zadachi_с решениями
.pdf
Äàíî:
v = 1,6æ107 ì/ñ, α = 90Q,
r = 10–2 ì,
me = 9,1æ10–31 êã, e = 1,6æ10–19 Êë.
Найти
B.
Решение.
На электрон, влетающий в однородное магнитное поле, действует центростремительная сила — сила Лоренца, поэтому можем записать
Bev sin α = |
m v2 |
|
|
e |
, |
||
r |
|||
|
|
откуда магнитная индукция поля
|
|
|
B = |
mev |
; |
|
|
|
|
er sinα |
|||
B = |
9,1 10− 31 êã 1,6 |
107 |
ì / ñ |
|
= 9,1æ10–3 кгжм/(Клжсжм) = |
|
1,6 10− 19 Êë |
10− 2 |
ì |
|
|||
= 9,1æ10–3 Í/(Àæì) = 9,1æ10–3 Òë.
Ответ: B = 9,1æ10–3 Òë.
18.3. Электрон влетает в однородное электрическое поле вдоль линии напряженности со скоростью 1000 км/с. Какое напряжение электрического поля требуется создать, чтобы скорость электрона увеличилась до 5000 км/с?
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|||
v1 = 106 ì/ñ, |
Изменение кинетической |
||||||
v2 = 5æ106 ì/ñ, |
энергии электрона равно рабо- |
||||||
e = 1,6æ10–19 Êë, |
те электрического поля по его |
||||||
me = 9,1æ10–31 êã. |
перемещению: |
m e |
(v22 − v12 ) = eU. |
||||
Найти |
|
||||||
|
|
||||||
U. |
|
|
|
2 |
|
||
|
Отсюда |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
U = |
me |
(v22 − v12 ) ; |
||||
|
2e |
||||||
U = |
9,1 10− 31 êã (25 − 1) 1012 |
ì2 / ñ2 |
= 68,25 Â. |
||||
2 1,6 10− 19 Êë |
|
||||||
Ответ: U = 68,25 Â.
105
18.4. Протон влетает в однородное космическое магнитное поле с индукцией 10–20 Тл со скоростью 500 км/с под углом 30Q к линиям индукции. Определить радиус винтовой траектории протона. Выполнить рисунок и вывести формулу для этого радиуса.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|
|
|||||||
|
||||||||||||
m = 1,67æ10–27 êã, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e = 1,6æ10–19 Êë, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 10–20 Òë, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = 5æ105 ì/ñ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 30Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 22 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найти |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r. |
|
На рис. 22 показано разло- |
||||||||||
|
||||||||||||
жение вектора скорости vG протона на две составляющие: vGn — перпендикулярно линиям магнитной индук-
öèè; vGτ — параллельно линиям индукции. При движе-
нии протона со скоростью vn возникает сила Лоренца, под действием которой протон совершает вращение по окружности радиусом r. Òàê êàê vn = v sin α , то сила Лоренца FË = Bevn = Bev sin α . По второму закону Нью-
|
|
|
mv2 |
|
|
mv2 sin2 α |
|
|
|
|
|
|
|||
òîíà, F = |
|
n |
|
= |
|
|
|
èëè |
|
|
|
|
|||
|
Ë |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Bev sin α = |
|
mv2 sin2 α |
; Be = |
m vsin α |
, |
|||||||||
|
|
|
|
r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
mv sin α |
; r = |
|
1,67 10− 27 êã 5 105 ì / ñ 0,5 |
= 2,6æ1017 ì. |
||||||||||
|
|
10− 20 |
Í / (À ì) 1,6 10− 19 |
Êë |
|
||||||||||
Be |
|
||||||||||||||
Ответ: r = 2,6æ1017 ì.
18.5. Радиус винтовой траектории заряженной частицы, попавшей в геомагнитное поле, оказался равным 107 м. Попадет ли эта частица в радиационный пояс Земли? Радиус Земли 6,37ж106 ì.
106
Решение.
Так как радиус винтовой траектории частицы больше радиуса Земли (107 > 6,37æ106), то частица в радиационный пояс не попадет.
Ответ: Нет.
19. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца
19.1. С какой скоростью надо перемещать проводник, длина активной части которого 0,5 м, под углом 50Q к вектору магнитной индукции, модуль которого равен 0,8 Тл, чтобы в проводнике возбудилась ЭДС индукции 2 В?
Äàíî:
l = 0,5 ì, α = 50Q,
B = 0,8 Òë, 1 = 2 Â.
Найти v.
Решение.
ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике, движущемся в магнитном поле,
1 = Blv sin α ,
откуда
|
v = |
1 |
; |
|
|
|
|
||
|
Bl sinα |
|
||
v = |
2 Â |
|
|
= 6,53 ì/ñ. |
|
||||
0,8 Í / (À ì) 0,5 ì 0,766 |
||||
Ответ: v = 6,53 ì/ñ.
19.2. Проводник, активная длина которого 0,4 м, движется со скоростью 10 м/с под углом 30Q к линиям индукции однородного магнитного поля. Определить индукцию магнитного поля, если на концах проводника возникла ЭДС, равная 2 В.
107
Äàíî:
l = 0,4 ì, v = 10 ì/ñ, α = 30Q,
1 = 2 Â.
Найти
B.
Решение.
В проводнике, движущемся в магнитном поле, возникает ЭДС индукции 1 = Blv sin α , откуда
B = |
1 |
; |
|
||
lvsin α |
B = |
2 Â |
= 1 Òë. |
0,4 ì 10 ì / ñ 0,5 |
Ответ: B = 1 Òë.
19.3. Неподвижный виток, площадь которого 10 см2, расположен перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Какая ЭДС индукции возникнет в этом витке, если магнитная индукция поля будет равномерно возрастать и в течение 0,01 с увеличится от 0,2 до 0,7 Тл?
Äàíî: |
|
|
Решение. |
|
|||||
|
|
||||||||
S = 10–3 ì2, |
|
|
Согласно закону электромагнит- |
||||||
œt = 10–2 ñ, |
|
|
ной индукции |
|
|
|
|
||
B1 |
= 0,2 Òë, |
|
|
|
∆Φ |
|
(B2 − B1)S |
|
|
B2 |
= 0,7 Òë. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 = – ∆ t |
= |
|
, |
||||
|
|
∆ t |
|||||||
Найти |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
|
где знак «–» определяется правилом |
|||||
|
|
Ленца; |
|
|
|
|
|
||
|
1 = |
0,5 Í / (À ì) 10− 3 ì2 |
|
= 0,05 Â. |
|
||||
|
|
|
10− 2 ñ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 1 = 0,05 В.
19.4. На рис. 23 изображены линии индукции магнитного поля. Определить направление линий напряженности вихревого электрического поля.
Решение.
Так как индукция магнитного поля убывает, то для определения направления линий напряженности вихревого электрического поля надо применить правило пра-
108
вого винта. На рис. 24 изображена линия напряженности вихревого электрического поля.
Ðèñ. 23 |
Ðèñ. 24 |
19.5. В катушке, состоящей из 200 витков, магнитный поток равен 10–2 Вб. За какое время исчезнет магнитный поток при размыкании цепи, если в катушке при этом возникает ЭДС индукции, равная 5 В?
Äàíî: |
|
|
|
Решение. |
|||||
n = 200, |
|
ЭДС индукции в катушке из n âèò- |
|||||||
œΦ = 10–2 Âá, |
ков равна 1 = |
n∆Φ |
|
|
|
||||
1 = 5 Â. |
|
|
|
(знак «минус» в |
|||||
|
∆ |
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Найти |
|
формуле опускаем), откуда |
|||||||
œt. |
|
||||||||
n∆Φ |
|
200 |
10− 2 |
 ñ |
|
||||
|
|
||||||||
œt = |
; œt = |
= 0,4 ñ. |
|||||||
1 |
|
5 Â |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: œt = 0,4 ñ.
19.6. Магнитный поток, пронизывающий контур проводника, изменился от 0,25 до 1 Вб, при этом ЭДС индукции оказалась равной 2,5 В. Определить время изменения магнитного потока и силу индукционного тока, если сопротивление проводника равно 0,5 Ом.
Äàíî:
Φ 1 = 0,25 Âá,
Φ 2 = 1 Âá, 1 = 2,5 Â,
R = 0,5 Îì.
Найти
I; œt.
Решение.
Используя закон электромагнит-
ной индукции 1 = |
|
∆Φ |
|
= |
|
Ô2 − Ô1 |
, |
||
|
∆ |
t |
∆ t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œt = |
Φ 2 −Φ 1 |
; œt = |
0,75 Â ñ |
= 0,3 ñ; |
|||||
2,5 Â |
|
||||||||
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|||||
109
По закону Ома
I = 1R ; I = |
2,5 Â |
= 5 À. |
|
||
0,5 Îì |
Ответ: I = 5 À; œt = 0,3 ñ.
19.7. Проводник сопротивлением 2 Ом пронизывается магнитным потоком. Определить изменение магнитного потока, если за 0,4 с в проводнике возник индукционный ток 0,5 А.
Äàíî:
R = 2 Îì, œt = 0,4 ñ, I = 0,5 À.
Найти
œΦ .
Решение.
Согласно закону электромагнитной индукции 1 = ∆Φ∆ t , а из закона Ома 1 = IR. Тогда
∆Φ |
= IR, |
∆ t |
откуда изменения магнитного потока
œΦ = IRœt;
œΦ = 0,5 Аж2 Омж0,4 с = 0,4 Вжс = 0,4 Вб. Ответ: œΦ = 0,4 Вб.
19.8. Катушка сопротивлением 100 Ом, состоящая из 1000 витков площадью 5 см2 каждый, внесена в однородное магнитное поле. В течение некоторого времени индукция магнитного поля уменьшилась от 0,8 до 0,3 Тл. Какой заряд индуцирован в проводнике за это время?
Äàíî:
R = 100 Îì, n = 1000,
S = 5æ10–4 ì2,
B1 = 0,8 Òë, B2 = 0,3 Òë.
Найти
Q.
Решение.
Сила тока, согласно определению,
Q
I = ∆ t , ãäå Q — заряд, протекаю-
щий в проводнике, отсюда Q = Iœt. Сила индукционного тока в катушке
I = 1R . ÝÄÑ â n витках
1 |
= |
n∆Φ |
|
= |
n(B1 |
− B2)S |
. |
∆ |
t |
|
∆ t |
||||
|
|
|
|
|
110
Находим заряд, индуцированный в проводнике:
Q = nS(B1 − B2 ) ;
|
R |
|
|
Q = |
103 5 10− 4 ì2 0,5 Í / (À ì) |
= 2,5æ10–3 Êë. |
|
100 Îì |
|||
|
|
Ответ: Q = 2,5æ10–3 Êë.
19.9. Применяя правило Ленца, определить направление индукционного тока в катушке AB, к которой подключен гальванометр Ã (ðèñ. 25).
Решение. |
|
При приближении северного полюса магнита к ка- |
|
тушке в ней индуцируется ток, и на конце B катушки |
|
возникает северный магнитный |
|
полюс; следовательно, ток в ка- |
|
тушке направлен от A ê B. Ïðè |
|
удалении северного полюса маг- |
|
нита от катушки в ней возника- |
|
ет индукционный ток, направ- |
|
ленный от B ê A. |
Ðèñ. 25 |
20. Самоиндукция. Энергия магнитного поля
20.1. По катушке индуктивностью 80 мГн проходит постоянный ток 2 А. Определить время убывания силы тока при размыкании цепи, если ЭДС самоиндукции равна –16 В.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|
|
|
||
L = 0,08 Ãí, |
ЭДС самоиндукции 1 = –L |
∆ I |
, îò- |
|||||
œI = 2 À, |
||||||||
∆ t |
||||||||
1 = –16 Â. |
êóäà |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Найти |
|
œt = – |
L∆ I |
; |
|
|
|
|
œt. |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
||||
|
œt = – |
0,08 Îì ñ 2 À |
|
= 0,01 ñ. |
||||
|
− 16 Â |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
Ответ: œt = 0,01 ñ.
111
20.2. Определить индуктивность катушки, если при прохождении тока 2 А энергия магнитного поля в ней была равна 1 Дж.
Äàíî: |
Решение. |
|||||
I = 2 À, |
Энергия магнитного поля в катуш- |
|||||
W = 1 Äæ. |
|
LI2 |
|
|
||
|
ке с током W = |
, откуда |
||||
Найти |
||||||
|
|
|||||
L. |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
L = |
2W |
; |
|||
|
2 |
|||||
|
|
|
I |
|||
L = 24 ÄæÀ2 = 0,5 Îìæñ = 0,5 Ãí.
Ответ: L = 0,5 Ãí.
20.3. Определить энергию магнитного поля катушки, состоящей из 200 витков, если при силе тока 4 А в ней возникает магнитный поток, равный 0,01 Вб.
Äàíî:
n = 200, I = 4 À,
Φ = 0,01 Âá.
Найти:
W.
Решение.
Запишем формулы энергии магнитного поля и магнитного потока, возникшего в катушке из n витков:
W = LI22 è nΦ = LI, ãäå L — индук-
тивность катушки; отсюда
W = |
nΦ I |
; |
W = |
200 0,01 Â ñ 4 À |
= 4 Äæ. |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Ответ: W = 4 Äæ.
20.4. Через катушку без сердечника, имеющую длину 15,7 см, площадь поперечного сечения 5 см2 и обмотку из 500 витков, проходит ток 20 А. Определить ЭДС самоиндукции, которая возникает в катушке, если ток ис- чезнет (уменьшится до нуля) за 0,002 с.
112
Äàíî:
l = 15,7æ10–2 ì, S = 5æ10–4 ì2, n = 500,
I0 = 20 À,
It = 0,
œt = 2æ10–3 ñ,
µ0 = 4π æ10–7 Í/À2, µ = 1.
Найти
1.
Решение.
ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при изменении силы тока в ней, равна
1 = –L ∆∆ It , ãäå L – индуктив-
ность катушки, вычисляемая по формуле
|
n2S |
|
|
L = |
0 |
. |
|
l |
|||
|
|
Вычисляя, находим ЭДС самоиндукции:
1 = – µ0 µn2S(It − I0 ) ; l∆ t
1 |
4 |
3,14 10− 7 Í / À2 25 104 5 10− 4 |
ì2 20 À |
||
= |
|
|
|
= 10 Â. |
|
|
15,7 10− 2 ì 2 10− 3 ñ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1 = 10 В.
20.5. В катушке возникает ЭДС самоиндукции, равная 15 В, при равномерном увеличении тока от 0 до 5 А за 0,4 с. Чему равна индуктивность катушки?
Äàíî: |
|
|
Решение. |
|||||
|
|
|||||||
1 = 15 Â, |
|
Используя закон самоиндукции |
||||||
œI = 5 À, |
|
|
|
∆ I |
|
|
|
|
œt = 0,4 ñ. |
|
1 = L |
(знак «–» опускаем), нахо- |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
∆ t |
||||
Найти |
|
дим индуктивность катушки |
||||||
L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = 1 |
∆ t |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
∆ I |
||
L = |
15 Â 0,4 c |
= 1,2 Îìæñ = 1,2 Ãí. |
||||||
5 À |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: L = 1,2 Ãí.
113
Колебанияиволны
1.Механические колебания
1.1.Материальная точка, совершая гармонические колебания, имеет наибольшее отклонение от положения равновесия 20 см и совершает 100 полных колебаний за
3мин 20 с. Написать уравнение колебания.
Äàíî: |
Решение. |
||||||
A = 0,2 ì, |
|
Общий вид уравнения гармоничес- |
|||||
n = 100, |
|
кого колебания x = A sin (2πν t + ϕ 0). |
|||||
t = 200 ñ. |
|
|
|
|
n |
|
|
Найти |
|
Òàê êàê ϕ 0 = 0; ν |
= |
, òî |
|||
|
|||||||
x. |
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ν = |
100 |
= 0,5 Ãö. |
|||
|
|
||||||
|
200 ñ |
|
|
|
|||
Следовательно,
x = 0,2 sin (2π æ0,5t); x = 0,2 sin π t.
Ответ: 0,2 sin π t.
1.2. Математический маятник длиной 1 м отклонен от положения равновесия на 30°. Определить приращение потенциальной энергии маятника, если его масса равна 1 кг.
Äàíî: |
|
Решение. |
|
|
|||
l = 1 ì, |
|
|
При отклонении маятника от по- |
α = 30°, |
|
|
ложения равновесия он поднялся на |
m = 0,1 êã, |
|
|
высоту BD (ðèñ. 26). Ïðè ýòîì åãî |
g = 10 ì/ñ2. |
|
|
|
|
|
потенциальная энергия увеличилась |
|
Найти |
|
|
|
|
íà |
||
œEï. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
œEï = PæBD = mgæBD; |
114