• Соединение проводников

  Последовательное	Параллельное
  Общее сопротивление: (63) Общий ток: (64) Общее напряжение: (65)	Общая емкость: (66) Общий ток: (67) Общее напряжение: (68)

• Соединение источников тока

  Последовательное	Параллельное
  Общая ЭДС: (69) Общее сопротивление источников: (70)	Общая ЭДС: (71) Общее сопротивление источников: (72)
  Примечание: в формулах для вычисления общей ЭДС берется знак «+» если расположение полюсов источника совпадает с расположением полюсов результирующего источника. Рассмотрим на примере последовательного соединения:

• Правила Кирхгофа

1)Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

(73)

2)В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма напряжений (произведений сил токов на сопротивления) на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил в этом контуре:

(74)

Примечание: при использовании второго правила необходимо задаться некоторым направлением обхода контура. Если токи I_i совпадают с выбранным направлением обхода, то они берутся со знаком «+» в левой части (74). ЭДС в правой части считаются положительными, если они создают токи, направленные в сторону обхода контура.

• Мощность тока

(75)

• Закон Джоуля – Ленца

(76) (в цепи постоянного тока)

(77) (в цепи переменного тока)

где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время . Закон Джоуля – Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения.

Магнитное поле

• Закон Био – Савара – Лапласа

(78) где - магнитная индукция поля, создаваемая элементом проводника с током;  - магнитная проницаемость; 0 – магнитная постоянная (0=410-7 Гн/м); - вектор, равный по модулю длине элемента проводника dl и совпадающий по направлению с током; I – сила тока; - радиус – вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция. Модуль вектора выражается формулой: (79)

Магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля:

(80)

• Частные случаи закона Био – Савара – Лапласа

Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

(81)

где R – радиус кривизны проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током

(82)

где r – расстояние от оси проводника.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника: (83) При симметричном расположении концов проводника, относительно точки, в которой определяется магнитная индукция: (84)

Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси):

(85)

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I – сила тока в одном витке.

• Принцип суперпозиции магнитных полей

магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, т.е.

(86)

В частном случае при наложении двух полей:

(87)

или по модулю:

(88)

где  - угол между векторами и

• Сила Лоренца

Так называется сила, действующая на электрический заряд q, движущийся в магнитном поле с индукцией со скоростью :

(89)

или по модулю:

(90)

где  - угол между вектором скорости движущейся частицы и вектором .

• Сила Ампера

Так называется сила, действующая на проводник с током I, помещенный в магнитное поле с индукцией .

(91)

где - вектор, равный по модулю длине проводника и совпадающий по направлению с током.

Модуль силы Ампера:

• Взаимодействие проводников с током

Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных проводников с токами I₁ и I₂, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l, выражается формулой:

(92)

• Магнитный момент контура с током

(93)

где - вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

• Механический момент

На контур с током в однородном магнитном поле действует механический момент (созданный силами ампера):

(94)

модуль механического момента:

(95)

• Магнитный поток

Поток вектора магнитной индукции магнитного поля через плоский контур, площадью S:

а) в случае однородного поля:

(96)

где - вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости;  - угол между векторами и .

б) в случае неоднородного поля:

(97)

• Индуктивность

Ток I, протекающий по замкнутому контуру, создает вокруг себя магнитное поле. Поток этого поля , пронизывающий контур, связан с силой тока I в контуре соотношением:

(98)

величина L в этом выражении называется индуктивностью контура.

Индуктивность соленоида (тороида):

(99)

где V – объем соленоида

(100)

• Закон электромагнитной индукции

(101)

ЭДС самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем:

(102)

Примеры решения задач

Задача 1

Три точечных зарядаQ₁, Q₂, Q₃ образуют электрически нейтральную систему, причем Q₁ = Q₂ =10 нКл. Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника. Определить максимальные значения напряженности E_max и потенциала _max поля, создаваемого этой системой зарядов, на расстоянии r = 1 м от центра треугольника, длина a стороны которого равна 10 см.

Решение. Нейтральную систему, состоящую из трех точечных зарядов, можно представить в виде точечного диполя. Действительно, «центр тяжести» зарядов Q₁и Q₂ лежит на середине отрезка прямой (точка B), соединяющей эти заряды (рис.1). В этой точке можно считать сосредоточенным заряд Q = Q₁ + Q₂ = 2Q₁. А так как система зарядов нейтральная (Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0), то

Q₃ = - (Q₁ + Q₂) = - Q. (1)

Таким образом, данная система из трех зарядов представляет собой точечный диполь (диполь считаем точечным, так как l << r см. рис. 2) с электрическим моментом

, (2)

где – плечо диполя, равное по модулю (по теореме Пифагора см. рис.1). Поскольку |Q| = 2Q₁, то электрический момент такого точечного диполя

. (3)

Напряженность E и потенциал φ поля точечного диполя выражаются формулами

, (4)

, (5)

где α – угол между векторами и .

Напряженность и потенциал будут иметь максимальные значения при α = 0, следовательно, формулы (4) и (5) будут иметь вид:

, . (6)

Подставим в (6) формулу (3) и получим окончательно:

, . (7)

Подставим численные значения и найдем:

E_max = 3,12 В/м, _max = 1,56 В.

Ответ: E_max = 3,12 В/м, _max = 1,56 В.

Задача 2

Определить электрическую емкость C плоского конденсатора с двумя слоями диэлектриков (см. рис.1): фарфора толщиной d₁ = 2 мм и эбонита толщиной d₂ = 1,5 мм если площадь S пластин равна 100 см².

Решение. Емкость конденсатора, по определению,

, (1)

где q – заряд на пластинах конденсатора; U – разность потенциалов пластин.

Конденсатор с двумя слоями диэлектриков можно представить как два последовательно соединенных конденсатора с разными диэлектрическими слоями (см. рис.2). Тогда общую

разность потенциалов U в данном случае (последовательное соединение) заменим суммой U₁ + U₂ напряжений на слоях диэлектриков.

. (2)

Примем во внимание, что

, и , равенство (2) перепишем в виде:

, (3)

где σ – поверхностная плотность зарядов на пластинах; E₁ и E₂ – напряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика соответственно; D – смещение поля в диэлектриках.

Умножим числитель и знаменатель равенства (3) на ε₀ и учтем, что D = σ, окончательно получим

. (4)

Подставив численные значения в формулу (4) найдем

C = 98,3 пФ.

Ответ: C = 98,3 пФ.

Задача 3

Конденсатор электроемкостью C₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором электроемкостью C₂ = 5 мкФ. Определить энергию ΔW, израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна

ΔW = W₁ – W₂, (1)

где W₁ – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W₂ – энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле:

. (2)

Принимая во внимание, что общая электроемкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где C₁ и C ₂ – электроемкости первого и второго конденсаторов; U₁ – разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор; U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

. (4)

Подставляя (4) в (3) получим

.

После простых преобразований найдем

. (5)

Подставив численные значения в формулу (5) получим

ΔW = 1,5 мДж.

Ответ: ΔW = 1,5 мДж.

Задача 4

Потенциометр с сопротивлением R = 100 Ом подключен к источнику тока, э. д. с. ε которого равна 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом (см. рисунок). Определить показания вольтметра с сопротивлением R_в = 500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра подвижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?

Решение. Показания U₁ вольтметра, подключенного к точкам A и B (см. рисунок), определяются по формуле

(1)

где I₁ – сила тока в неразветвленной части цепи; R₁ – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I₁ найдем по закону Ома для всей цепи:

(2)

где R – сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:

R = R/2 +R₁. (3)

Сопротивление R₁ параллельного соединения может быть найдено по формуле

,

Откуда

. (4)

Подставив в выражение (4) числовые значения величин и произведя вычисления, найдем

R₁ = 45,5 Ом.

Подставив в выражение (2) правую часть выражения (3), определим силу тока

.

Если подставить значения I₁ и R₁ в формулу (1), то найдем показания вольтметра:

U₁ = 46,9 В.

Разность потенциалов между точками A и B при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра, т.е.

,

или

. (5)

Подставив численные значения в (5) величин ε, R, r, получим

U₂ = 50 В.

Ответ: U₁ = 46,9 В,

U₂ = 50 В.

Задача 5

Определить скорость u, с которой растет слой никеля на плоской поверхности металла при электролизе, если плотность тока j, протекающего через электролит, равна 30 А/м. Никель считать двухвалентным.

Решение.Для решения задачи воспользуемся объединенным законом Фарадея:

(1)

Будем считать, что электролитическое осаждение никеля идет равномерно по всей поверхности металла. Тогда массу m выделившегося за время t никеля можно выразить через плотность ρ, площадь S поверхности металла и толщину h слоя никеля:

(2)

Силу тока I выразим через плотность тока и площадь поверхности металла:

I = j^.S. (3)

Подставив в формулу (1) выражение для массы (2) и силы тока (3), получим

(4)

При неизменной плотности тока нарастание слоя никеля будет происходить с постоянной скоростью u, определяемой отношением толщины слоя, наращенного за некоторый интервал времени, к этому интервалу (u = h/t). Тогда из формулы (4) следует

(5)

Выпишем значения величин, выразив их в единицах СИ:

F = 9,65 ^. 10⁴ Кл/моль, M = 58,7 ^. 10^-3 кг/моль, Z = 2, j = 30 А/м² , ρ = 8,8 ^. 10³ кг/м³.

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вычисления:

Ответ: u = 1,04 ^. 10^-9 м/с.

Задача 6

Определить магнитную индукциюполя, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r₀ = 20 см от середины его. Сила тока I, текущего по проводу, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

. (1)

Преобразуем выражение (1) так, чтобы можно было интегрировать по углу α. Выразим длину элемента dl проводника через dα. Согласно рисунку, запишем

. (2)

Подставим (2) в (1):

. (3)

r – величина переменная, зависящая от α и равная

. (4)

Подставив (4) в (3) найдем:

. (5)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (5) в пределах от α₁ до α₂:

, или

. (6)

Заметим, что при симметричном расположении точки A относительно отрезка провода cos α₂ = - cos α₁. С учетом этого формула (6) примет вид:

. (7)

Из рисунка следует

. (8)

Подставив (8) в (7) получим окончательную формулу:

. (9)

Подставим числовые значения в формулу (9) и произведем вычисления:

.

Ответ: B = 24,9 мкТл.

Задача 7

По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии r = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи I = 10 А каждый. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводами, для случаев:

1. провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис.1);

2. провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис.2);

3. провода перпендикулярны, направление токов указано на рис.3.

Решение. Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: ,

где – индукция поля, создаваемого током I₁; - индукция поля, создаваемого током I₂.

Если и направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

B = B₁ + B₂. (1)

При этом слагаемые B₁ и B₂ должны быть взяты с соответствующими знаками.

В данной задаче во всех трех случаях модули индукций B₁ и B₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от проводов, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле:

. (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули B₁ и B₂:

B₁ = B₂ = 80 мкТл.

1). Векторы и направлены по одной прямой в разные стороны (рис.1); следовательно, результирующая индукция определяется по формуле (1). Приняв положение вверх положительным, вниз – отрицательным, запишем:

B₁ = -80 мкТл, B₂ = 80 мкТл.

Подставив эти значения B₁ и B₂ в формулу (1), получим:

B = B₁ + B₂ = 0.

2). Векторы и направлены по одной прямой в одну сторону (рис.2). Поэтому можем записать:

B₁ = B₂ = -80 мкТл.

Подставив эти значения B₁ и B₂ в формулу (1), получим:

B = B₁ + B₂ = -160 мкТл.

3). Векторы индукций магнитных полей, создаваемых точками в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис.3). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадрата, построенного на векторах и . По теореме Пифагора найдем:

. (3)

Подставив в формулу (3) значения модулей B₁ и B₂ и вычислив, получим:

В= 113 мкТл.

Ответ: 1) B = 0.

2) B = -160 мкТл.

3) B = 113 мкТл.

Задача 8

Электрон, имея скорость V = 2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B = 30 мТл под углом α = 30º к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции и скорости частицы:

, (1)

где q – заряд частицы.

В случае если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде:

.

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости, то модуль скорости будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), остается постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, равной поперечной составляющей V_┴ скорости (см. рисунок); одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью V_║:

V_┴=V sinα,V_║=V cos α.(2)

В результате одновременного участия в движениях по окружности и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем следующим образом. Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение a_n. По второму закону Ньютона,

F = m^.a_n,

где F = |e|V_┴ B, и a_n = V²_┴/R. Тогда

,

Откуда после сокращения на V_ находим радиус винтовой линии:

или (3)

Подставив значения величин m, V, B, e и α и произведя вычисления, получим

R = 0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью V_║ за время, которое понадобилось электрону для того, чтобы совершить один оборот,

, (4)

где T = 2π^.R/V_┴ - период вращения электрона. Подставим это выражение периода вращения в формулу (4), найдем

. (5)

Подставим в (5) значения величин R, π и α и вычислив, получим

h = 2,06 мм.

Ответ: R = 0,19 мм,

h = 2,06 мм.

Задача 9

Виток, по которому течет ток I = 20 А, свободно установится в однородном магнитном поле B = 16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно повернуть виток на угол α = π/2 относительно оси, совпадающей с диаметром?

Решение.При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выражением

A = I^.(Ф₂ – Ф₁),

где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т.е.

A_вн = I^.(Ф₂ – Ф₁). (1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующих на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента контура сонаправлен с вектором (рис.1) и магнитный поток Ф₁ максимален (α = 0, cos α = 1), т.е.

Ф₁ = BS (где S – площадь контура). (2)

В конечном положении (рис.2) вектор перпендикулярен вектору (α = π/2, cos α = 0) и магнитный поток Ф₂ = 0. (3)

Перепишем выражение (1) с учетом (2) и (3):

A_вн = I^. Ф₁ = IBS. (4)

Площадь контура равна S = πd²/4, тогда работа

A_вн = IB πd²/4. (5)

Подставим численные значения в (5) и произведем вычисления:

.

Ответ: A_вн = 2,5 мДж.