§13. Центр поверхні другого порядку

Означення. Точка О називається центром поверхні другого порядку, якщо разом з довільною точкою М цієї поверхні їй належить і точка , симетрична відносно точкиО.

Нехай у деякій системі координат поверхня другого порядку задана загальним рівнянням

(1)

Точка буде центром даної поверхні тоді і тільки тоді, коли вона буде серединою будь-якої хорди, яка проходить через неї. Це означає, що всі діаметральні площини поверхні проходять через точкуО, тому координати точки О задовольняють рівняння довільної діаметральної площини:

. (2)

Отже, точка буде центром даної поверхні тоді і тільки тоді, коли при довільнихвиконується рівність (2).

А це можливо тоді і тільки тоді, коли виконуються рівності

Отже, щоб знайти центр поверхні (1), необхідно розв’язати систему рівнянь:

або

(3)

П р и к л а д  1. Знайти центр еліпсоїда

.

Р о з в ’ я з а н н я.

Для еліпсоїда .

За формулою (3):

121