2. Випадкові явища та їх природа

Виявляється, що випадковими подіями керують об’єктивні закономірності.

Нехай, наприклад, дослідник підкидає монету, при цьому випадає або герб, або цифровий напис – це чисто випадкове явище. Але якщо підкидати монету багато разів, то можна що герб з’являється приблизно в половині випадків. Дослідник Ж.Л.Л. Бюфорон у 18 столітті 4040 разів підкинув монету. Герб при цьому випав 2048 разів. Математик К. Пірсон на початку 20-го століття підкидав монету 24000 раз. Герб випав 12012 раз. В 50-х роках 20-го століття американські дослідники зафіксували 4979 випадань герба при 10000 підкиданнях монети. Отже, в окремому випадку результат підкидання монети – випадкова подія, але при багаторазовому повторенні проявляє себе об’єктивний закон.

Яка ж природа випадкових явищ? Ніякий закон не характеризує явище всебічно, оскільки, вивчаючи це явище, ми завжди обмежуємося лише основними факторами, тобто будуємо модель. Відхилення від закономірності, яке викликане сумісною дією неврахованих факторів – це і є випадковість. Вивченню піддаються тільки такі випадкові явища, які можна спостерігати багато разів – це масові випадкові явища.

3. Предмет теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей вивчає закономірності масових однорідних випадкових явищ. Розділ теорії ймовірностей, що вивчає методи обробки результатів досліджень та одержання з них необхідних даних, називається математичною статистикою.

В теорії ймовірностей користуються такими термінами.

“Здійснюється сукупність умов ” – це означає, що “проводиться випробування”. В результаті випробування може з’явитися подія. Так, наприклад, підкидання монети – це випробування, а “випав герб” – це подія.

Випадковою називається подія, яка при здійсненні сукупності умов може або відбутися або не відбутися. Неможливою називається подія, яка точно не відбудеться, якщо буде здійснено сукупність умов . Достовірною називається подія, яка обов’язково відбудеться, якщо буде здійснено комплекс умов .

Події називаються несумісними, якщо однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.

Декілька подій утворюють повну групу, якщо в результаті випробування з’явиться хоча б одна одна із них. Якщо події утворюють повну групу та попарно несумісні, то в результаті випробування з’явиться одна і тільки одна подія.

Наприклад, при підкиданні грального кубика може випасти 1, 2, 3, 4, 5 або 6 очок. Це – несумісні події, які утворюють повну групу.

Події називаються рівноможливими, якщо ні одна з них не є більш можливою, ніж інша.

Наприклад, якщо студент, ідучи на екзамен, добре вивчив лише половину білетів, то події “попався щасливий білет” та “попався нещасливий білет” для нього рівноможливі.

4. Класичне означення ймовірності

Якщо студент іде на екзамен, знаючи 90 із 100 білетів, то можливість одержати “щасливий” білет для нього більша, ніж “нещасливий”. Цю можливість можна охарактеризувати числом, яке називається ймовірністю події.

Нехай подія А – це “попався щасливий білет” (випробування – це “студент взяв білет”). Кожен із можливих результатів випробовування називають елементарним результатом (або елементарною подією). Можливі 100 елементарних результатів:

–попався “щасливий” білет;

–попався “нещасливий” білет.

Ці результати отримують повну групу попарно несумісних подій; вони рівно можливі (білети старанно перемішані).

Ті елементарні результати, в яких дана подія з’являється, називаються сприятливими для цієї події (сприятливими є 90 результатів – ). Подія А спостерігається при появі одного з елементарних результатів випробувань (все одно, якого).

Ймовірністю події А називається відношення числа сприятливих цій події елементарних результатів випробувань до загального числа всіх рівноможливих елементарних результатів, що утворюють повну групу:

.

Отже, у нашому прикладі Р(А)=0,9.

Із означення випливають такі властивості ймовірності:

1) ймовірність достовірної події дорівнює одиниці (дійсно, і, отже, ).

2) ймовірність неможливої події дорівнює нулю (дійсно, , тому );

3) ймовірність випадкової події – це число, яке знаходиться в межах (дійсно, при , тобто ).

Отже, , де А – будь-яка подія.

Наведене вище означення ймовірності події було сформульоване Лапласом і називається класичним означенням.

Приклад. Знайти ймовірність події – А “при підкиданні двох гральних кубиків випало в сумі 8 очок”.

Розв'язування. При підкиданні двох кубиків можуть бути одержані такі рівноможливі результати:

І ІІ	І ІІ	І ІІ	І ІІ	І ІІ	І ІІ
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6	2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6	3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6	4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6	5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6	6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

Всіх можливих варіантів 36. Подія А відбувається у п’яти (виділених) рівноможливих випадках. Отже, .

Зауважимо, що при розв’язуванні задач на класичне означення ймовірності часто користуються правилами суми і добутку.

Правило суми. Якщо деякий об’єкт можна вибрати способами, а об’єкт – способами, причому ніякий вибір не збігається з жодним з виборів , то один з об’єктів або можна вибрати способами.

Наприклад, якщо в одному ящику є деталей, а в другому – деталей, то існує способів дістати з якого-небудь ящика одну деталь.

Правило добутку. Якщо об’єкт можна вибратиспособами і при кожному виборі об’єктуоб’єктможна вибратиспособами, то вибір париможна здійснитиспособами.

Так, у розглянутому вище прикладі про підкидання двох гральних кубиків загальне число рівноможливих варіантів (36) можна розраховувати за правилом добутку як .