SMMiF_bsuir
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
www.studhelp.info |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
|
= - t xe−t |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
G(x + 1) = òt xe−t dt = |
u = t |
|
|
, du = xt |
|
|
|
|
ds |
|
|
|
∞ + x òt x−1e−t dt = xG(x). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = e−t dt, v = -e−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Таким образом, имеет место формула приведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ(x +1) = xΓ(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.1) |
|||||||||||||||||||||
|
При |
|
nG(n + 1) = nG(n) = n(n -1)G(n - 1) = ... = n × (n -1) ×... × 2 ×1 = n!, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
fo |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(1) = 0!=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Формула дополнения. При 0 < x <1 справедлива формула дополнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(x)G(1 - x) = |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
Заменив x на |
|
x +1 в формуле (9.3), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(x + 1)G(-x) = |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
π |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin π (x + 1) |
sin πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Отсюда и из справедливости формулы (9.3) при |
|
|
0 < x <1 вытекает справед- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ливость равенства (9.3) при любом x , не являющемся целымPчислом. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Применяя повторно формулу (9.1), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ(x + n) = (x + n −1)(x + n − 2)...(x +1)xΓ(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
æ 7 |
ö |
|
|
æ |
5 ö |
|
|
5 |
|
|
|
æ |
5 |
ö |
|
UDH5 æ 3 ö 5 3 |
|
æ |
3 |
|
ö |
|
5 |
|
|
3 |
æ 3 ö |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Отсюда при x |
= |
1 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 ö |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 ö |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 ö |
|
|
|
1× 3 ×...× (2n - 1) × (2n -1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
æ |
|
|
|
æ |
|
ö |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
π . (9.4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Gçn |
+ |
|
|
÷ |
= çn - |
|
|
|
÷ |
× çn - |
|
÷ |
× |
...× |
|
2 |
× |
2 |
|
× Gç |
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
2 ø è |
2 ø è |
|
|
|
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
7 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пº2. Найти Gç |
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D Имеем, согласно формуле (9.4): |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
÷ = Gç1 + |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gç1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Gç |
|
|
÷ |
= |
|
|
Gç |
|
÷ = |
2 |
|
|
|
÷ |
= |
2 |
× |
2 |
|
|
× Gç |
|
÷ |
= |
2 |
|
× |
2 |
× Gç |
|
÷ = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
è 2 |
ø |
|
|
è |
2 ø |
|
|
2 Tè 2 ø |
|
|
|
è |
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
è |
2 |
|
ø |
|
|
|
è 2 ø |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 3 |
|
æ |
1 ö |
|
|
5 3 1 |
|
|
æ 1 ö |
|
|
5 × 3 ×1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
2 |
× |
2 |
|
× Gç1 + |
|
|
|
÷ |
= |
2 |
× |
|
2 |
× |
|
2 |
|
× Gç |
|
÷ = |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è .2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
è 2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
▲ |
||||||||||||||||||||||
|
Бета-функция B(x, y) определяется несобственным интегралом |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(x, y) = òtx−1(1- t)y |
−1dt, x > 0, y > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависящим от двух параметров x и y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Свойства функции B(x, y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
B(x, y) – симметричная функция, т.е B(x, y) = B(y, x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D Действительно, положив τ =1 − t , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
www.studhelp.info |
||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B(x, y) = òt x−1(1 - t) y−1dt = òτ y−1(1 -τ ) x−1dτ = B( y, x). |
|
▲ |
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2) Гамма– и бета-функции связаны соотношением |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B(x, y) = |
Γ(x)Γ( y) . |
|
|
|
|
(9.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(x + y) |
|
|
|
|
|
||
|
D В самом деле, положим в равенстве (9.5) t = cos2τ . Тогда имеем |
fo |
||||||||||||||||||
|
|
|
dt = -2 cosτ sinτ dτ ,1 - t = 1 - cos2 τ = sin 2 τ , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
t = 0 Þ τ = |
π , t = 1Þ τ = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Отсюда получаем, что |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
x−1 |
(1 |
- t) |
y−1 |
dt |
= -2 |
0 |
|
2x−2 |
τ sin |
2y−2 |
in |
||||||||
|
B(x, y) = òt |
|
|
òcos |
|
|
|
τ cosτ sin |
τ dτ = |
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π / 2 |
|
|
L |
|
(9.7) |
||||||
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= 2 ò cos2x−1 τ sin 2y−1 τ dτ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В формуле (9.1) положим t = u ,dt = 2u du и получим |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
UDH |
|
−u2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2x−2 |
e |
−u2 |
|
E∞ 2x−1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
G(x) = òu |
|
|
|
|
du = 2 òu |
e |
|
du . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Аналогично при t = v2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
G(y) = 2 ò v2y−1e−v2 dv; G(x + y) = 2 òτ 2(x+ y)−1e−τ 2 dτ.. |
|
(9.8) |
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отсюда получим, что |
|
|
|
|
∞ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1v 2y−1e−(u2 +v2 ) dudv . |
|
|
||||||||
. |
G(x)G(y) = 4ò |
òu 2x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Перейдя к полярнымSкоординатам u = r cosθ , y = r sinθ,0 £ r < ¥,0 £θ £ π , |
|||||||||||||||||||
получим с учетом формул (9.7) и (9.8): |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
π / 2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(x)G(y) = 4 ò dθ ò r × r 2x−1 cos2x−1 θ × r 2y−1 × sin 2 y−1 θe−r2 dr = |
|
||||||||||||||||||
|
π / 2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= 2 ò cos2x−1 θ × sin 2 y−1 θdθ × 2 ò r 2(x+ y)−1e−r2 dr =B(x, y)G(x + y). |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда и следует формула (9.6). |
|
▲ |
|
|
|
|
|
|
|
Бета– и гамма-функции называются интегралами Эйлера первого и второго рода соответственно.
Применение интегралов Эйлера к вычислению определенных интегра-
лов. Из формул (9.6) и (9.7) получаем равенство
104
103
π / 2 |
cos2x−1 τ sin 2y−1 τ dτ = |
1 |
G(x)G( y) . |
|
ò |
||||
2 |
||||
0 |
|
G(x + y) |
||
|
|
|
Отсюда, заменив x на α , y на β , получаем формулу
π / 2 |
cos2α −1 x sin 2β −1 x dx = |
1 |
G(α )G(β ) . |
|
ò |
||||
2 |
||||
0 |
|
G(α + β ) |
www.studhelp.info
(9.9)
|
|
|
æ a |
ò |
|
|
sinα |
x cosβ |
x dx = 1 |
è |
|
2 |
|
|
ø |
è |
2 |
|
ø . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.10)fo |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Так как a = 2ç |
|
+ |
|
|
÷ -1, то из (9.9) следует формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
2 |
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gæα + 1öGæ β + 1ö |
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
æα + β |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gç |
|
|
|
|
2 |
|
+ 1÷ |
P |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
пº3. Вычислить интеграл |
|
ò |
sin5 xcos3 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D По формуле (9.10) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 5 + 1ö |
|
æ 3 + 1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gç |
|
|
|
|
|
÷Gç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
è |
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 ×1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ò |
sin5 x cos3 x dx = |
|
|
|
|
æ 5 + 3 |
|
|
|
ö |
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
2 |
× |
|
4! |
|
= |
24 |
. |
|
▲ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gç |
|
2 |
|
+ 1÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
При β =-α формула (9.10) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
æα +1 |
ö æ1-α |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò tgα x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gç |
|
|
|
|
|
÷Gç |
|
|
|
|
÷,|α |<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отсюда и из формулы дополнения (9.3) получаем равенство |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π / 2 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
æ 1 α |
ö |
æ |
|
|
|
æ 1 |
|
|
|
|
|
α öö |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 π |
|
|
|
|||||||||||||||||||
ò |
|
tgα x dx = |
|
|
|
Gç |
|
T+ ÷Gç1 - |
ç |
|
|
+ |
÷÷ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
,| α |<1, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
è 2 2 |
ø è |
|
|
|
è 2 2 øø |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
æ |
1 |
|
|
α ö |
|
2 |
|
|
|
απ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinç |
|
+ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 4 |
2 |
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
tgα x dx = |
2 cosαπ |
|
|
,|α |<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.11) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
пº4. По формуле (9.11) имеем |
|
|
ò |
|
tg x |
dx = |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В интеграле (9.5) сделаем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
|
|
u |
|
|
,dt = |
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
,u Î[0,¥). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ u |
(1+ u)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
105
104
|
∞ |
|
u x−1 |
|
G(x)G( y) |
|
|
B(x, y) = ò |
|
|
du = |
|
. |
||
(1 + u) x+ y |
G(x + y) |
||||||
|
0 |
|
|
||||
Отсюда при x =α , y = β получаем формулу |
|
|
|||||
∞ |
xα −1 |
|
G(α )G(β ) |
|
|||
0ò |
|
dx = G(α + β ) . |
|
||||
(1+ x)α +β |
|
www.studhelp.info
(9.12)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 5 |
ö |
|
|
|
|
fo |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
пº5. Вычислить интеграл ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(1 + x)7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||||||
|
D По формуле (9.12) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x5 / 2−1 |
|
|
|
Gç ÷G(1) |
|
|
|||||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
x3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
P |
|
|||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
dx = |
ò |
|
|
|
|
|
|
dx = ò |
|
|
|
|
|
|
dx = |
ø |
|
|
▲ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 / 2 |
|
5 / 2+1 |
|
æ |
7 |
ö |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 (1+ x) |
7 |
|
|
|
0 (1 |
+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 (1+ x) |
|
|
|
|
|
|
Gç |
÷ . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
è |
2 |
ø |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
§ 10. Дифференциальные уравнения и функции Бесселя |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Уравнение Бесселя и его решение с помощью рядов. Линейное однород- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ное дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y''+xy'+(x2 - v2 ) y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
(10.1) |
|
|||||||||||||||
называется уравнением Бесселя с параметром v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение y = y(x) |
будем искать в виде обобщенного степенного ряда: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x p |
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åak xk = åak xk+ p,a0 ¹ 0. |
|
|
|
|
(10.2) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
k=0 |
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Отсюда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
Ty' = åak (k + p)xk+ p−1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
k+ p+2 |
|
|
2 ∞ |
|
|
k+ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y'' = åak (k + p)(k + p -1)xk+ p−2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Подставив y, y' |
и y' ' |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в (10.1), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ p - 1)xk+ p |
|
∞ |
|
|
+ p)x k+ p + |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
åak (k + p)(k |
|
+ åak (k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ åak x |
|
|
|
|
- v å ak x |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
106
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
www.studhelp.info |
|
|
|
|
|
|
|
|
å∞ ak ((k + p)2 + x2 - v2 )xk+ p = 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях |
x , получим бесконеч- |
||||||||||||||||||||||||||||
ную систему: |
|
|
x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p2 - v2 ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x p+1 |
|
|
|
|
|
|
a |
(( p + 1)2 - v2 ) |
= 0, |
|
|
|
|
fo |
|||||||||||
|
|
|
|
x p+2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
(( p + 2)2 - v2 ))+ a0 = 0, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x p+3 |
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
(( p + 3)2 - v2 ))+ a = 0, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|||
|
|
|
......................................................... |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x p+n |
|
|
|
|
|
|
an |
(( p + n)2 - v 2 ))+ an−2 = 0 in |
|||||||||||||||||
При a0 ¹ 0 имеем p = ±v . Тогда при p = v |
коэффициенты an |
с нечетными |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
P |
|
|
||||||||
индексами равны нулю, а с четными индексами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2k |
|
|
|
|
|
|
|
(-1)k a0 |
|
|
|
L |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!22k (v |
+1)(v + |
2)...(v + k) |
|
|
|
|||||||||||
При a0 = |
2v G(v |
+1) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2k |
= |
|
|
|
|
(-1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
G(k + 1)G(k + v + 1)22k+v |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
и, следовательно, решение (10.2) представится в виде ряда |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
(-1) |
k |
|
|
æ x |
ö |
2k+v |
|
|
|
|||||||
|
y = y(x) = å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
= Jv (x) . |
|
(10.3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
G(k + 1)G(k + v + 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
. |
k=0 |
|
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При p = −v и a |
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем решение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
www |
|
|
|
−v |
G(-v + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö2k−v |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
(-1)k |
|
|
|
|
æ x |
|
|
|||||||||
|
|
J −v (x) = |
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× ç |
|
÷ |
|
. |
|
(10.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
G(k + 1)G(k - v + |
1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||
Функции Jv (x) |
и J−v (x), определенные равенствами (10.3) и (10.4), называ- |
ются функциями Бесселя первого рода. Общее решение уравнения Бесселя (10.1) при нецелом v имеет вид
y = C1J v (x) + C2 J −v (x) ,
где C1 и C2 – произвольные константы. При целом n имеет место равенство
J −n (x) = (-1)n J n (x) ,
107
106 www.studhelp.info
т.е. функции Jv (x) и J−v (x) линейно зависимы. Второе линейно независимое
решение уравнения второго порядка (10.1) определяется предельным соотношением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nn |
(x) = lim |
|
|
Jn(x)cosπn − J |
−v (x) |
, |
v |
|
– нецелое. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinπn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v→n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Функция N n (x) |
называется функцией Неймана. В этом случае общее реше- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние уравнения (10.1) имеет вид |
|
|
|
2k+v−1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)k 2k |
|
|
æ x ö2kfo+v−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
(-1)k (2k + v) |
|
|
|
|
|
æ x ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= C1J v (x) + C2 Nn (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Реккурентные соотношения. |
Продифференцировав функцию Jv (x) , будем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J v' (x) = å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
= å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2G(k + 1)G(k + v + 1)è 2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
k=0 |
|
|
2kG(k)G(k |
+ v + 1)nè 2 ø |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
(-1)k v |
|
æ x ö2k+v−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
+ å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k=0 |
|
2G(k + 1)G(k + v + 1)è |
2 |
|
ø |
|
|
|
|
|
ö2(k−1)+(v+1) |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k+v |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(-1)k−1(-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x |
|
|
|
|
v |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x |
ö |
|||||||||||||||||||||||||||||
= å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
åL |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
= |
||||||||||
|
G(k)G((k - 1) + (v + 1) + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k=0 |
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
x k=0 |
|
G(k + 1)G(k |
+ v + 1)è 2 |
ø |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(-1) |
|
(2(k + v) -UDHv) æ x ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1) |
|
2k |
|
|
|
|
|
æ x ö |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
' |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -J v+1(x) + |
|
x |
J v (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jv' (x) = -Jv' +1(x) + |
Jv(x). |
|
|
|
|
|
|
(10.5) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k +v−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k +v−1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Jv' (x) = å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
= |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(k +1)G(k + (v -1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k =0 |
|
2G(k +1)GT(k + v +1)è 2 ø |
|
|
k =0 |
+1)è 2 ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
v |
|
∞ |
|
|
|
(-1)k |
|
|
æ x ö2k +v |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
www |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= J ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
- |
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
- |
|
J |
v |
(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
è 2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
v−1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x k=0 G(k + |
1)G(k |
+ v +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. имеет место реккурентное соотношение
J v' (x) = J v−1(x) - vx J v (x).
Интеграл Люамеля. Решением уравнений
x2u''+xu'+(β 2 x2 - v2 )u = 0, x2 y''+xy'+(α 2 x2 - v2 )u = 0,
108
107 |
www.studhelp.info |
являются функции u = Jv (βx) и y = Jv (αx) . Умножим первое уравнение на xy ,
второе – на ux и затем вычтем из одного равенства другое. В результате полу-
чим равенство:
x(u'' y - y''u) + (u' y - uy') = (α 2 - β 2 )uxy,
æ |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö' |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
fo |
которое при u'= βJv' (βx), y'= αJv' (αx) можно переписать в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(u' y - y'u) = (α 2 - β 2 )uxy, |
|
|
|
n |
||||||||||||||
или в подробной записи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ç x(βJ v (βx)J v (αx) - αJ v (βx)J (αx)÷ = (α |
|
|
- β |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
)xJv (αx)J v (βx). (10.6) |
||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, используя реккурентную формулу (10.5), получим равенство |
ö' |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(βx)÷ . |
||||||
xJ |
v |
(αx)J |
v |
(βx) = |
|
2 |
|
2 |
(αJ |
v |
(βx)J |
v+1 |
(αx) - βJ |
v |
(αx)J |
v+1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
- β |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
èα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
ø |
|||||
Проинтегрировав равенство от 0 до x, получим формулу |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ò SJ v (αx)J v (βx) dS = |
|
|
|
|
x |
|
(αJ v |
( |
βx)J v |
+1 |
(αx) - βJ v (αx)J v+1(βx)), |
|
|||||||||||||||
α 2 - β 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
которая называется интегралом Люамеля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Корни бесселевых функций. |
Корнями бесселевых функций Jv (x) называ- |
||||||||||||||||||||||||||
ются все точки x, при которых Jv (x) =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Свойства корней: |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. Все корни бесселевых функций, кроме x=0, являются простыми. |
|
||||||||||||||||||||||||||
D Если бы x |
|
был корнем кратности 2, то J |
|
(x ) = 0, J ' |
(x ) = 0 |
и задача Ко- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
0 |
|
|
v |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ши для однородного линейного уравнения имела бы только нулевое решение.
2. Все корни.бесселевых функций – действительные числа. ▲ D Если z – комплексный корень функции Jv (x) , то и z – тоже корень этой функции. В этом случае при α = z,β = z из интеграла Люамеля получаем, учтя,
что J v (z)=0, Jv (z) = 0, соотношение
1 |
|
|
1 |
|
|
(zJ v ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
))= 0, (10.7) |
|||
|
ò sJv (zs)J v ( |
zs) ds = |
|
|
z |
)J v+1 (z) - |
zJ v (z)J v+1( |
z |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
z 2 - z 2 |
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 > 0 при 0 < s <1. ▲ |
|||||||
что невозможно, поскольку sJ v (zs)J v ( |
|
|
|
J v (zs) |
|
|||||||||||||||
zs) ds = s |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
www |
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. Корни бесселевых функций Jv (x) и Jv+ |
|
1(x) |
|
взаимно разделены, т.е. ме- |
жду двумя последовательными корнями функции Jv (x) находится ровно один корень функции Jv+1(x) , и наоборот, между двумя корнями функции Jv+1(x) находится ровно один корень функции Jv (x) .
109
108 |
www.studhelp.info |
Ортогональность бесселевых функций. Напомним, что система функций
{ϕn (x)} называется ортогональной на отрезке [a,b] с весом p(x) > 0 , если выполнены условия
b
ò p(x)ϕi (x)ϕ j (x)dx = 0,i ¹ j.
a
|
Нормой |
|
|
|
ϕm |
|
|
|
|
функции ϕn (х) с весом p(x) называется число, определяемое |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn |
|
|
|
2 = ò p(x)ϕn2 (x) dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Пусть αi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
– корни бесселевой функции Jv (x) . Рассмотрим систему функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ций {J v (αi x)}. При z = αi из равенства (10.7) имеем, заменив s на x : |
fo |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò xJ v (αi x)J v (α j x) dx = 0, i ¹ |
j, . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(αi x)} ортогональна на |
|||
откуда следует, |
что система бесселевых функций {J v |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезке [0,1] |
|
с весом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
||||||||
|
p(x) = x . Норма бесселевых функций вычисляется по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J v |
|
|
|
|
|
|
= ò xJ v2 (αi x) dx. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Можно показать, используя интеграл Люамеля, что |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J v |
(αi x) |
|
|
|
= |
1 |
|
J v' (αi ). |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Разложение функций в ряд Фурье-Бесселя. Пусть функция f (x) опре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
делена на отрезке [0,1]. Рядом Фурье-Бесселя функции |
f (x) называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
f (x) = åαi Jv (αi x) , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
где коэффициенты αi |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
определяются по формулам |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
. |
αi |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò xf (x)Jv (αi x)dx . |
|
|
(10.8) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Jv' (αi ))2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
пº1. Разложить в ряд Фурье-Бесселя по системе функций {J0(αix)}, где αi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– корни функции J 0 (x), функцию f (x) = 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D Коэффициенты αi |
вычисляем по формуле (10.8): |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
при f (x) = 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
αi = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò xJ v (αi x) dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(J v' (αi ))2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Из равенства (10.5) при V = 0 получаем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J0' (x) = −J1(x) . |
|
|
(10.9) |
||||||||||||||||||||
|
При V =1 реккурентное соотношение (10.6) имеет вид |
|
|
|
110
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
www.studhelp.info |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
J1' (x) = J 0 (x) - |
1 |
J1 (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|||
|
|
(xJ1 (x))' = J1 (x) + xJ1' (x) = J1(x) + xç J 0 |
(x) - |
|
J |
1(x)÷ |
= xJ 0 (x). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||
Подставив это значение xJ0 (x) |
в αi , получим: |
1 |
|
|
|
|
|
|
fo |
|||||||||||||||||||||
|
|
(J v' (αi ))2 αi2 0 |
|
|
|
(J v' (αi ))2 αi2 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
αi = |
(J v' (αi ))2 |
ò xJv (αi x) dx = |
(J v' (αi ))2αi2 |
ò (αi x)J v (αi x) d(αi x) = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
αi |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
αi |
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
ò sJ 0 (s) ds = |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sJ1 (s))2 ds = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
||
|
= |
(J v' (αi ))2 αi2 |
×αi J i (αi ) = |
αi J1' (αi ) |
L |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
в силу равенства (10.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, ряд Фурье-Бесселя функции |
по системе функций |
|||||||||||||||||||||||||||||
{J0(αix)} имеет вид |
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
(a x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x + y |
1 = åαi J0(ai x) = å |
|
0 |
|
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
▲ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1αi J1(ai ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для самоконтроля |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. Линейные (векторные) пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
Аксиомы метрики. Метрические пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пространства Rn |
, C[a,b], L |
2 |
[a,b], l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Аксиомы нормы. НормированныеUDHлинейные пространства. Нормы в про- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
странствах Rn , C[a,b], L [a,b], l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
Расстояние между элементами в метрическом и нормированном про- |
|||||||||||||||||||||||||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
странствах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Сходимость последовательности в метрическом и нормированном про- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
странствах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Фундаментальные последовательности, их свойства. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7. |
Полные метрические, нормированные пространства. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8. |
Унитарные пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
Норма элемента и расстояние между точками в унитарном пространстве. |
10.Гильбертово пространство.
11.Ортогональные и ортонормированные системы в гильбертовом простран- стве.
12.Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
13.Линейные операторы и линейные функционалы.
14.Дифференцируемость функционалов.
15.Вариации функционала.
111
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
www.studhelp.info |
|
16. |
Краевая задача математической физики: формулировка. |
|
|
|
|||||||
17. |
Простейшие уравнения с частными производными гиперболического, па- |
||||||||||
|
раболического и эллиптического типов. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
Формула Д’Аламбера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19. |
Метод разделения переменных для уравнений гиперболического, парабо- |
||||||||||
|
лического и эллиптического типов. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
20. |
Понятие об обобщенных функциях. |
|
|
|
|
|
|
fo |
|||
21. |
δ-функция и ее свойства. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
Импульсная реакция линейных стационарных систем с одним входом. |
||||||||||
23. |
Симметрическое преобразование Фурье и его свойства. |
|
n |
||||||||
24. |
Преобразование Фурье обобщенных функций. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
25. |
Дискретное преобразование Фурье и его свойства. |
|
|
|
|
|
|||||
26. |
Восстановление решетчатой функции по ее дискретному преобразованию |
||||||||||
|
Фурье. |
|
|
|
|
|
P |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
27. Z -преобразование Лорана и его свойства. |
L |
. |
|
||||||||
28. |
Восстановление решетчатой функции по ее Z -преобразованию. |
|
|||||||||
29. |
Решение линейных разностных уравнений с помощью Z -преобразования. |
||||||||||
30. |
Преобразование Гильберта. |
E |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
31. |
Определение Г-функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
32. |
|
|
|
UDH |
|
|
|
|
|
|
|
Формула дополнения для Г-функции. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
33. |
Формула приведения для Г-функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
34. |
Применение интегралов Эйлера к вычислению некоторых определенных |
||||||||||
|
интегралов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35. |
Дифференциальное уравнение Бесселя и порождаемые им функции. |
||||||||||
36. |
Реккурентные соотношения для бесселевых функций. |
|
|
|
|
||||||
37. |
Корни бесселевых функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
38. |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ортогональность бесселевых функций. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
39. |
Разложение функций в ряды Фурье-Бесселя. |
|
|
|
|
|
|
||||
40. |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшая задача вариационного исчисления. |
|
|
|
|
|
||||||
41. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимое условие экстремума функционала. |
|
|
|
|
|
||||||
42. |
Уравнение Лагранжа-Эйлера. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43. |
Экстремали функционала. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
44. |
Решение уравнения Эйлера-Лагранжа в специальных случаях. |
|
|||||||||
45. |
Блочные матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
46. |
Теорема Гамильтона-Кели. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
47. |
Передача дискретной информации. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
48. |
Расстояние Хэмминга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
49. |
Двоичные линейные коды. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
50. |
Двойственный код. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
51. |
Обнаружение ошибок кодирования. |
|
|
|
|
|
|
|
112