- •Дисциплина «Численные методы» Введение
- •Раздел I
- •3. Действия над приближенными числами.
- •§2. Погрешности вычислений.
- •Раздел II Численные методы
- •Глава I. Нелинейные уравнения. §1. Уравнения с одним неизвестным.
- •§ 2 Метод деления отрезка пополам (метод бисекции).
- •§ 3. Метод хорд
- •§4. Метод Ньютона (метод касательных)
- •§5. Метод простой итерации.
Раздел II Численные методы
Глава I. Нелинейные уравнения. §1. Уравнения с одним неизвестным.
Наиболее частой задачей, которая встречается на практике, является нахождение корней уравнений с одной неизвестной вида
(1)
Нелинейные уравнения делятся на: - алгебраические,
- трансцендентные.
Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные).
Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными.
Для уравнений, которые невозможно решить простыми методами, используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений.
Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из 2-х этапов:
1. отыскание приближенного значение корня (начального приближения),
2. уточнение значений корней.
Под отысканием начального приближения понимают нахождение какого-либо отрезка оси абсцисс, которому принадлежит один и только один корень этого уравнения.
Аналитические методы отыскания приближенного значения корня основаны на следующих теоремах математического анализа.
Теорема 1
Если функция непрерывна на отрезке, а на концах отрезка имеет разные знаки,то внутрисуществует, по крайней мере, один корень этого уравнения.
Теорема 2
Если функция непрерывна на, на концах интервала имеет разные знаки и ее производнаяв интервалесохраняет знак, то внутри отрезкасуществует единственный корень уравнения (1).
Отыскание начального приближения можно также производить графически, в частности построение графика функции , где значениех перебираются с достаточно малым шагом , позволяет выделить участки числовой оси, где кривая пересекает ось абсцисс.
Другой способ: , например,
к виду:
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения . Каждый шаг называетсяитерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня Если эти значения с ростомстремятся к истинному значению корня, то итерационный процесссходится.
§ 2 Метод деления отрезка пополам (метод бисекции).
(1)
Допустим, известен отрезок , где находится корень, т.е.. В качестве начального приближения корняпринимаем середину этого отрезка:
Далее исследуем значение функции на концах отрезкови, т.е. в точках
Отрезок, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень. Его принимаем в качестве нового отрезкаВторую половину отрезка, где знакне меняется, отбрасываем.
В качестве первого приближения корня принимаем:
Таким образом, к-е приближение вычисляется как (2)
После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k итераций он сокращается в раз.
Пусть приближенное решение требуется найти с точностью до некоторого заданного малого числа. (3)
Обозначим:
(4)
Из (2) следует, что (4) выполнено, если (5)
Таким образом, итерационный процесс нужно продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие (5).
Пусть для определенности ,(рис). Начальное приближениеТак как в нашем случае, то, отбрасываем.
Р
y
Следующее приближение: .
F(b)
a
c0 c2
x
c c1 b
F(a)
Отрезок - отбрасываем, т.к.и
Таким образом ,
Аналогично находим и т.д. до выполнения условия (5).
Итерационный процесс можно завершить и тогда, когда значение функции послек-ой итерации станет меньшим по модулю , т.е.
(6)