- •1. Означення, границя та неперервність функції кількох змінних. Лінії та поверхні рівня. Приклади.
- •2. Частинні похідні функції кількох змінних. Градієнт та його геометричний зміст.
- •3. Повний диференціал функції кількох змінних. Диференціали вищих порядків.
- •4. Похідні складених і неявна заданих функцій.
- •5. Дотична площина та нормаль. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних.
- •6. Похідна за напрямом та її зв'язок з градієнтом.
- •7. Формула Тейлора для функції кількох змінних та її застосування.
- •8. Локальні та умовні екстремуми функції кількох змінних.
- •9. Загальне поняття диференціального рівняння першого порядку. Задача Коші. Рівняння, не розв'язані відносно похідної.
- •10. Наближене розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку.
- •11. Задача Коші для рівняння вищих порядків. Рівняння, які інтегруються в квадратурах та допускають знижений порядок.
- •12. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку.
- •13. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільної сталої.
1. Означення, границя та неперервність функції кількох змінних. Лінії та поверхні рівня. Приклади.
Число А називається границею функції z = f (x, y) у точці M0, якщо для будь-якої збіжної до M0 (x0, y0) послідовності точок M1, M2, ..., Mn, ... (Mn< >M0, Mn Є D) відповідна послідовність значень функції f(M1), f(M2), ..., f(Mn ), ... збігається до А. Коротко це записують так:
Функція z = f (x, y) називається неперервною в точці M0 , якщо границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто:
Лінією рівня називають множину точок з області визначення функції двох змінних, для яких вона має сталі значення. Приклад: побудуємо лінії однакового рівня функції . При C=0 маємо тобто x2+y2=100 (коло з радіусом r=10).
Поверхнею рівня скалярного поля називають геометричне місце точок, в яких значення функції поля f(x,y,z) однакове.
Рівняння поверхні рівня: f(x,y,z) = c.
2. Частинні похідні функції кількох змінних. Градієнт та його геометричний зміст.
Частинна похідна функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії. Часткова похідна функції f за змінною x записується так: fх або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної.Приклад: нехай ми маємо функцію і нам потрібно знайти частинну похідну по y. Тоді змінну x ми приймаємо за константу і знаходимо похідну. Похідна -.
Градієнтом функції 2 змінних називається вектор(grad f), який складається із часткових похідних. grad f=(df/dx;df/dy). Градієнт завжди показує напрям найбільш швидкого зростання функції(в заданій точці). Отже, градієнт завжди перпендикулярний лінії рівня.
3. Повний диференціал функції кількох змінних. Диференціали вищих порядків.
Повним диференціалом dz диференційованої в точці M функції називається лінійна відносно Δx та Δy частина повного приросту цієї функції в точці M, тобто dz=AΔx+BΔy. Диференціалами незалежних змінних x та y назвемо прирости цих змінних dx= Δx, dy= Δy. Тоді це саме можна записати так:
Диференціал вищого порядку. Нехай z=f(x,y) функція незалежних змінних x,y. Повний диференціал цієї функції dz=AΔx+BΔy, називають ще диференціалом першого порядку. Диференціал другого порядку визначають за формулою: d2z=d(dz). Це записують так:
Застосовуючи метод матиматичної індукції, можна дістати формулу для диференціала n-го порядку:
4. Похідні складених і неявна заданих функцій.
Нехай z=f(x,y) – функія двох змінних x та y, кожна з яких, в свою черг, є функцією незалежної змінної t: x=x(t); y=y(t), тоді функція f(x(t);y(t)) є складеною функцією змінної t. Теорема: Якщо функції x=x(t) та y=y(t) диіеренційовані в точці t, а функція z=f(x,y) диференційована в точці M(x,y), то складена функція z=f(x(t),y(t)) також диференційована в точці t. Похідну цієї фуекції знаходять за формулою:
Нехай задано рівняння F(x,y)=0, де F(x,y) – функція двох змінних. Коли кожному значенню x з деякої множини D відповідає єдине значення y, яке разом з x задовольняє рівняння F(x,y)=0, то кажуть, що це рівняння задає на множині D неявну функцію y=φ(x). Таким чином, для неявної функції y=φ(x), x є D, заданої рівнянням F(x,y)=0, має місце тотожність F(x, φ(x))=0, xєD. Для знаходження похідної неявно заданої функції користуються формулою: