МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА

АРХІТЕКТУРИ

Спеціальність: для технічних

спеціальностей

Методичні вказівки до виконання завдань модуля

“Невизначений і визначений інтеграл”

з курсу “Вища математика”

Харків ХДТУБА 2008

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

Спеціальність: для технічних

спеціальностей

До друку дозволяю

Перший проректор університету Д.Л.Череднік

Методичні вказівки до виконання завдань модуля

“Невизначений і визначений інтеграл”

з курсу “Вища математика”

Усі цитати, цифровий, Затверджено фактичний матеріал та бібліографічні на засіданні кафедри

відомості перевірені, написання одиниць Вищої математики.

відповідає стандартам Протокол №___від__________

Укладачі: Н.Ю.Іохвідович

І.В.Подкопай

Відповідальний за випуск А.І.Кононенко

Віза декана

Харків ХДТУБА 2008

Методичні вказівки до виконання завдань модуля “Невизначений і визначений інтеграл” з курсу “Вища математика” для студентів технічних спеціальностей/Укладачі: Н.Ю. Іохвідович, І.В Подкопай. – Харків: ХДТУБА, 2008. - 38с.

Рецензент Л.І. Щелкунова

Кафедра вищої математики

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

Спеціальність: для технічних

спеціальностей

Методичні вказівки до виконання завдань модуля

“Невизначений і визначений інтеграл”

з курсу “Вища математика”

Харків ХДТУБА 2008

Навчальне видання

Методичні вказівки до виконання завдань модуля “Невизначений і визначений інтеграл” з курсу “Вища математика” для студентів технічних спеціальностей

Укладачі: Іохвідович Нона Юзефівна

Подкопай Ірина Василівна

Відповідальний за випуск А.І. Кононенко

Редактор Л.І.Христенко

План 2008 р., поз.139 Формат 60х84 1/16 Папір друк. № 2.

Підп. до друку Обл.-вид. арк.1.9

Надруковано на ризографі. Ум. друк. арк.1.7

Тираж 500 прим. Зам. № 1453 Бескоштовно.

________________________________________________________

ХДТУБА, 61002, Харків, вул. Сумська, 40

_______________________________________________________________

Підготовлено та надруковано РВВ Харківського державного технічного університету будівництва та архітектури

ВСТУП

Мета викладання розділу “Невизначений та визначений інтеграли” – навчити студентів володінню апаратом інтегрування для розв’язання геометричних та фізичних задач.

Основне завдання цього розділу – виробити у студентів уміння та навички обчислювати невизначені, визначені та невласні інтеграли та застосовувати це при розв’язанні прикладних задач фізики, механіки, геометрії та задач фахових спеціальностей.

Метою даного розділу є:

- прищепити необхідні теоретичні знання та вміння застосовувати основні поняття, властивості і методи обчислення інтегралів;

- сформувати первинні навички математичного дослідження прикладних задач;

- виробити вміння самостійно розв’язувати задачі та використовувати літературу за даним розділом;

- навчити застосовувати теоретичні знання на практиці;

- навчити самостійно поглиблювати свої знання, розвивати логічне і алгоритмічне мислення.

Опанувавши розділ “Невизначений та визначений інтеграл”, студенти повинні вміти обчислювати ці інтеграли при розв’язанні прикладних задач.

Важливим елементом засвоєння понять та методів інтегрування є самостійна робота студентів – важлива складова виконання індивідуальних завдань, поточних домашніх завдань та виконання модульної контрольної роботи.

Результативність самостійної роботи студентів забезпечується системою контролю, яка включає виконання кяонтрольної роботи з теми “Невизначений інтеграл”, виконання та захист індивідуального завдання з теми “Застосування визначеного інтеграла” і виконання модульної контрольної роботи з теми “Інтеграл”.

У результаті вивчення матеріалу цього модуля студенти повинні засвоїти основні поняття, формули та методи обчислення та застосування визначених інтегралів, вміти розв’язувати геометричні та фізичні задачі за допомогою визначених інтегралів.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА МОДУЛЯ

1 Визначення і властивості невизначеного інтеграла, методи обчислення.

2 Визначення і властивості визначеного інтеграла, методи обчислення, геометричні і фізичні застосування.

3 Невласні інтеграли І і ІІ роду.

І структура модуля та його елементи

ПРОГРАМА МОДУЛЯ

I Невизначений інтеграл:

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл.

3. Існування невизначеного інтеграла.

4. Заміна змінних у невизначеному інтегралі.

5. Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.

6. Інтегрування простіших раціональних дробів.

7. Інтегрування раціональних дробів.

8. Інтегрування тригонометричних виразів.

9. Інтегрування лінійних ірраціональностей.

ІІ Визначений інтеграл:

1. Інтегрування квадратичних ірраціональностей.

2. Визначений інтеграл.

3. Формула Ньютона-Лейбниця.

4. Існування визначеного інтеграла.

5. Заміна змінних у визначеному інтегралі.

6. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

7. Площа фігури в декартовій системі координат.

ІІІ Застосування визначеного інтеграла:

1. Площа фігури в полярній декартовій та полярній системі координат.

2. Площа фігури при параметричному завданні функцій.

3. Об’єм тіла за площами паралельних перетинів.

4. Об’єм тіла обертання в декартовій системі координат та при параметричному завданні функцій.

5. Довжина дуги лінії в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції.

6. Площа поверхні обертання в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції.

7. Маса дуги лінії в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції.

8. Маса фігури в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції.

9. Статичні моменти фігури відносно осей координат.

10. Координати центра ваги фігури.

11. Статичні моменти дуги лінії відносно осей координат.

12. Координати центра ваги дуги лінії.

ІV Невластиві інтеграли І і ІІ роду:

1 Невластивий інтеграл I роду.

2 Ознаки збіжності для невластивого інтегралу.

3 Невластивий інтеграл II роду.

4 Ознаки збіжності для невластивих інтегралів II роду.

ЦІЛЬОВА НАСТАНОВА

Навчити студентів обчисленню невизначених, визначених та невластивих інтегралів та їх застосуванню в геометричних, фізичних, механічних задачах і прикладних задачах своєї спеціальності.

КОНТРОЛЬНІ ЗАХОДИ МОДУЛЯ

1. Контрольна робота “Невизначений інтеграл”.

2. Виконання і захист індивідуального завдання.

3. Модульна контрольна робота “Невизначений та визначений інтеграл”.

Іі питання для перевірки теоретичних знань

І Знати: визначення (в), властивості (вл).

Вміти: записати формулу (ф), сформулювати теорему (т), довести теорему (д).

1. Первісна функція (в, вл, ф).

2. Невизначений інтеграл (в, вл, ф).

3. Існування невизначеного інтеграла (т).

4. Заміна змінних у невизначеному інтегралі (ф).

5. Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі (ф).

6. Інтегрування простіших раціональних дробів (ф).

7. Інтегрування раціональних дробів (ф, т).

8. Інтегрування тригонометричних виразів (ф).

9. Інтегрування лінійних ірраціональностей (ф).

10. Інтегрування квадратичних ірраціональностей (ф).

11. Визначений інтеграл (в, вл, ф).

12. Формула Ньютона-Лейбниця (ф).

13. Існування визначеного інтеграла (т).

14. Заміна змінних у визначеному інтегралі (ф).

15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі (ф).

16. Площа фігури в декартовій системі координат (ф, д).

17. Площа фігури в полярній системі координат (ф, д).

18. Площа фігури при параметричному завданні функцій (ф).

19. Об’єм тіла за площами паралельних перетинів (ф).

1.20-1.21. Об’єм тіла обертання в декартовій системі координат та при параметричному завданні функцій (ф).

1.22.-1.24. Довжина дуги лінії в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції (ф).

1.25.-1.27. Площа поверхні обертання в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції.

1.28.-1.30. Маса дуги лінії в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції.

1.31-1.33. Маса фігури в декартовій, полярній системах координат та при параметричному завданні функції.

1.34. Статичні моменти фігури відносно осей координат (ф).

1.35. Координати центра ваги фігури (ф, д).

1.36. Статичні моменти дуги лінії відносно осей координат (ф, д).

1.37. Координати центра ваги дуги лінії (ф, д).

1.38. Невластивий інтеграл I роду (в, вл).

1.39. Ознаки збіжності для невластивого інтеграла (ф).

1.40. Невластивий інтеграл II роду (в, вл).

1.41. Ознаки збіжності для невластивих інтегралів II роду (ф).

II Вивести формули пунктів: 1.4, 1.5, 1.14, 1.15-1.37.

Довести теореми пунктів: 1.12, 1.39, 1.41.

ІІІ Показати практичні навички:

3.1. Обчислення невизначених, визначених та невластивих інтегралів.

3.2. Виконання заміни змінних у невизначених та визначених інтегралах.

3.3. Знаходження площ фігур, об’єм тіл, площ поверхонь обертання, мас фігур та дуг ліній, статичних моментів фігур та дуг ліній, координат центра ваги фігур та дуг ліній за допомогою визначеного інтеграла.

3.4. Володіння методами обчислення невизначених та визначених інтегралів від раціональних, тригонометричних та ірраціональних функцій.