5.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.Достроить плоский пятиугольник (рис.5.10).

Рис.5.10

Задача 2.Достроить недостающую проекцию прямой а, лежащей в плоскостях:(c||d) (рис.45.11).

Рис.5.11

Задача 3.Достроить точку А, принадлежащую плоскостям:

а) (ac); б)(c||d) (рис.4.12).

а) б)

Рис.5.12

Задача 4.В плоскости(АВС) провести горизонталь и фронталь.

Рис.5.13

Задача 5.Построить линии пересечения двух плоскостей (рис.4.14).

Рис.5.14

6. Взаимное положение прямой и плоскости.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

6.1. Основные теоретические положения

Прямая может лежать в плоскости, пересекаться с плоско­стью и быть параллельна плоскости.

Если прямая параллельна проецирующей плоскости, то на эпюре будут параллельны одноименные проекции прямой и следа плоскости.

Если прямая параллельна плоскости общего положения, то она должна быть параллельна какой-либо прямой в этой плоско­сти.

Точка пересечения прямой и проецирующей плоскости на эпюре определяется как точка пересечения одноименных проек­ций и следа плоскости.

Точка пересечения прямой и плоскости общего положения определяется с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей в следующем порядке:

а) через прямую нужно провести вспомогательную проеци­рующую плоскость;

б) построить линию пересечения вспомогательной плоско­сти с заданной;

в) точка пересечения заданной прямой и построенной ли­нии и будет искомой.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, например, главным линиям плоскости, горизонтали h и фронтали f . Тогда проекции прямой l(l₁,l₂), перпендикулярной плоскости, будут перпендикулярны соответствующим проекциям главных ли­ний плоскости: l₁h₁, l₂f_2.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них можно провести прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной второй прямой.

6.2. Примеры решения задач

Задача 1. Найти точку пересечения прямой m(rn₁, m₂) с плоскостью треугольника АВС {рис.6.1 ). Определить види­мость, прямой относительно заданной плоскости.

Дано: Решение:

Рис.6.1

Через прямую m строится вспомогатель­ная фронтально-проецирующая плоскость (₂) (можно взять и горизонтально-проецирующую плоскость). В этом случае след на эпюре будет совмещен с проекцией прямой m₂. Далее строится линия пересечения 1 2=, положение которой опре­делится точками 1 и 2, полученными от пересечения следа ₂, со сто­ронами треугольника. Точка пересе­чения построенной линии с задан­ной прямой К=12m и будет искомой точкой встречи. Для определе­ния видимости выбирается по паре конкурирующих точек на каждой про­екции чертежа, например, точки 1, 3 конкурируют относительно ₂ . Точка 1 (точка, принадлежащая плоскости) ближе к нам, так как даль­ше удалена от ₂ , поэтому она и с ней отрезок АС (1АС ) зак­рывают прямую m, часть которой 3 К будет невидима на фронтальной проекции. В точке пересечения прямой и плоскости видимость сменится и после точки К₂ на фронтальной проекции прямая будет видима. Аналогично определяют видимость прямой и плоскости относительно ₁, используя, например, конку­рирующие точки 4-5.

Задача 2. Построить перпендикуляр к плоскости (с||d) длиной 30 мм (рис.6.2).

Дано: Решение:

Рис.6.2

Для восстановления перпендикуляра к плоскости нужно построить главные линии плоскости - горизонталь h(h₁,h₂) и фронталь f(f₁,f₂).

Перпендикуляр l к пло­скости можно восстанавливать из лю­бой ее точки, например, из точки К(К₁К₂) - точки пересечения горизонтали и фронтали К=hf при этом, l₁h₁ и l₂h₂.

Для того, чтобы отложить на отрезке l заданную длину 30 мм, первоначально задаются произвольной отрезком К5 (точка 5 выбирается произвольно на перпендикуляре l), определяют его натуральную величину помощью треугольника K₁5₁5₀ . После этого от точки К₁ вдоль К₁5₀ откладывают заданную длину перпендикуляра и отыскивают проекцию L₁. С помощью линий проекционной связи отыскивают вторую проекцию точки L₂: l(K₁L₁, K₂L₂) .

Задача 3. Определить расстояние от точки А до плоскости (a||b) (рис.6.3).

Дано: Решение:

Рис.6.3.

Задача решается в три этапа:

1. из точки А задать направление перпендикуляра к плоскости с помощью главных линий плоскости;

2. найти точку пересечения перпендикуляра и плоскости (пример1).

3. с помощью прямоугольного треугольника определяем истинную величину отрезка перпендикуляра между заданной плоскостью и точкой встречи перпендикуляра и плоскости. Истинная величина этого отрезка – искомое расстояние между точкой и плоскостью.

Задача 4. Через точку р(р₁Р₂) m(m₁,m₂) построить плоскость, перпендикулярную прямой m (рис.6.4).

Дано: Решение:

Рис..6.4.

Через точку Р нуж­ но провести фронталь f и горизонталь h так, чтобы h₁m₁, h₂m₂. В этом случае прямая m будет перпендикулярна плоскости, заданной пересекающимися главными линиями m (hf).