- •Методичні рекомендації
- •1. Опис навчальної дисципліни
- •2. Структура навчальної дисципліни
- •3. Зміст семінарських занять
- •1. Вектори (основні поняття)
- •2. Лінійні операції з векторами
- •Із означення випливає, що (комутативність).
- •3. Лінійна залежність векторів
- •4. Скалярний добуток векторів
- •Визначники другого порядку
- •Визначники третього порядку
- •Основні властивості визначників
- •Матриці та дії з ними
- •Семінарське заняття 2
- •2. Метод Гаусса
- •3. Розв’язування систем матричним методом
- •4. Ранг матриці та способи його обчислення
- •5. Теорема Кронекера-Капеллі
- •Семінарське заняття 3
- •Тема 3. Пряма, площина. Тема 4. Криві та поверхні другого порядку
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Пряма, площина
- •1. Різні види рівнянь прямої лінії
- •2. Нормальне рівняння площини
- •3. Загальне рівняння площини
- •4. Рівняння площини у відрізках на осях
- •5. Рівняння площини, яка проходить через дану точку; через дані три точки.
- •6. Кут між двома площинами
- •7. Віддаль від точки до площини
- •8. Пряма лінія у просторі (векторне рівняння; параметричні та канонічні рівняння; пряма як лінія перетину площин)
- •9. Кут між прямими
- •10. Кут між прямою і площиною
- •11. Перетин прямої з площиною
- •Лінії другого порядку
- •Поняття про полярну систему координат
- •Поверхні та їх класифікація
- •2. Поверхні обертання
- •3. Поверхні другого порядку
- •Семінарське заняття 4
- •2. Функція двох змінних
- •3. Нескінченно малі та нескінченно великі величини
- •4. Границя послідовності
- •5. Границя функції
- •Семінарське заняття 5
- •Тема 6. Неперервність функції. Точки розриву
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 6
- •Тема 7. Похідна. Диференціал
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Похідна, її фізичний, геометричний та економічний зміст
- •2. Диференційовність та неперервність функцій
- •6. Диференціал та його геометричне значення
- •7. Похідні та диференціали вищих порядків
- •8. Формула Тейлора
- •9. Частинні похідні та диференціали функції двох змінних
- •10. Похідна по напряму. Градієнт функції
- •Похідною функції в напрямку (де – точка, що лежить на промені ) називається , деі– значення функції в точкахі. Якщо функція– диференційовна, то має місце формула:
- •Наприклад. Знайти похідну функції в точців напрямку, що утворює з віссюкут в. Розв’язок. Визначимо частинні похідні іта обчислимо їх значення в точці:. Враховуючи, що,
- •11. Диференціювання складних функцій
- •12. Геометричні застосування диференціального числення функції двох змінних
- •13. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Семінарське заняття 7
- •2. Правило Лопіталя
- •3. Монотонність функції
- •4.Дослідження на екстремум
- •5. Вигнуті та увігнуті криві
- •6. Вертикальні та похилі асимптоти
- •7. Застосування похідної в економіці
- •Семінарське заняття 8
- •Умовний екстремум
- •3. Метод найменших квадратів
- •Таблиця 1
2. Поверхні обертання
Розглянемо поверхні обертання. Нехай в площині дана лінія:(рис.1).
0
Рис.1. Поверхня обертання
Будемо обирати цю лінію навколо осі . Нехай– довільна точка на поверхні обертання. Проведемо через цю точку площину, перпендикулярну до осі. В перерізі одержимо коло з центром в точці. При цьому. Помічаємо, що, і рівняння поверхні обертання має вигляд:. Отже, маємо такеправило: щоб одержати рівняння поверхні, утвореної обертанням ліній , яка лежить в площині, навколо осі, потрібно в рівнянні цієї лінії замінитина.
Наведемо кілька прикладів на поверхні обертання.
Приклад №1. Обертаючи еліпс навколо осі, одержимо:
;
навколо осі –. Це – еліпсоїди обертання. Якщо, одержуємо сферу.
Приклад №2. Обертаючи гіперболу , навколо осі, одержимо двопорожнинний (двополий) гіперболоїд обертання(рис.2). Якщо ж цю гіперболу обертати навколо осі, одержимо однопорожнинний (однополий) гіперболоїд обертання(рис.3).
0
Рис.2. Двопорожнинний гіперболоїд обертання |
0
Рис.3. Однопорожнинний гіперболоїд обертання |
Приклад №3. Обертаючи параболу навколо осі, одержуємо параболу обертання(рис.4).
0
Рис.4. Параболоїд обертання
3. Поверхні другого порядку
а) Еліпсоїд. Якщо еліпсоїд обертання навколо осі
перетнути площиною , в перерізі одержимо коло:.
Уявимо тепер фігуру, перерізи якої площинами виду – еліпси:
, тобто .
Виключаючи з системи рівнянь, одержимо, або– це рівнянняеліпсоїда. При одержуємо, зокрема,сферу. Якщо ,,, то еліпсоїд називається трьохосним. (рис.5).
б) Однополий гіперболоїд. Перетинаючи однополий гіперболоїд обертання площинами , в перерізах будемо одержувати кола(радіуси кіл дорівнюватимуть,). Уявимо тіло, в перерізі якого площинамиодержуються еліпси:
.
Такі еліпси описують поверхню, рівняння якої ми одержимо, виключивши з останньої останньої системи рівнянь:
.
Це – однополий гіперболоїд з на півосями (рис.6).
Рис.5. Еліпсоїд |
0
Рис.6. Однополий гіперболоїд
|
в) Двополий гіперболоїд. Перетинаючи двополий гіперболоїд обертання , одержаний при обертанні гіперболи навколо осі, площиною, в перерізі одержимо коло радіуса. Якщо замість кола розглядати еліпс , то цей еліпс при зміні у проміжкахтаописує двополу поверхню, рівняння якої одержимо, виключивши з системи:
Це – рівняння двополого гіперболоїда з напівосями . (рис.7)
0
Рис.7. Двополий гіперболоїд
г) Еліптичний гіперболоїд. Перетинаючи параболоїд обертання площиною, в перерізі одержимо коло.
Візьмемо замість кола еліпс ()
При змінівід 0 доцей еліпс описує поверхню, яка називаєтьсяеліптичним параболоїдом (рис.8). , або.
0
Рис.8. Еліптичний параболоїд
д) Гіперболічний параболоїд (рис.9) – це поверхня, рівняння якої
.
Площинаперетинає цю поверхню по параболі, а площина– по гіперболі.
z
x
y
Рис.9. Гіперболічний параболоїд
Зауважимо, що однополий гіперболоїд та гіперболічний параболоїд мають прямолінійні твірні, тобто можуть бути утворені завдяки рухові прямої. Цим користуються у будівництві для спорудження опор, башень, мачт.
До поверхонь другого порядку належить також згадані вище поверхні - конуси і циліндри (рис 10, 11).
Рис.10. Еліптичний циліндр |
Рис.11. Гіперболічий циліндр |
|
|