Формулы по векторной алгебре и геометрии
.doc
Векторная алгебра.
Условие коллинеарности(параллельности) векторов и : или , где .
Орт вектора - вектор , имеющий единичную длину и направление вектора : .
Проекция вектора на вектор - число .
Действия над векторами в координатной форме:
; .
Длина вектора : .
Направляющие косинусы вектора - числа:
, , , при этом .
Координаты вектора , заданного точками и : .
Расстояние между точками и :
.
Координаты точки делящей отрезок пополам: , , .
Скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение ненулевых векторов и - число: .
Скалярное произведение обладает свойствами:
1) ; 2) ; 3) ; 4) , где - число;
Для векторов канонического базиса : , , , , , .
Некоторые приложения скалярного произведения:
1) Вычисление угла между векторами и : .
2) Нахождение проекции вектора на вектор : .
3) Вычисление длины вектора :
4) Установление перпендикулярности векторов и : .
Векторное произведение векторов.
Векторное произведение векторов и - вектор , определяемый условиями:
1) ; 2) и ; 3) - правая тройка векторов.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) ; 2) 3) ; 4) , где - число;
Для векторов канонического базиса : , , , , , .
Для векторов и , заданных координатами , :
Некоторые приложения векторного произведения:
1) Вычисление площадей треугольника и параллелограмма: .
2) Установление параллельности векторов и : .
Смешанное произведение векторов.
Смешанное произведение упорядоченной тройки векторов ,и - число . Смешанное произведение обладает свойствами:
1) ; 2) ; 3) ; 4) и -компланарны ;
Некоторые приложения смешанного произведения:
1) Вычисление объёмов тетраэдра и параллелепипеда: .
2) Установление компланарности векторов ,и : и - компланарны.
3) Установление принадлежности четырёх точек одной плоскости:
Прямая линия на плоскости.
1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;
2) - уравнение прямой, проходящей через точку вектору ;
3) - уравнение прямой, проходящей через точку вектору (каноническое уравнение);
4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;
5) - уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; () – угол прямой осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси ( «», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).
6) - уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и ( «», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).
Расстояние от точки до прямой : .
Угол , () между прямыми и : ; .
, если или .
,если или
Координаты точки пересечения прямых и : или .
Кривые на плоскости.
Алгебраическая кривая второго порядка: , где числа - не равны нулю одновременно.
Классификация кривых второго порядка:
1) если , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при ), пустое множество, точку);
2) если , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых);
3) если , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) .
Окружность, эллипс, гипербола и парабола являются невырожденными кривыми второго порядка.
Окружность. Каноническое уравнение окружности: , где радиус окружности, точка -центр окружности.
Нормальное уравнение окружности: . Оно определяет окружность с центром в точке и радиусом .
Эллипс. Каноническое уравнение эллипса: , .
Числа и - большая и малая полуоси эллипса; точки , , , - вершины; оси и - главные оси симметрии; точка - центр симметрии (или просто центр) эллипса; прямоугольник со сторонами , параллельными главным осям симметрии и центром в точке - основной прямоугольник эллипса; точки и , где - фокусы эллипса; векторы и - фокальные радиус-векторы; числа и - фокальные радиусы точки , принадлежащей эллипсу; число () - эксцентриситет эллипса (при эллипс является окружностью); прямые и - директрисы эллипса.
Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы , .
Числа и - действительная и мнимая полуоси гиперболы; точки , - вершинами; оси и - главные оси симметрии; точка - центр симметрии (или просто центр) гиперболы; прямоугольник со сторонами , параллельными главным осям симметрии и центром в точке - основной прямоугольник гиперболы; точки и , где - фокусы гиперболы; векторы и - фокальные радиус-векторы; числа и - фокальные радиусы точки , принадлежащей гиперболе; число () - эксцентриситет гиперболы; прямые и - директрисы гиперболы; прямые и называются асимптотами гиперболы (они проходят через противоположные вершины основного прямоугольника гиперболы).
Парабола. Каноническое уравнение параболы: , .
Число - параметр параболы; ось - ось симметрии; точка – вершина параболы; точка - фокус параболы; вектор - фокальный радиус-вектор; число - фокальный радиус точки , принадлежащей параболе; прямая - директриса параболы.
Плоскость.
1) - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;
2) - уравнение плоскости, проходящей через точку вектору ;
3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ;
4) - уравнение плоскости в отрезках, где , и - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на осях , и ( «», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).
Если .
Расстояние от точки до плоскости : .
Угол , () между плоскостями и : .
, если
, если .
Прямая в пространстве.
1) - общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где и - нормальные векторы плоскостей и .
2) - уравнение прямой, проходящей через точку вектору (каноническое уравнение);
3) - уравнение прямой, проходящей через две точки , ;
4) - уравнение прямой, проходящей через точку вектору , (параметрическое уравнение);
Угол , () между прямыми и : .
, если . , если .