4. Момент силы относительно центра и оси
4.5. Вычисление реакций опор конструкций арочного типа
Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкций, состоящих из системы тел, соединенных шарнирами. Связи, соединяющие части конструкций между собой, называются внутренними в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее входящими. Рассмотрим составную конструкцию типа арки (рис. 4.16, а). На конструкцию наложено четыре связи (две шарнирно-неподвижные опоры) и врезан шарнир, который добавил одну степень свободы: 4 =1 = 3, конструкция является статически определимой системой.
При действии внешней нагрузки на конструкцию в каждой опоре возникает по две реакции, всего четыре неизвестные реакции:
в шарнире А – НА и VA и шарнире В – VВ, НВ (рис. 4.16, б).
Используя свойство шарнира С, составим четвертое уравнение равновесия, основанное на том, что линия действия главного вектора приложенных к левой, а также к правой частям конструкции сил должна пройти через ось врезанного шарнира С, в противном случае главный вектор правых или левых сил создал бы ненулевой момент относительно шарнира С. Тогда алгебраическая сумма моментов сил, действующих на левую (правую) части составной конструкции относительно точки С (врезанного шарнира), соответственно равна нулю:
∑MCлев = 0, ∑MCправ = 0.
а |
б |
Рис. 4.16
101
И. В. Богомаз. Механика
Пример 4.10. Дано: P = 10 кН, q = 4 Н/м, = 8м, α = 30°. Вы-
числить опорные реакции составной конструкции (рис. 4.17, а).
а |
б |
Рис. 4.17
Решение. Используя метод сечения, отбросим связи и заменим их соответствующими реакциями VA, HA, VB, HB (рис. 4.16, б).
Распределенную нагрузку интенсивностью q заменим равнодействующей: Q = q = 4 8 = 32 кН.
Разложим силу Р на составляющие Px и Py:
Py = P sin 30° =10 0,5 = 5 кН, Px = P cos 30° =10 0,87 =8,7 кН.
Вычислим реакции VA и HA из системы уравнений
∑МA (Fi )= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑МCправ (Fi )= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем и решим уравнения системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑M A (Fi )= 0, −VB 2 − Py 2 − Px ( + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) +Q |
|
+ |
|
|
= 0; |
||
4 |
2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
−VB 2 8 −5 2 8 −8,7 (8 +2) +32(4 +2)= 0 →
102
4. Момент силы относительно центра и оси
VB = 161 (80 +87 −192)=1,56 кН;
∑MCправ = 0, −VB |
|
|
|
|
|
|
+ HB |
+ |
|
|
− Py = 0, |
||
4 |
||||||
|
|
|
|
|
−1,56 8 + H B (8 + 2) −5 8 = 0 →
HB = 101 (12, 48 + 40)= 5, 25 кН.
Вычислим реакции VB и HB из системы уравнений
∑МB (Fi ) = 0,
∑Млев(F ) = 0.
С i
Запишем и решим уравнения системы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑M B = 0, −VA 2 +Q |
|
+ |
|
|
− Px |
+ |
|
|
= 0; |
|
|
|
|||||||
2 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|||
−VA 2 8 +32 (4 + 2) −8,7(8 + 2)= 0 →
VA = 161 (192 −87)= 6,56кН;
∑MCлев = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0, −VA |
− HA |
+ |
|
|
|
−Q |
|
= 0. |
|||||
4 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−6,56 8 − H A (8 + 2)−32 4 = 0 → |
|
|||||||||||||
H A = − |
|
1 |
(52, 48 +128)= |
|
−18,05 |
|
кН. |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
10 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На чертеже меняем направление реакции HA (рис. 4.17, б).
103
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 4.18
Проверка (рис. 4.18):
∑Fx = H A −Q + Px + HB =18 −32 +8,7 +5,25 = −0,05 ≈ 0,
∑Fy =VA − Py −VB = 6,56 −5 −1,56 = 0.
Ответ: VA = 5,56 кН; HA = 18,05 кН; VB = 1,56 кН; HB = 5,25 кН.
104