- •Змістовий модуль 2
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла Враховуючи означення невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця найпростіших інтегралів
- •4. Незалежність виду невизначеного інтеграла від вибору аргументу
- •6. Комплексні числа.
- •3. Інтегрування дробів
- •4.Інтегрування найпростіших ірраціональностей
- •5. Підстановки Ейлера
- •6. Інтегрування диференціальних біномів
- •7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Семінарське заняття 11
- •Тема 10. Визначений інтеграл. Невласні інтеграли. Кратні інтеграли
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Визначений інтеграл. Невласні інтеграли 1-го і 2-го роду
- •1. Визначений інтеграл та його геометрична інтерпретація
- •2. Властивості визначеного інтеграла
- •3. Формула Ньютона-Лейбніца
- •4. Наближене обчислення інтеграла
- •5. Невласні інтеграли першого і другого роду. Поняття про кратні інтеграли
- •Наприклад
- •Наприклад. Інтеграл – абсолютно збіжний інтеграл, оскільки, а– збіжний інтеграл (читачеві рекомендується перевірити це самостійно).
- •6. Застосування визначеного інтегралу
- •Економічні застосування інтегралів
- •Семінарське заняття 12
- •Тема 11. Числові ряди
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •2. Властивості збіжних рядів
- •Дійсно, якщо –– на частинна сума ряду (1), а–– на частинна сума ряду (2), то , і.
- •Якщо ряд (1) збігається, то його – ний член прямує до нуля при необмеженому зростанні.
- •Семінарське заняття 13
- •2. Інтервал і радіус збіжності.
- •3. Властивості степеневих рядів
- •Так, якщо
- •4. Ряди Тейлора і Маклорена. Приклади
- •Підкреслимо, що ряд Тейлора представляє дану функцію тільки тоді, коли(в противному випадку ряд може збігатися до іншої функції). Наведемо кілька важливих рядів Маклорена
- •Ряди по ортогональних функціях
- •Ряди Фур'є Функціональний ряд
- •Розглянемо ряд
- •2. Властивості функціональних рядів
- •Семінарське заняття 14
- •Тема 13. Загальні відомості про диференціальні рівняння. Деякі типи диференціальних рівнянь першого порядку
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 15
- •Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Рівняння виду
- •Семінарське заняття 17
- •Семінарське заняття 18
- •Тема 14. Диференціальні рівняння вищих порядків. Лдр вищого порядку з правою частиною спеціального виду
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •9.1. Основні поняття
Змістовий модуль 2
Інтеграли Ряди. Диференціальні рівняння
Семінарське заняття 9
Тема 9. Невизначений інтеграл. Комплексні числа
Питання для усного опитування та дискусії
9.1. Задача інтегрального числення. Первісна.
9.2. Невизначений інтеграл, його властивості. Таблиця інтегралів.
9.3. Заміна змінних та інтегрування по частинах у невизначеному інтегралі.
9.4. Комплексні числа, операції над ними.
Аудиторна письмова робота
Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.
Методичні вказівки
Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є: первісна, інтеграл, таблиця інтегралів, безпосереднє інтегрування, метод підстановки (заміни змінних), інтегрування по частинах, комплексне число, алгебраїчна форма комплексного числа, тригонометрична форма комплексного числа..
З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.
Невизначений інтеграл
Первісна функція, невизначений інтеграл
Основна задача диференціального числення – це знаходження похідної або диференціала заданої функції. Сформулюємо обернену задачу по заданій похідній або диференціалу деякої невідомої функції потрібно знайти цю функцію. Інакше кажучи, маючи абопотрібно знайти невідому функціюЦе – основна задача інтегрального числення.
Первісною функцією для даної функції на даному проміжку називається така функціяпохідна якої дорівнюєабо диференціал якої дорівнюєна розглядуваному проміжку.
Наприклад, однією з первісних для функції є функція, оскількиІншою первісною для цієї ж функції є функціяМає місце
Теорема. Дві різні первісні однієї й тієї ж функції, визначеної в деякому проміжку, відрізняються між собою в цьому проміжку на один і той же сталий доданок.
Дійсно, нехай та– різні первісні для функціївизначеної в деякому проміжку, так щов цьому проміжку. Але якщо дві функціїмають рівні похідніто вони розрізняються між собою на сталий доданок:
,
що і потрібно було довести.
Геометрично це означає, що коли та– дві первісні однієї й тієї ж функції, то дотичні до їх графіків при кожному значенніз даного проміжку паралельні між собою. Таким чином, віддаль міжтавздовж осізалишається сталою:(рис. 1).
|
|
|
|
| |
y
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
М2 |
y=F2(x) |
| |
|
|
с |
|
| |
|
|
|
| ||
|
|
М1 |
y=F1(x) |
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
0 |
x |
|
|
x | |
|
|
|
|
|
Рис. 1. та– первісні функції.
Отже, знайшовши одну яку-небудь первісну для даної функціїта додаючи до неї всі можливі сталі, одержуємо всі первісні для функції.
Спільний вираз для всіх первісних даної неперервної функції називаєтьсяневизначеним інтегралом від функції або від диференціального виразуі позначається так:(тут– підінтегральна функція, а– підінтегральний вираз).
Згідно з доведеним, деа– довільна стала.
Геометрично невизначений інтеграл – це сімейство “паралельних” кривих (Рис. 2)
y
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
0 |
|
|
x |
|
| |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2. Геометрична ілюстрація невизначеного інтеграла.