = 7 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. 2x1 + 3x2 + x3 = 1 . |
|
|
||||||||||||||||
3x |
|
+ 2x |
2 |
+ x |
3 |
= 6 |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
4x1 − x2 + 5x3 = 0 |
||||||
|
|
|
− 3x2 |
+ 2x3 |
= 0 . |
||
4. |
2x1 |
||||||
|
2x |
+ 2x |
2 |
+ 3x |
3 |
= 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
2x − y + z = −2 |
|
|||||
5. |
|
+ 2 y + 3z = −1 . |
|||||
x |
x − 3y − 2z = 3
Варіант 6
|
2 |
6 |
1 |
4 |
|
1. |
A = 1 |
3 |
2 |
, B = − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
− 2 |
− 1 |
|
|
|
|
||||||
2. |
|
− 2 |
1 |
− 4 |
3 |
|
. |
|
0 |
4 |
1 |
− 2 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
0 |
1 |
− 1 |
|
|
|
3x1 + 4x2 + 2x3 = 8 |
|||||||
|
|
|
− x2 − 3x3 = −4 . |
|||||
3. |
2x1 |
|||||||
|
|
x |
+ 5x |
2 |
+ x |
3 |
= 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
x1 − 8x2 + 7x3 = 0 |
|||||||
4. |
3x |
+ 5x |
2 |
− 4x |
3 |
= 0 . |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
4x |
− 3x |
2 |
+ 3x |
3 |
= 0 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
3x − y + 2z = 5 |
|||||||
5. |
|
2x − y − z = 2 . |
||||||
|
4x − 2 y − 2z = −3
− 3 |
2 |
|
|
0 |
5 |
|
; AB, 3B − 2 A . |
|
|
|
|
2 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
8
Варіант 7
|
|
|
|
− 6 |
|
1 |
11 |
3 |
||||||||
1. A = |
|
9 |
|
|
2 5 |
, B |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
7 |
|
1 |
||||
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
|
2 |
|
|
|
− 3 |
|
1 |
1 |
|
|
. |
|
|||
|
3 |
|
|
|
− 1 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
||
|
x1 + x2 + 2x3 = −1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x3 = −4 . |
|||||||||
3. 2x1 − x2 |
||||||||||||||||
|
4x |
|
+ x |
2 |
+ 4x |
3 |
|
|
|
= −2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7x1 − 6x2 − x3 = 0 |
|
||||||||||||||
4. |
3x |
|
− 3x |
2 |
+ 4x |
3 |
= 0 . |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4x |
|
− 3x |
2 |
− 5x |
3 |
= 0 |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2x + 3y − z = 3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
+ 6 y |
− 2z = 6 . |
|
|||||||||||
5. 4x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
− y + 2z = −1 |
|
||||||||||||
|
3x |
|
0 |
1 |
|
2 |
7 |
; AB, 2 A − B . |
− 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 8 |
|
|
|
|
6 |
9 |
4 |
1 |
1 |
1 |
|
1. |
A = − 1 |
− 1 1 |
, B = 3 4 |
3 |
; BA, 3B + A . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 |
7 |
0 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
− 1 |
− 2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|||||
2. |
2 |
0 |
1 |
− 1 |
|
. |
3 |
− 3 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
||||
|
4 |
2 |
1 |
− 2 |
|
|
x1 + 5x2 − x3 = 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. 2x1 + 4x2 − 3x3 = 2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
3x |
|
|
− x |
2 |
|
− 3x |
3 |
|
= −7 |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2x1 + 2x2 − x3 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
4. 5x |
|
|
+ 4x |
2 |
− 6x |
3 |
= 0 . |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3x |
|
|
+ 2x |
2 |
− 5x |
3 |
= 0 |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x + 2 y + z = 8 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x − 3y − z = 1 . |
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3x + 13y + 5z = 13 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
3 5 |
4 |
|
|||||
1. A = |
|
4 |
|
|
5 4 |
, B = − 3 0 |
1 |
; BA, 2 A + B . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
5 6 |
− 4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
− 2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
− 5 |
|
|
− 1 |
. |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
− 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
− 4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2x1 − 4x2 + 3x3 = 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
− 2x2 + 4x3 = 3 . |
|
|
|
|||||||||||||||
3. x1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3x |
|
− x |
2 |
+ 5x |
3 |
= 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10