- •Вища математика для економістів Аналітична геометрія на площині
- •В55 Вища математика для економістів. Аналітична геометрія на площині: Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи / Уклад.: в.М. Долгіх, о.М. Назаренко. Суми: уабс нбу, 2006. 44 с.
- •1. Системи координат на площині
- •1.1. Декартова прямокутна система координат
- •1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •3. Алгебраїчні лінії першого порядку. Пряма на площині
- •3.1. Рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Загальне рівняння прямої
- •3.2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданому вектору
- •3.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •3.4. Рівняння прямої у відрізках на осях
- •3.5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •3.6. Кут між двома прямими
- •Питання для самоперевірки
- •Задачі для розв’язування
- •4. Алгебраїчні лінії другого порядку на площині
- •4.1. Основні поняття
- •4.2. Деякі задачі, що приводять до кривих другого порядку
- •4.3. Криві другого порядку. Узагальнення
- •4.5. Гіпербола
- •4.6. Парабола
- •4.7. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярній системі координат
- •4.8. Конічні перерізи
- •Питання для самоперевірки
- •Задачі для розв’язування
- •Завдання для самостійної роботи і. Розв’язати задачу і зробити креслення:
- •Іі. Розв’язати задачу і зробити креслення:
- •Ііі. Крива другого порядку задана рівнянням у полярній системі координат:
- •Список рекомендованої літератури
3. Алгебраїчні лінії першого порядку. Пряма на площині
Пряма на площині фіксується, якщо відомі:
точка на прямій і вектор, перпендикулярний до прямої;
точка на прямій і вектор, паралельний прямій;
точка на прямій і кутовий коефіцієнт прямої;
дві точки на прямій.
3.1. Рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Загальне рівняння прямої
Нехай пряма проходить через задану точку М0(х0;у0) перпендикулярно до заданого вектора нормалі(рис. 13). Виберемо на прямій змінну точкуМ(х,у) і запишемо умову перпендикулярності векторіві:
. (13)
Рис. 13 Рис. 14
Скалярний добуток (13) у координатній формі має вигляд
А(хх0) +B(yу0) = 0. (14)
Рівняння (14) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку М0(х0;у0) перпендикулярно до заданого вектора.
Окремі випадки рівняння (14):
при x0=y0= 0 маємо рівняння прямої, яка проходить через початок координат:
Ах +Ву = 0; (15)
при B = 0,A 0 одержуємо рівняннявертикальноїпрямої:х = х0;
при A = 0,B 0 одержуємо рівняннягоризонтальноїпрямої:y = y0.
З рівняння (14) одержимо загальне рівнянняпрямої
Ах + Ву + D= 0. (16)
З (16) і (11) випливає, що всяка пряма є алгебраїчною лінією першого порядку.
3.2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданому вектору
Нехай пряма проходить через задану точку М0(х0;у0) паралельно заданому вектору. Виберемо на прямій змінну точкуМ(х;у). Запишемо умову паралельності векторіві(рис. 14):
. (17)
Рівняння (17) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку М0(х0;у0) паралельно заданому вектору.
3.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
Нехай на прямій задані дві фіксовані точки М1(х1; у1), M2(х2; у2). Виберемо на прямій змінну точку М(х; у) і запишемо умову колінеарності векторів = (x x1; y y1) і = (x2 x1; y2 y1) (рис. 15):
(18)
рівняння прямої, що проходить через дві задані точки М1(х1;у1),M2(х2;у2).
Рис. 15 Рис. 16
3.4. Рівняння прямої у відрізках на осях
Нехай пряма відтинає на координатних осях Ox, Oy відрізкиa,b, що не дорівнюють нулю (рис. 16). Підставляючи в рівняння (18) координати точок перетину прямої з осямиМ1(a; 0),M2(0;b), одержуємо рівняння прямої у відрізках на осях:
. (19)
3.5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Нехай пряма проходить через задану точку М0(х0;у0) і складає з віссюОхкут/2 (рис. 17). Виберемо на прямій змінну точкуМ(х;у) і запишемо співвідношення:
. (20)
Число kназиваєтьсякутовим коефіцієнтом прямої.
Рис. 17
З формули (20) одержуємо рівняння прямої, що проходить через задану точку М0(х0;у0) і має заданий кутовий коефіцієнтk:
(21)
З рівняння (21) при x0= 0 одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
(22)
де b=y0– відрізок, що відтинається прямою на осіОу(рис. 17).
Зауваження. Загальне рівняння прямої (16), а також рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (22) є “стандартними” формами запису рівнянь прямої, в яких вона задається або до яких зводяться інші рівняння прямої у процесі розв’язання задач.
3.6. Кут між двома прямими
прямі задані загальними рівняннями
(23)
Косинус гострого кутаміж прямими:
(24)
прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом
(25)
Тангенс кута між прямими (рис. 18):
(26)
Рис. 18
3.7. Умови паралельності й перпендикулярності двох прямих
Умови паралельності прямих, заданих рівняннями (23), (25):
. (27)
Умови перпендикулярності двох прямих:
. (28)
3.8. Нормальне рівняння прямої
Нехай p– відстань від початку координат до прямої. Уведемо одиничний вектор нормалі= (cosα; sin) і змінну точку прямоїМ(x;y). Тоді проекція векторана напрям вектора нормалідорівнює відстанір(рис. 19):
Рис. 19
З останньої рівності одержуємо нормальне рівняння прямої:
(29)
Ознаки нормального рівняння:
вільний член від’ємний або дорівнює нулю;
коефіцієнти при x,yпо абсолютній величині не перевищують 1;
сума квадратів коефіцієнтів при x,yдорівнює 1.
Зведення загального рівняння прямої до нормального вигляду
Зведемо до нормального вигляду загальне рівняння прямої
Ах+Ву+D= 0. (30)
Для цього помножимо його на нормуючий множник μ≠ 0, який підберемо з умов:
(31)
Знак μ вибираємо протилежним знаку вільного члена D:
(32)
Нормальне рівняння:
. (33)
3.9. Відстань від точки до прямої
Знайдемо відстань від точки K(x1;y1) до прямої (рис. 20). Для цього обчислимо різницю:
(34)
Рис. 20
Відхилення точки від прямої:
(35)
Якщо точка й початок координат знаходяться з одного боку від прямої, то d< 0, а якщо з різних – тоd> 0.
Відстань від точки K(x1;y1) до прямої:
пряма задана нормальним рівнянням (29)
(36)
пряма задана загальним рівнянням (16)
. (37)
Приклад 6.Знайти відхилення і відстань від точкиМ0(1; 2) до прямої
2x3y5 = 0.
Розв’язання. Зведемо рівняння прямої до нормального вигляду. Для цього поділимо рівняння на:
Відхилення точки М0(1; 2) від прямої:
Оскільки d< 0точкаМ0(1; 2) і початок координат знаходяться з одного боку від прямої.
Відстань від точки М0(1; 2) до прямої:
Приклад 7.Скласти рівняння прямої, що проходить через точкиM1(2; 3) іM2(3; 5).
Розв’язання.Скористаємося формулою (18):
,, 2(x2) =5(y3);
2x+ 5y19 = 0загальне рівняння прямої. Вектор нормалі= = (2; 5);
рівняння прямої у відрізках на осях(a= 19/2;b==19/5);
рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом(k=2/5;b= 19/5).
Приклад 8.Скласти рівняння прямої, що проходить через точкуперпендикулярно до прямоїx+ 2y+ 3 = 0.
Розв’язання.1-й спосіб. Дану пряму представимо у вигляді:(). Рівняння шуканої прямої є:. З умови перпендикулярності прямих маємоk1k2=1k2 = 2. Звідсиy+ 3 = 2(x2)2xy7 = 0.
2-й спосіб. Вектор нормалі до даної прямоїпаралельний шуканій прямій. Рівняння прямої, що проходить через точкупаралельно векторумає вигляд:
Приклад 9.Дані вершини трикутникаA(1; 0),B(5; 4),C(1; 3). Скласти рівняння сторін трикутника, медіани й висоти, проведених із вершиниA.
Розв’язання.
а) рівняння сторін знайдемо як рівняння прямих, що проходять через дві точки:
AB: , x1 =y,xy 1 = 0;
BC: ,x5 = 6(y4),x6y+19 = 0;
CA: ,3(x+ 1) = 2(y3), 3x+ 2y3 = 0;
б) медіану, опущену з вершиниAна сторонуBC, позначимоAM. ТочкаMподіляє сторонуBCнавпіл, тому її координати
,.
Рівняння медіани AM:; 7x2y7 = 0;
в) висоту, опущену з вершиниAна сторонуBC, позначимоAK. ПрямаAKпроходить через точкуA(1; 0) перпендикулярно прямійBC, тобто паралельно вектору. Отже, її рівняння:
Зробимо креслення.
Рис. 21
Приклад 10.Протилежні вершини квадрата лежать у точкахA(2; 3) іC(2; 5). Скласти рівняння сторін і діагоналей квадрата.
Розв’язання.
а) складеморівняння діагоналей. Одна з діагоналей проходить через точкиAіC.
AC:x 2y+ 8 = 0.
Діагональ BDквадрата перпендикулярна до діагоналіACі проходить через її серединуточкуKіз координатами
,
Кутовий коефіцієнт AC:kAC= 1/2, отже, кутовий коефіцієнтBD:kBD=kAC=2. Рівняння діагоналіBD:
yyK=kBD(xxK),y4 =2x, 2x+y4 = 0.
Зробимо креслення;
Рис. 22
б) знаходиморівняння сторін. НехайkABкутовий коефіцієнт сторониAB. Кут DAC позначимо , він дорівнює 45. Оскільки tg = tg45 = 1,kAC = 1/2, то
kAD= 3.
Рівняння сторони AD:
,y3 = 3(x+ 2),y= 3x+ 9.
Сторона BC проходить через точку C паралельно AD (kBC = kAD =3), її рівняння
,y5 = 3(x2),y= 3x1.
З умови перпендикулярності сторін ABіBCзнаходимоkAB= =1/kBC=1/3. СторониDCіABпаралельні, їхні кутові коефіцієнти співпадають:kDC=kAB=1/3. Знаходимо рівняння сторінABіDC:
AB: ,x+ 3y7 = 0;
DC: ,x+ 3y17 = 0.