/j^^utSt 2

®

Тема: Пропорции. План лекции:

1. Введение. Гармония как эстетическая категория.

2. Простые и иррациональные отношения. Подобие.

3. Типы пропорций. Пропорционирование.

1. Введение. Гармония как эстетическая категория.

В VI веке до нашей эры, ученики Пифагора абсолютизировали найденные ими числовые отношения, положив их в основу учения о гармонии мира - «гар­монии сфер». Они полагали, что гармония между микрокосмосом и макрокосмо­сом определяется математическими законами пропорционального единства. Пи­фагорейцы представляли числа не только абстрактно но и пластически - в виде определённых геометрических тел. «Следовательно, числовое становление мыс­лилось пифагорейцами как становление прежде всего космических тел, издаю­щих при своём движении определенного рода тоны с гармоническим сочетанием этих тонов в одно прекрасное и вечное целое»,- замечает А.Ф.Лосев.

В эстетике эллинизма (между 323 и 30 годами до н.э.) учение о гармонии развивалось не только применительно к музыке, но и по отношению к другим ви­дам искусства, в частности к живописи и архитектуре. Витрувий (вторая половина 1 века до н.э.) считал, что понятие архитектуры раскрывается посредством сле­дующих шести элементов: строя (ordinatio), расположения (dispositio), эвритмии (euritmia), благообразия (decor), расчета (distributio), соразмерности (summetria). Среди них главным является понятие соразмерности. Впрочем эвритмия, также как и пропорция, тоже является видом соразмерности, но в отличие от пропорции это - внешний тип соразмерности, соразмерность полученная при восприятии внешнего вида архитектурного объекта.

Гармония была одним из важнейших понятий в истории эстетики и занима­ла одно из центральных мест в системе эстетических категорий. Можно выделить по крайней мере три типа понимания гармонии, которые фигурировали на протя­жении всей истории эстетической мысли,- математическое, эстетическое и ху­дожественное. В математическом смысле гармония понималась как равенство или соразмерность частей друг с другом и части с целым и выражалась в виде определенных числовых пропорций.

Миф о пропорции, или как её называл современник и друг великого Лео­нардо да Винчи Лука Пачоли (итальянский математик, живший ок. 1445 г.), - «бо­жественной пропорции», является очевидно одним из наиболее древних в исто­рии профессии. О ней удивительно много написано, исследованию различных ас­пектов пропорции посвятили свои труды выдающиеся зодчие и теоретики архи­тектуры. Необходимость изучения пропорций обосновывалась самыми различ­ными способами: теологическим, эстетическим, антропологическим, математиче­ским и т.д. Но во всём этом обширном и невообразимо пёстром материале мы должны, исходя из задач нашей дисциплины, выделить и зафиксировать гео­метрический и специфический инструментальный аспекты архитектурной про­порции, создав тем самым предпосылки для практического освоения этого важ­нейшего средства профессиональной деятельности.

I s I

2. Простые и иррациональные отношения. Подобие.

Если в математике под отношением понимают частное от деления одной величины на другую, то понятие отношения в архитектуре гораздо шире и вклю­чает в себя все виды взаимосвязи величин, характеризующих объективные свой­ства формы.

В архитектуре, так же как и в математике, различают два вида закономер­ных или гармонических отношений пространственных величин: рациональные или простые и иррациональные.

2.1. Рациональные (простые) отношения могут быть выражены каким-либо конечным целым или дробным числом, где числитель и знаменатель - целые чи­сла. Простые отношения - 2 : 3, 3 : 4, 5 .6 и т.д., содержат в себе модуль, уклады­вающийся целое и небольшое число раз в каждой пространственной величине, входящей в отношение.

2.2. Иррациональные отношения не могут быть выражены конечным чис­лом и основываются на простой геометрической закономерности их построения. Графическое выражение иррациональных отношений: а). Отношение диагонали квадрата к его стороне а : в = 1 : V2. Сторона опи­санного квадрата равна диагонали вписанного. 1

б). Отношение высоты равностороннего треугольника к половине его основания а : в = 1 : V3.

1

в). Отношение, называемое «золотым сечением» а : б = 1,62..

а б а 72° 72°

Пифагорейское учение о гармонии было связано с музыкальной теорией, акустикой и теорией звука. Была высказана идея о связи высоты тона с быстротой движения и частотой колебаний. Архит заметил, что высота тонов зависит от дли­ны струны, причём она изменяется в отношении обратнопропорциональном к этой длине. Т.е. чем выше тон, тем меньше длина струны.

Отношение колебаний

Интервалы тонов и длины струны

2.3. Подобие.

Наиболее общим признаком наличия пропорциональной зависимости слу­жит геометрическое подобие (греч. analogia - соответствие) отрезков и фигур. Там, где есть подобие, есть и пропорции; где подобия нет, там нет и пропорционпльнлсти элементов формы.

На схеме а), показана геометрическая зависимость двух линейных элемен­тов, расчлененных в отношении: A:a=B:B = C:c=H:h. Взаимосвязь между элементами достигается благодаря подразделению их на геометрически подоб­ные части (теорема о подобии треугольников)

На схеме б)., при равенстве отношений А : В = а : в, приходится иметь дело уже не столько со сходством или подобием отрезков, сколько с геометрическим подобием фигур. Параллельное или перпендикуляроне расположение диагоналей сходных и соответственно расположенных фигур служит подтверждением геомет­рического подобия последних.

Н

3 Типы пропорций.

Пропорция (лат. proportio) математич. - есть равенство двух отношений.

«...но невозможно сочетать две вещи без наличия третей: между ними не­обходим связующий элемент. Нет лучше связи, чем та, которая образует из самой себя и связуемых ею вещей одно неделимое целое. И такова природа пропор­ции»^ Платон., «Тимей».)

Пропорция в архитектуре есть понятие, отражающее однородность (зако­номерность) изменений количественной меры при переходах от одной части фор­мы к другой, и к форме в целом.

Пытаясь определить числовую величину музыкальных интервалов, пифаго­рейцы (Архит) пришли к учению о трех типах пропорций - арифметической, гео­метрической и гармонической.

Арифметические (модульные) пропорции основаны на арифметической прогрессии. Взаимосвязь частей и целого осуществляется повторением единого заданного размера, полученного в виде разности каждой пары членов:

(а - в) = (в - с) = ... = М (модуль). С-В = С

В-А С например: !, 2, 3, 4,...; 6, 9, 12... .

Геометрические (непрерывные) пропорции основаны на геометрической прогрессии. Взаимосвязь частей и целого осуществляется при равенстве отно­шений между членами:

(а : в) = (в : с) =...= К (коэффициент).

С-В = С

В-А В например: 1, 2, 4, 8,..., 4, 6, 9,... .

Гармонические пропорции являются разновидностью геометрических. Они основываются на гармонической прогрессии, представляющей собой ряд чисел обратных ряду чисел арифметической прогрессии, например: 1/3, !/4, 1/5, 1/6, 1/7, .

С-В = С

В-А А например: 2, 3, 6, ... , 6, 8, 12,... .