SMMiF_bsuir
.pdf41 |
www.studhelp.info |
Напомним, что для абсолютно интегрируемых функций существуют прямое и обратное преобразования Фурье. Прямое преобразование Фурье F(ω) функ-
ции f (t) задается формулой
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(ω) = ò f (t)e−i2πωt dt |
|
|
|
|
|
(4.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
и иногда еще называется спектральной функцией интеграла Фурье. |
fo |
|||||||||||||
Зная функцию F(ω) , можно восстановить сигнал |
f (t) с помощью обратного |
|||||||||||||
преобразования Фурье: |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f (t) = ò F(ω)ei2πωt dω . |
|
|
|
|
. |
(4.2) |
|||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В дальнейшем будем использовать запись f (t) ↔ F(ω) , означающую, что |
||||||||||||||
функция F(ω) является прямым преобразованием Фурье сигналаif (t) . |
||||||||||||||
Легко заметить, что операторы (4.1) и (4.2) линейны: |
|
|
|
|
|
|||||||||
если |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f1(t) ↔ F1(ω) , |
|
|
P |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||
то |
|
|
|
|
f 2 (t) ↔ F2 (ω), |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ò |
|
UDH |
+ c2F2 (ω) , |
|
|
|
||||||
|
|
|
c1 f1 |
(t) + c2 f |
2 (t) ↔ c1F1(ω) |
|
|
|
||||||
где c1,c2 – произвольные числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 1. Дано: |
|
|
|
|
f (t) ↔ F(ω) . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти спектральную функцию сигнала F(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D По определению спектральной функции для сигнала F(t) имеем: |
|
|||||||||||||
|
|
+ ¥ |
F(t) e- i2pwt dt = |
введем |
замену |
|
|
|
|
|||||
|
S |
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
w = -w1 |
|
|
|
|
|
|
||||
. |
- ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
www |
|
= |
ò F(t) ei2pw1t dt = f (w ) = f (-w). |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, мы вывели очень важное свойство дуальности соответствия: если
f (t) ↔ F(ω) ,
то
F(t) ↔ f (−ω) .
Рассмотрим геометрический смысл этого свойства:
43
42 |
www.studhelp.info |
если
f(t) |
F(ω) |
↔
0 |
t0 |
|
t |
|
|
0 |
|
|
ω |
то |
F(t) |
|
|
|
|
|
|
|
fo |
|
|
|
|
|
|
(−ω) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
↔ |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
.0 |
|
||
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
-t |
0 |
ω |
||
|
|
|
|
|
|
L |
|
▲ |
|
Задача 2. Доказать: |
|
|
E |
P |
|
|
|||
а) если f (−t) ≡ f (t), то F(−ω) = F(ω); |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
б) если f (−t) ≡ − f (t) , то F(−ω) = −F(ω) . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
||
Из (4.1) с учетом формулы Эйлера следует, что |
|
|
|
||||||
|
|
+∞ |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
F(ω) = ò f (t) cos 2πωt dt − i ò f (t) sin 2πωt dt = a(ω) − ib(ω) . |
|
|||||||
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
144424443 |
144424443 |
|
|
|
|||
|
|
|
a(ω) |
|
b(ω) |
|
|
|
|
Заметим, что F(−ω) = a(ω) + ib(ω). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
T |
|
|
∞ |
|
|
|
|
а) |
Пусть f(t) |
– четная функция. Тогда a(ω) = 2ò f (t) cos 2πωt dt как интеграл |
|||||||
|
|
S |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от четной функции по симметричному интервалу интегрирования и b(ω) = 0
|
. |
|
▲ |
|
|
Утверждение пункта б) доказывается аналогично. |
|
||||
Если говорить образно, то справедливы такие картины соответствия: |
|
||||
а) |
|
f |
|
F |
|
www |
f(t) |
|
F(ω) |
|
|
0 |
t |
0 |
ω |
как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу. Следователь-
но, F(−ω) = F(ω)
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
www.studhelp.info |
|||||
|
б) |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(ω) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
▲ |
||
|
Задача 3. Доказать справедливость утверждения: |
|
|
|
|
fo |
||||||||||||||||||||||||
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) ↔ F(ω) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(t) ↔ i2πωF(ω) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрируем |
по |
частям : |
i |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
∞ + |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = e−i2πωt ; |
dv = f '(t)dt; |
= f (t)e−i2πωt |
|
||||||||||||||||
|
|
f ' (t) ↔ ò f '(t)e−i2πωt dt = |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
du = −i2πωe−i2πωt dt; v = fP(t) |
|
|
−∞ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первое |
слагаемое |
суммы равно нулю, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
как |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (−∞) = f (∞) = 0 |
из− за |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ i2πω ò f (t)e−i2πωtdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= i2πωF(ω). |
||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
условия |
|
ò| |
f (t) | dt = Q < +∞, |
а второе |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слагаемое |
преобразуем |
по |
формуле (4.1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
▲ |
|
Так как операция интегрирования обратна операции дифференцирования, то |
|||||||||||||||||||||||||||||
легко доказать, что справедливо соответствие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UDHt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
ò |
f (t)dt ↔ |
F(ω) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
i2πω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 4. Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. |
|
f (t − τ) |
↔ e−i2πωτ F(ω), τ – число. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
введем |
замену |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = t − τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f (t − τ) ↔ ò f (t − τ)e−i2πωt dt = |
|
|
|
|
= |
ò f (u)e−i2πω(u+τ) du = |
||||||||||||||||||||||
|
|
t = u + τ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = du |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−i2πωτ |
|
|
|
|
−i2πωu |
|
|
−i2πωτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
www |
|
|
|
|
du =e |
|
|
|
|
F(ω). ▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= e |
|
ò f (u)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞
Заметим, что | e−i2πω |=1. Поэтому операция запаздывания временного аргумента никак не отразится на модуле спектральной функции F(ω) .
45
44 |
www.studhelp.info |
Задача 5. Обосновать формулу Рэлея
(u(t), v(t)) = (U (ω),V (ω)) (4.3)
– скалярное произведение сигналов u(t) и v(t) равно скалярному произведению их спектральных характеристик U (ω) и V (ω) .
Пусть u(t) и v(t) – комплексные сигналы, а U (ω) и V (ω) – соответственно их спектральные характеристики:
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t) ↔ V (ω) = |
|
∞ |
|
|
|
|
fo |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òv(t)e−i2πωt dt. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) ↔ U (ω) |
= |
òu(t)e−i2πωt dt, |
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
Зная V (ω) , можно восстановить |
|
−∞ |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
||||||||||||
|
v(t) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
L |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t) = òV (t)ei2πωt dt. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Тогда для v * (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|||||
|
– комплексно сопряженной к |
v(t) |
функции – получаем |
|||||||||||||||||||||
|
|
ò |
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v * (t) |
= |
òV * (t)ei2πωt dt . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Скалярное произведение функций u(t) и v(t) вычисляется так: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
используя |
|
представление |
|
|
|
|
|
|||||||
|
(u, v) = òu(t)v * (t)dt = |
|
|
формуле |
= |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
T |
v * (t) |
|
по |
|
предыдущей |
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
u(t)dt |
V * (ω)e−i2πωt dω = |
|
поменяем |
в |
двойном интеграле |
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
порядок |
интегрирования |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
ò |
V * (ω)dω |
|
ò |
u(t)e−i2πωt dt = |
ò |
V * (ω)U (ω)dω = (U ,V ). |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1442443 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
▲ |
|
Если формулу Рэлея (4.3) рассмотреть для случая v(t) = u(t) , то получим |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u,u) = (U ,U ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| u(t) ||2 =|| U (ω) ||2 . |
|
|
|
|
(4.4) |
||||||||||
|
www |
|||||||||||||||||||||||
Формула (4.4) называется формулой Парсеваля-Планшеренеля. Оеа. говорит о |
||||||||||||||||||||||||
том, что нормы временной u(t) и |
|
спектральной характеристик U (ω) сигнала |
||||||||||||||||||||||
совпадают. Другими словами, если |
f (t) ↔ F(ω) , то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
f (t) ||=|| F(ω) ||, |
|
|
|
|
|
|
46
45 |
www.studhelp.info |
∞∞
||f (t) ||2 = ò f 2 (t)dt = ò F(w)F * (w)dw = || F(w) ||2 .
−∞ −∞
Здесь мы полагали функцию f (t) – временную характеристику сигнала –
вещественной.
Запишем в таблицу 1 сводку формул, теорем и правил соответствия временных f (t) и спектральных характеристик F(ω) .
Таблица 1. Свойства преобразования Фурье
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(ω) |
|
|
fo |
|
||||
|
|
+∞ |
|
|
|
i2πωt |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
− 2πωt |
|
|
|||||
|
|
f (t) = |
|
F(w) e |
dw |
|
F(w) = |
|
|
|
|
f (t) e |
|
|
||||||||
|
|
ò |
|
|
ò |
|
|
|
ndt |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ . |
|
|
|||||||||
|
|
Если |
f * (t) = f (t), |
то F(ω) = F * (−ω) | F(ω) |=| F(−ω) | |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Четная симметрия: |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f (−t) ≡ f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
F(−ω) = F(ω) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Нечетная симметрия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f (−t) ≡ − f (t) |
|
|
F(−ω) = −F(ω) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Линейность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c1 f1(t) + c2 f2 (t) |
|
|
c1F1(ω) + c2 F2 (ω) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
Дуальность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
F(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (−ω) |
|
|
|
|
|||||
|
|
Изменение масштаба: |
|
|
|
1 |
|
æ wö |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f (kt) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fç ÷ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| k | |
è k ø |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Задержка во времени: |
|
|
e |
−i2πωτ |
F(w) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
f (t − τ) |
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Умножение на ei2πω0t : |
|
|
|
F (ω − ω0 ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
e |
i2πω0t |
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
Свертка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f (u)g(t - u)du = f * g |
|
|
|
F(ω)G(ω) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение: |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (t)g(t) |
|
|
òF(w)G(w - u)du |
|
|
||||||||||||||
|
www |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Дифференцирование: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
f ' (t) |
|
|
|
|
|
|
i2πωF(ω) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Интегрирование: |
|
|
|
|
|
|
F(ω) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2pw |
|
|
|
|
47
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
www.studhelp.info |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f (t)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Рэлея: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f (t)g * (t)dt = ( f , g) |
|
|
|
|
|
|
|
(F,G) = òF(w)G * (w)dw |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Парсеваля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fo |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ò| f (t) |2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò| F(w) |2 dt |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Функция Дирака δ(t) |
P |
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Физиком Дираком был рассмотрен |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
следующий пример. Материальная точка А |
E |
|
|
|
B |
|
|
|
||||||||||
|
(шарик) до начального момента покоилась. |
|
A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
В момент t = 0 по ней ударили молоточком, после чего |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
она мгновенно перескочила в положение B , |
пройдя единичный путь А B , и |
|||||||||||||||||
|
опять остановилась. |
UDH0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рассуждая как физик, Дирак предложил ввести функцию δ(t) : |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ì0, |
|
если |
|
t ¹ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d(t) = í |
если |
|
t = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
î¥, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
При этом предполагается, что выполняются условия: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
ì0, |
|
если |
|
t < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ò |
d(t) = í |
если |
|
t ³ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
î1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Теперь эту функцию называют дельта-функцией Дирака. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ò |
.ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Обратимся теперь к удивительным свойствам этой функции: |
|
|
|
|
||||||||||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ f (t)δ (t)dtS= ε f (t)δ (t)dt = |
здесь |
ε - скoль угодно |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
1º. −∞ |
|
−ε |
|
|
малое |
|
число > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
ε
= f (0) òδ (t)dt = f (0);
−ε
∞
2º. ò f (t)d(t - t0 )dt = f (t0 ).
−∞
Итак, дельта-функция обладает фильтрующим свойством: под знаком опре- деленного интеграла она выхватывает значение перемножаемой с ней функции при определенном значении аргумента t0 .
48
47 |
www.studhelp.info |
Есть еще много удивительных свойств у дельта-функции (например, оказывается, что ее можно сколько угодно раз дифференцировать), но мы пока рассматривать их не будем.
Попробуем включить δ(t) -функцию в число сигналов и займемся ее спек-
тральным изображением. А попутно мир сигналов пополним еще кое-какими функциями.
4.3. Спектральная плотность постоянного сигнала
|
n |
|
Напомним, какие ограничения нужно наложить на функцию f (t) |
для того, |
|
чтобы ее можно было представить интегралом Фурье. |
i |
fo |
Теорема 4.1. Если функция f (t) |
. |
|
|
1) кусочно-непрерывная на всей числовой оси R, имеет конечное число точек разрыва 1-го рода и конечное число точек экстремума на любом отрезке [−l,l]
(условие Дирихле); |
|
|
|
|
L |
||
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
2) абсолютно интегрируема на всей числовой оси: ò| Pf (t) | dt = Q < +∞ , |
|||||||
то для нее существует интеграл Фурье |
|
|
−∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
+∞ |
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t − 0) |
+ t(t + 0) |
|
|
|
|
ò F(ω)ei2πωt dω = |
E |
, |
|
|||
|
−∞ |
|
|
2 |
|
|
|
который сходится при любом t к среднему значению левого и правого преде- |
|||||||
лов функции f (t) в точке t . |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что второе условие этой теоремы дает жесткое ограничение на |
|||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
класс функций f (t) , представимых интегралом Фурье. В дальнейшем мы будем |
|||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
обсуждать, как можно изменить оператор Фурье, чтобы класс функций f (t) |
|||||||
мог быть значительно расширен. |
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть f (t) = A – число. Этот сигнал, |
|
|
|
|
|
||
wwwΦ(ω): |
|
|
|
|
А |
f (t) = A |
|
вообще говоря, запрещен теоремой 4.1, |
|
|
|||||
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
так как условие 2) ò| f (t) | dt = Q < +∞ |
|
0 |
|
t |
|||
−∞ |
|
|
|
f (t) = A и осью t здесь беско- |
|||
здесь не выполнено. Площадь между графиком |
нечна. Но мы все-таки попробуем применить преобразование (4.1) чисто формально.
Пусть ϕ(t) – благопристойный сигнал, имеющий спектральную плотность
∞ |
|
Φ(ω) = òϕ(t)e−i2πωtdt . |
(4.5) |
−∞
Воспользуемся теперь формулой Рэлея:
49
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
www.studhelp.info |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
( f , j) = (F(w), F(w)) Û ( f , j) = ò f (t)j * (t)dt = ò F(w)F * (w)dw = (F, F) . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
|
(4.6) |
|
|
|
В нашем случае левая часть формулы (4.6) в силу (4.5) дает |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
A òj * (t)dt = AF(0) , |
|
|
|
fo |
||||
а правая часть есть интеграл |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ò F(w)F * (w)dw = AF(0) . |
i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
Замечаем, что F(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
проявляет свойство 1º дельта-функции: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F(ω) = Aδ(ω). |
|
P |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Итак, |
|
|
|
f (t) = A ↔ F(ω) = Aδ(ω) , |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а по принципу двойственности |
Aδ(t) ↔ A. |
L |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Математики |
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
договорились |
δ(t) -функцию обозначать вектором единичной |
||||||||||||
длины, исходящим вертикально из начала координатE |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Ý d(t) |
|
|
|
|
|
|
Ý d(t - t0 ) |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
t, тогда |
|
|
0 |
t0 |
|
|
|
t . |
|
|
|
Поэтому образно в картинках наши последние выводы выглядят так: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
Ad(w) |
|
|
|
|
||
|
|
. |
Tt |
↔ |
|
|
Ý |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
и |
0 |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ad(t) |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
Ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
||
|
|
|
4.4. Спектральная плотность комплексного сигнала |
|
|
|
||||||||||
|
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим комплексное колебание |
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) = ei2πωt
50
49 |
www.studhelp.info |
с частотой ω в Герцах. Этот сигнал также не обладает свойством абсолютной интегрируемости на всей числовой прямой. Но оказывается, что для него спектральная плотность существует.
Задача 6. Доказать, что если
f (t) ↔ F(ω) ,
то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
ei2πω0t f (t) « F(w - w0 ) . |
|
|
|
|
fo |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D f (t) « F(w) = ò f (t) e−i2πωt dt; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|||||
|
ei2πω0t f (t) « ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f (t) ei2πω0t × e−i2πωt dt = ò f (t) e−i2π(ω−ω0)t dt = F(w - w0 ). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
▲ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем теперь |
f (t) =1. Тогда |
f (t) ↔ δ (t) и, согласно итогу задачи 6, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ei2πω0t ×1 « d(w - w |
0 |
) |
Û ei2πω0t « δ (ωP- ω ) . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
Заметим, что для вещественных сигналов f (t) модуль спектральной плотно- |
||||||||||||||||||||||||||
сти есть четная функция от ω : |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|||||||||||||||
| F(−ω) |=| F(ω) |. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
А теперь рассмотрим в качестве |
|
|
|
E |
F |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
сигнала ei2πω0t – комплексное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ý d(w - w0 ) |
|
|
|||||||||||||||
колебание, для которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ω0 |
|
ω |
||||||||||||
спектральная функция δ(ω − ω0 ) |
имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
несимметрический модуль относительно вертикальной оси. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4.5. Спектральная плотность гармонических колебаний |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислим спектральные характеристики простейших гармонических коле- |
||||||||||||||||||||||||||
баний cos 2πω |
0 |
t,sin 2πω |
t . Для этого воспользуемся формулами Эйлера: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ei2πω0t + e−i2πω0t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ(ω + ω ) |
1 |
|
|
δ(ω − ω ) |
|
|||||||||||
|
1) cos 2πω0t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
« |
|
d( - 0 ) + d(w + w0 ) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
-ω0 |
|
|
ω0 |
|
ω |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
wwwei2πω0t - e−i2πω0t |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
δ(ω − ω0 ) |
|
|||||||||||||||||
2) |
sin 2πω0t = |
|
|
|
|
2i |
|
|
|
« |
|
|
|
|
-ω0 |
2 |
|
|
2i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
« |
|
δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 ) |
. |
|
|
- |
δ(ω+ ω0 ) |
|
- 1 |
|
ω0 |
|
ω |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
2 |
|
|
|
|
|
51
50 |
www.studhelp.info |
4.6. Спектральная плотность произвольного периодического сигнала
Пусть дан периодический сигнал f (t) = f (t + 2l) . Представим его в виде ряда Фурье в комплексной форме и найдем его спектральную функцию:
∞ |
i |
πnt |
|
f (t) = åcn e |
l |
« |
n=−∞
∞
F(ω) = å
n=−∞
æ |
|
n ö |
|
cnδ ç |
ω - |
|
÷ , |
|
|||
è |
|
2l ø |
где
|
|
|
1 |
l |
f (t)e−i |
πn |
an + ibn |
|
|
|
an |
− ibn |
|
|
fo |
||
|
|
|
|
t dt , c = |
,c |
|
= |
|
|
||||||||
c |
n |
= |
l |
−n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ò |
|
|
n |
2 |
|
|
|
2 |
|
. |
|
|||||
|
|
|
2l −l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция F(ω) |
называется импульсной функцией. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, преобразование Фурье для периодической функции времени представ- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
ляет собой импульсную последовательность в частотной области, причем пло- |
|||||||||||||||||
щади импульсов равны коэффициентам cn ряда Фурье. |
. |
|
|||||||||||||||
В соответствии со |
P свойством дуальности преобразование Фурье импульснойLпоследовательности
во временной области будет давать периодическую функцию частоты. Геометрически это выглядит так:
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
F(ω) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↔ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
1 |
|
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
2l |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− l |
|
|
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
l |
ω |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(ω) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
↔ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
S |
1 |
|
1 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
- w |
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
ω |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
− |
|
- 2 |
|
. |
|
2w |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
В аналитической форме рассмотренное выше соответствие имеет вид: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
æ |
|
n ö |
|
|
∞ |
|
|
−i |
πn |
t |
æ |
|
n ö |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
f (t) = å f [n]δ çt - |
|
÷ |
« F(ω) = |
å |
|
f [n]e |
ω |
δ çt - |
|
÷ , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
www |
n=−∞ |
|
è |
|
2w ø |
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
è |
|
2ω ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
w |
πn |
ω dω . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
f [n] = |
−òwF(ω)ei l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Тот факт, что преобразование Фурье периодической функции |
f (t) |
времени |
t , заданной в виде периодической или импульсной последовательности, соответственно дает импульсную или периодическую последовательности в частотной области, фактически означает, что интегральные операторы прямого и об-
52