Общие теоремы динамики.

Дифференциальные уравнения движения системы.

Применяем второй (основной) закон динамики, получим

(2)

Аналогичного вида уравнения получим для любой точки системы, т.е. всего для рассматриваемой системы будет иметь nтаких уравнений (k= 1, 2….n). Эта система уравнений представляет собойдифференциальные уравнения движения механической системы в векторной форме.

Проектируя равенства (2) на какие-нибудь координатные оси, получим систему дифференциальных уравнений движения системы в проекциях на эти оси.

В результате интегрирования системы дифференциальных уравнений ( что очень сложно) получить законы движений каждой точки системы. Гораздо удобнее определять некоторые сумарные характеристики движения всей системы в целом, а по ним, если требуется, найти и соответствующие параметры движения отжельных точек системы.

Такими характеристиками являются меры движения системы: количество движения, момент количества движения, кинетическая инергия.

Приче м каждая из этих мер для системы определяется как сумма соответствующих мер движения всех ее точек.

Соответственно и воздействия на систему рассматриваются суммарно ( главный вектор и главный момент приложенных к системе сил, суммы работ и т.п.).

Зависсимость между мерами движения системы и мерами воздействия на нее выражают общие теоремы системы материальных точек.

Общие теоремы динамики системы являются следствиями системы уравнений (2).

2) Масса системы. Центр масс.

Механическая система – это система материальных точек, каждая из которых имеет определенную массу и занимает в данный момент времени определенное положение в пространстве.

Для удобства решения задач динамики механические системы желательно некоторые обобщенные (т.е. суммарные ) характеристики, которые бы отражали и массу системы, и ее «геометрию масс», т.е. расположение в пространстве материальных точек системы.

Масса системы М равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:

Центром масс механической системы называют геометрическую точку С, радиус вектор которой

(1)

где радиус- вектор точек, образующих систему.

- массы точек механической системы

М – масса системы.

Центр масс системы явл не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Теорема о движении центра масс механической системы.

Теорема: Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

(3)

Где - ускорение центра масс.

- главный вектор внешних сил.

Проецируя обе части уравнения на координатные оси, получим:

где ,,- координаты центра масс.

Из теоремы о движения центра масс можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения центра масс механической системы.

Если геометрическая система всех внешних сил, действующих на систему, равна 0 () то это значит , чтоили, т.е. центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (иначе, равномерно и прямолинейно). В частном случае, если вначале центр масс был в покое () то он и останется в покое т.е ().

Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось Х равна 0 , тоилит.е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частном случае , если в начальный момент, то и в любой последующий момент времени это значение сохранится , а следовательно координатацентра масс системы не изменится т.е.=const.

Теоремы об изменении количества движения точки и системы

Определение: количеством движения материальной точки называется векторная величина ,равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Векторприложен к движущейся точке.

Определение: Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы.

(4)

Вектор является свободным вектором. Как правило скорости всех точек системы различны и поэтому непосредственное суммирование векторов в правой части равенства является затруднительным.

Воспользуемся формулой для определения центра масс механической системы (1)

Или запишем в виде

дифференциируя обе части выражения по времени получим:

или

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5) получим , что количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

(6)

Вектор является обобщенной векторной характеристикой движения всей механической системы. В общем случае движение системы ее количество движения можно рассматривать как характеристику поступательной части движения системы вместе с центром масс. Если при движении системы (тела) центр масс неподвижен, то количество движения будет равно 0. Например количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.

Запишем второй закон динамики для материальной точки: учитывая чтополучим(7)

В каждый момент времени производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

Если обе части равенства (7) умножить на dt, то получимвекторная величина, стоящая в правой части этого равенства, характеризует действие, оказываемое на тело силой за элементарный промежуток времениdt эту величинуназывают элементарным импульсом силы, т.е.

(8)

Импульс силыза конечный промежуток времениt₂ – t₁ равен

(10)

Уравнение (10) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечной интегральной форме:

Теорема: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на точку силы ( или равнодействующей всех приложенных к ней сил)за тот же промежуток времени.

При решении задач пользуются уравнениями этой теоремы в проекциях на координатные оси.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из nматериальных точек. Тогда для каждой точки можно применить теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме:

( k= 1, 2….n).

Суммируя эти равенства, получим

т.к. по свойству внутренних сил

то получим:

(11)

Уравнение (11) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Теорема:Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме действующих на систему внешних сил.

В проекциях на координатные оси:

; ;

Умножая обе части равенства (11) на dtи интегрируя, получим:

(12)

Уравнение (12) выражает теорему об зменении количества движения системы в интегральной форме:

Теорема: изменение количества движения системы за какое-либо время равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время.

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения количества движения системы.

1. Если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна 0 (), то значит, что при этом, т.е. вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.

2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-либо ось равна 0, то значит .