1.Действие магнитного поля на проводники с током. Закон Ампера для элемента проводника с током в магнитном поле. Контур с током в магнитном поле (однородном и неоднородном)

Fa~I,dl ; Fa=F(α,β) ; d=dl˄ β

•Сила, действующая на элемент проводника с током , помещенного в магнитное поле (сила Ампера),

, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛОЙ где – вектор магнитной индукции поля.

где – угол между направлением векторов и .

•Полная сила, действующая на весь проводник с током, помещенный в магнитное поле с индукцией ,

. => Fa_|_dl; Fa_|_B

•Модуль силы Ампера, действующей на элемент проводника с током,

,

•Сила взаимодействия двух проводников с токами и (на единицудлины проводника)

,

где – магнитная постоянная, – расстояние между проводниками.

•Магнитный момент контура с током

,

где – магнитный момент; – сила тока; – площадь, ограниченная контуром; – вектор положительной нормали к контуру.

•Модуль магнитного момента

.

•Вращающий момент, действующий на контур с током, помещенный в магнитное поле,

где – вращающий момент; – магнитный момент; – вектор магнитной индукции поля.

•Модуль вектора вращающего момента

где – угол между векторами и .

Методические рекомендации

1. Применяя правило левой руки для нахождения направления силы Ампера в случае, если вектор магнитной индукции поля направлен под углом к направлению тока в проводнике, необходимо

направить в ладонь нормальную составляющую вектора .

2. Если на проводник с током кроме силы Ампера, действуют другие силы, то начинать решение задачи нужно с применения первого или второго законов Ньютона.

2. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в постоянном однородном магнитном поле (радиус траектории, период обращения, шаг спирали, траектории). Рассмотреть случаи: а) скорость v заряженной частицы, при ее попадании в постоянное магнитное поле, параллельна силовым линиям этого поля; б) – перпендикулярна вектору магнитной индукции В; в) – угол между векторами v и В, в момент попадания частицы в магнитное поле, равен α. Принцип действия МГД-генератора.

Основные формулы

•Сила, действующая на электрический заряд , движущийся со скоростью в магнитном поле

,

где – вектор магнитной индукции поля.

• Модуль силы, действующей на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле

, = Fa/N

где – модуль заряда частицы; – модуль вектора скорости; – модуль вектора индукции магнитного поля, – угол между векторами и .

• Направление силы определяется по правилу левой руки:

если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор магнитной индук-

ции , а четыре вытянутых пальца направить вдоль скорости движения положительного заряда (против направления движения отрицательного заряда), то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы, действующей на заряд.

•Если заряд движется в области, где существуют одновременно электрическое и магнитное поля, то на него действует полная сила

, формула называется формулой Лоренца.

А) Если заряженная частица движется вдоль линий магнитной индукции, сила Лоренца на нее не действует и характер ее движения не меняется.

Б) Если скорость частицы перпендикулярна линиям магнитной индуции, то частица движется по круговой траектории (рис. 23).

ПРОДОЛЖЕНИЕ 2.

период вращения частицы по окружности:

, где – масса частицы; – модуль скорости частицы; – модуль вектора

индукции магнитного поля; – модуль электрического заряда.

б) – перпендикулярна вектору магнитной индукции В; в) – угол между векторами v и В, в момент попадания частицы в магнитное поле, равен α. Принцип действия МГДгенератора.

В) Если угол между первоначальным направлением скорости частицы и линиями магнитной индукции не равен ни 0°, ни 90°, ни 180°, траектория движения частицы представляет собой винтовую линию, накручивающуюся на линии магнитной индукции

– тангенциальная составляющая скорости ; ; – нормальная составляющая скорости; ;

– шаг винтовой линии; .

Принцип работы МГД-генератора Магнитогидродинамический генератор представляет собой устройство, преобразующее кинетическую энергию электропроводящего потока, движущегося в поперечном магнитном поле, в электроэнергию. В потоке индуцируется электрическое поле с напряженностью Рабочим телом МГД-генератора могут служить следующие среды:

•Электролиты

•Жидкие металлы

•Плазма (ионизированный газ)

3. Эффект Холла для металла и его применение. Получить формулу, отражающую связь постоянной Холла с зарядом и концентрацией носителей заряда.

Эффе́кт Хо́лла — явление возникновения поперечной разности потенциалов (называемой также Холловским напряжением) при помещении проводника с постоянным током в магнитное поле. Открыт Э. Холлом в 1879 году в тонких пластинках золота.

В простейшем рассмотрении эффект Холла выглядит следующим образом. Пусть через металлический брус в слабом магнитном поле B течёт электрический ток под действием напряжённости E. Магнитное поле будет отклонять носители заряда (для определённости электроны) от их движения вдоль или против электрического поля к одной

из граней бруса. При этом критерием малости будет служить условие, что при этом электрон не начнёт двигаться по спирали.

Таким образом, сила Лоренца приведёт к накоплению отрицательного заряда возле одной грани бруска и положительного возле противоположной.

Связь между постоянной Холла и концентрацией носителей заряда

Наиболее распространенным методом определения концентрации свободных носителей заряда в полупроводниках является эффект Холла. Суть его состоит в следующем: пусть к прямоугольной пластинке полупроводника толщины d и ширины w в направлении х приложено электрическое поле Ех и протекает ток I (рис. 5.5). Если теперь в направлении z включить магнитное поле с индукцией B, то на движущиеся со скоростью дрейфа v электроны (дырки) будет действовать сила Лоренца

Рис. 5.5. Возникновение холловских напряжений в полупроводниках «-типа (слева) и p- типа (справа).

R = 1/qn. n-концентрация зарядов.

4. Работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле.

Для вычисления этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно дви-

гаться), который помещен в однородное внешнее магнитное поле, которое перпендикулярно плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера, рассчитывается по формуле

Под действием данной силы проводник передвинется параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, которая совершается магнитным полем, равна

так как ldx=dS — площадь, которую пересекает проводник при его перемещении в магнитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, который пронизывает эту площадь. Значит,

(1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Данная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Рассчитаем работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле.

Будем считать, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения перейдет в положение М', изображенное на рис. 2 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж или от нас) дано на рисунке. Контур М условно разобьем на два соединенных своими концами проводника: AВС и CDА.

Работа dA, которая совершается силами Ампера при иссследуемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников AВС (dA1) и CDA (dA2), т. е.

(2)

Силы, которые приложенны к участку CDA контура, образуют острые углы с направлением перемещения, поэтому совершаемая ими работа dA2>0. .Используя (1), находим, эта работа равна произведению силы тока I в нашем контуре на пересеченный проводником CDA магнитный поток. Проводник CDA пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ2, который пронизывает контур в его конечном положении. Значит,

(3)

Силы, которые действуют на участок AВС контура, образуют тупые углы с направлением перемещения, значит совершаемая ими работа dA1<0. Проводник AВС пересекает при своем движении поток

dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ1, который пронизывает контур в начальном положении. Значит,

(4)

Подставляя (3) и (4) в (2), найдем выражение для элементарной работы:

где dФ2—dФ1=dФ' — изменение магнитного потока сквозь площадь, которая ограничена контуром с током. Таким образом,

(5)

Проинтегрировав выражение (5), найдем работу, которая совершается силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:

(6)

значит, работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Выражение (6) верно для контура любой формы в произвольном магнитном поле.

5. Магнитное поле в веществе. Индукция магнитного поля в веществе. Молекулярные токи, токи намагничивания. Намагниченность. Связь намагниченности с индукцией магнитного поля ( B′), порожденного токами намагничивания.

Макротоками называются токи проводимости и конвекционные токи, связанные с движением заряженных макроскопических тел.

Микротоками (молекулярными токами) называют токи, обусловленные движением электронов в атомах, молекулах и ионах.

Характеризует магнитное поле в веществе вектор , равный геометрической сумме и магнитных полей:

Результирующее поле: В =B0 + B′.

Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная

величина – намагниченность , равная отношению магнитного момента малого объема вещества к величине этого объема:

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме можно обобщить на случай магнитного поля в веществе:

,

где и – алгебраическая сумма макро- и микротоков сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур L.

Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности Н. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности следующим выражением:

где μ0 — магнитная постоянная, μ — безразмерная величина — магнитная проницаемость среды, которая показывает, во сколько раз магнитное поле макротоков Н увеличивается за счет поля микротоков среды.

6. Циркуляция вектора намагниченности. Закон полного тока (теорема о циркуляции) в интегральной и дифференциальной формах для магнитного поля в веществе. Вихревой характер магнитного поля. Напряженность магнитного поля.

Сумма микротоков, охватываемых замкнутым контуром, равна циркуляции вектора намагниченности вдоль этого контура:

Теперь выражение для вектора циркуляции магнитной индукции можно переписать в другом виде:

Разделим обе части равенства на μ0 :

Отсюда, объединив интегралы, получим

Вектор обозначается буквой и называется напряженностью магнитного по-

ля.

Итак, мы получили . Это уравнение является обобщенным законом полного тока для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнит-

ного поля вдоль произвольного замкнутого контура равна сумме всех токов сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Вихревой характер магнитного поля:

Линии магнитной индукции непрерывны: они не имеют ни начала, ни конца. Это имеет место для любого магнитного поля, вызванного какими угодно контурами с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, получили название вихревых полей. Мы видим, что магнитное поле есть вихревое поле. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от электростатического.

7. Магнитная восприимчивость среды. Связь вектора намагниченности с напряженностью магнитного поля для изотропных магнетиков. Типы магнетиков. Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля, магнитная проницаемость и ее физический смысл в простейших случаях.

Намагничивание магнетика характеризуется магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагничения j.

Для элементарного объема dV магнетика вектор намагничения выразится соотношением:

где dРm – магнитный момент элемента объема магнетика.

Как показывает эксперимент, вектор намагничения связан с напряженностью магнитного поля в той же точке соотношения:

где χ – магнитная восприимчивость вещества.

В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики подразделяются на три группы: диа-, пара- и ферромагнетики.

Типы магнетиков:

Диамагне́тики — вещества, намагничивающиеся против направления внешнего магнитного поля. В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетики немагнитны. Под действием внешнего магнитного поля каждый атом диамагнетика приобретает магнитный момент ,а каждая единица объёма — намагниченность, пропорциональный магнитной индукции B и направленный навстречу полю.

По абсолютной величине диамагнитная восприимчивость мала, магнитная проницае-

мость и слабо зависят как от напряжённости магнитного поля, так и от температуры.

[= 10-11 – 10-10 м3/моль]

Парамагнетики — вещества, которые намагничиваются в направлении внешнего магнитного поля (J↑↑H) и имеют положительную магнитную восприимчивость. Парамагнетики от-

носятся к слабомагнитным веществам, единицы . [= 10-10 – 10-9 м3/моль] Ферромагнетик — такое вещество, которое, при температуре ниже точки Кюри, способно

обладать намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля. [= 103 – 108 м3/моль]

Антиферромагнетик — вещество, в котором установился антиферромагнитный порядок магнитных моментов атомов или ионов.

Ферримагне́тики — материалы, у которых магнитные моменты атомов различных подрешёток ориентируются антипараллельно, как и в антиферромагнетиках, но моменты различных подрешёток не равны, и, тем самым, результирующий момент не равен нулю. Ферримагнетики характеризуются спонтанной намагниченностью.

Магнитная проницаемость — физическая величина, коэффициент (зависящий от свойств среды), характеризующий связь между магнитной индукцией и напряжённостью магнитного поля в веществе. Для разных сред этот коэффициент различен, поэтому говорят о магнитной проницаемости конкретной среды.

В общем связь соотношение между магнитной индукцией и напряженностью магнитного

поля через магнитную проницаемость вводится как .

Магнитная проницаемость связана с магнитной восприимчивостью χ следующим образом:

.

Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля:

8. Система уравнений электромагнитного поля постоянного тока. Условия для компонент векторов B и

H на границе раздела двух магнетиков. Закон преломления линий магнитной индукции. Магнитная за-

щита.

В основе теории Максвелла лежат рассмотренные четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (ЕQ), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е = ЕQ + ЕB. Так как циркуляция вектора ЕQ равна нулю:

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D:

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, то формула (запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В:

Условия для компонент векторов B и H на границе раздела двух магнетиков.

Построим вблизи границы раздела магнетиков 1 и 2 прямой цилиндр ничтожно малой высоты, одно основание которого находится в первом магнетике, другое — во втором. Основания DS настолько малы, что в пределах каждого из них вектор В одинаков. Согласно теореме Гаусса,

(нормали n и n' к основаниям цилиндра направлены противоположно). Поэтому

(134.1)

Заменив, согласно В=m0mH, проекции вектора Н проекциями вектора В, деленными на m0m, получим

(134.4)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая вектора В (Вn) и тангенциальная составляющая вектора Н (Нt) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а тангенциальная составляющая вектора В (Bt) и нормальная составляющая вектора Н (Hn) претерпевают скачок.

Из полученных условий (134.1)—(134.4) для составляющих векторов В и Н следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются).

Как и в случае диэлектриков, можно найти закон преломления линий В (а значит, и линий Н):

(134.5)

Из этой формулы следует, что, входя в магнетик с большей магнитной проницаемостью, линии В и Н удаляются от нормали.

При внесении в магнитное поле замкнутого железного сосуда, например полого шара. В результате сложения внешнего магнитного поля с полем намагнитившегося железа поле во внутренней области шара почти исчезает. Этим пользуются для создания магнитной защиты или магнитной экранировки, т. е. для защиты тех или иных приборов от действия внешнего магнитного поля.

9) Орбитальный, спиновый и полный магнитные моменты электрона в атоме. Гиромагнитные отношения. Атом во внешнем магнитном поле (прецессия орбиты,

орбиты и вектора – орбитального магнитного момента электрона с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через ядро атома параллельно вектору индукции магнитного поля. Вещества намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления

поля, называются диамагнетиками.

Ларморовская частота=—|угловая| частота прецессии магнитного момента, помещённого в магнитное поле.

Диамагнетиками являются лишь те вещества, у которых при отсутствии внешнего магнитного поля сумма всех магнитных моментов равна нулю и единственным действием внешнего поля является наведение индуцированного магнитного момента атома , направленного против поля.

Продолжение 9

Если атом поместить во внешнее магнитное поле с индукцией (рис.12.1), то на электрон, движущийся по орбите, будет действовать

вращательный момент сил , стремящийся установить

магнитный момент электрона по направлению силовых линий

магнитного поля (механического момента - против поля).

Под действием момента силвекторы и совершают прецессионное движение вокруг направления вектора магнитной индук-

ции с угловой скоростью ωL, которую легко найти.

Как следует из рисунка, . За вре-

мя dt плоскость, в которой лежит вектор ,повернется вокруг

направления на угол откуда находим:

Или, с учетом значения гиромагнитного отношения Γ для орбиталь-

ного движения электрона,

.

Частоту ωL называют частотой ларморовой прецессии. Она не зависит от угла наклона орбиты α, радиуса орбиты r и скорости движения электрона по орбите – теорема Лармора (Larmor J., 1857-1942).

10) Природа парамагнетизма. Парамагнетики во внешнем магнитном поле. Зависимость магнитной восприимчивости парамагнетиков от температуры (закон Кюри).

Парамагнетизм - свойство веществ во внешнем магнитном поле намагничиваться в направлении этого поля, поэтому внутри парамагнетика к действию внешнего поля прибавляется действие наведенного внутреннего поля.

Парамагнетиками называются вещества, атомы которых имеют, в отсутствие внешнего магнитного поля, отличный от нуля магнитный момент Зависимость магнитной восприимчивости χ (соответственно и магнитной проницаемости

μ) от температуры для различных классов магнетиков отличается Для парамагнетиков

имеет место зависимость, определяемая закономχ = Кюри

где: C — постоянная Кюри, зависящая от свойств материала.

Закон Кюри — физический закон, описывает магнитную восприимчивость парамагнетиков, которая при постоянной температуре для этого вида материалов приблизительно прямо пропорциональна приложенному магнитному полю. Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности па-

рамагнетиков обратно пропорциональна температуре= :

Где: M — получаемая намагниченность материала; B— магнитное поле, измеренное в Теслах; T— абсолютная температура в Кельвинах; C— постоянная Кюри данного материала

11) Ферромагнетики.. Их свойства. Графики зависимостей намагниченности ферромагнетика, вектора магнитной индукции и магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля и их объяснение. Магнитный гистерезис. Точка Кюри. Структура ферромагнетиков. Применение ферромагнетиков в технике. Понятие об антиферромагнетиках, ферримагнетиках, ферритах.

ферромагнетик — такое вещество, которое, при температуре ниже точки Кюри, способно обладать намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля.

Свойства ферромагнетиков:

•Высокая относительная магнитная проницаемость (μ>>1), сложным образом зависящая от напряженности магнитного поля H . Поскольку μ =1+ χ, то магнитная восприимчивость χ>>1 и, кроме того, зависит от напряженности магнитного поля;

•Нелинейность зависимостей величин вектора намагничения J и индукции магнитного поля в ферромагнетике B от напряженности магнитного поля H.

•Наличие остаточной намагниченности после снятия внешнего магнитного поля и связанное с ней наличие гистерезиса в зависимостях J = J (H ) и B = B(H ) .

•Существование температуры, называемой точкой Кюри, при нагревании выше которой ферромагнетик теряет свои свойства и ведет себя как обычный парамагнетик.

•Явление магнитострикции, заключающееся в деформации ферромагнетика при намагничении.

При < зависимость магнитной индукции В от Н нелинейная, а при > – линейная(рис 1) Зависимость относительной магнитной проницаемости от Н(рис 2)

Петля гистерезиса – график зависимости намагниченности вещества от напряженности магнитного поля Н.

Точка Кюри -- температура перехода между ферромагнитным и парамагнитным состоянием.

При температуре ниже температуры Кюри, магнитные моменты электронов соседних атомов в ферромагнетике ориентированы параллельно. Ферромагнетик разбивается на отдельные области полной намагниченности, так называемые магнитные домены. Магнитные домены могут ориентироваться произвольным образом.

ферромагнитное тело может находиться в намагниченном состоянии, когда подавляющее число доменов имеет одинаковую ориентацию магнитных моментов. Намагниченный состояние может сохраняться, когда внешнее магнитное поле отсутствует.

Применение ферромагнетиков в технике: роторы генераторов и электродвигателей; сердечники трансформаторов, электромагнитных реле; в электронно-вычислительных машинах (ЭВМ), телефонах, магнитофонах, на магнитных лентах. На практике их применяют для катушек индуктивности, трансформаторов высокой частоты.

АНТИФЕРРОМАГНЕТИК - вещество, в к-ром установился антиферромагн. порядок магн. моментов атомов или ионов.

ФЕРРИМАГНЕ́ТИК, вещество, в котором при температурах ниже Кюри точки существует ферримагнитное упорядочение магнитных моментов ионов (см. Ферримагнетизм). Магнитная структура ферримагнетиков формируется за счет наличия двух или более подрешеток, ионы в которых имеют антипараллельную ориентацию.

ФЕРРИ́ТЫ, неметаллические твердые магнитные материалы (ферримагнетики), представляющие собой химические соединения оксидов главным образом переходных металлов с оксидом железа.

12) Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции. Правило Ленца.

Как известно, электрические токи порождают вокруг себя магнитное поле. Связь магнитного поля с током дала толчок к многочисленным попыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Эта фундаментальное открытие было блестяще сделано в 1831 г. английским физиком М. Фарадеем, который открыл явленение электромагнитной индукции. Оно говорит о том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного.

Приведем классические опыты Фарадея, с помощью которых было открыто явление электромагнитной индукции.

Опыт I (рис. 1а). Если в соленоид, который замкнут на гальванометр, вдвигать или выдвигать постоянный магнит, то в моменты его вдвигания или выдвигания мы видим отклонение стрелки гальванометра (возникает индукционный ток); при этом отклонения стрелки при вдвигании и выдвигании магнита имеют противоположные направления. Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движения магнита

относительно катушки. При смене в опыте полюсов магнита направление отклонения стрелки также изменится. Для получения индукционного тока можно оставлять магнит неподвижным, тогда нужно относительно магнита перемещать соленоид.

Опыт II. Концы одной из катушек, которая вставлена одна в другую, присоединяются к гальванометру, а через другую катушку пропускается ток. В моменты

включения или выключения тока наблюдается отклонение стрелки гальванометра, а также в моменты его уменьшения или увеличения, а также при перемещении катушек друг относительно друга (рис. 1б). Направления отклонений стрелки гальванометра также имею противоположные направления при включении или выключении тока, его увеличении или уменьшении, приближении или удалении катушек.

ЭДС электромагнитнойФ индукции в контуре пропорциональна скорости изменения

магнитного потока сквозь поверхность,=натянутую− Ф на этот контур(зак Фарадэя)

правило Ленца гласит, что возникающий в замкнутом контуре индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которое вызвало этот ток.

13) Причины возникновения ЭДС индукции при движении проводника (контура) и в неподвижном контуре. Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме.

Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле. Возникновение ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца= играет в этом случае роль сторонней силы.

2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике. Следовательно, электрическое поле, порожденное изменяющимся магнитным полем, не является потенциальным. Его называют вихревым электрическим полем. Представление о вихревом электрическом поле было введено в физику великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1861 г.

Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея. Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной: в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца; в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме задается второй уравне- ниям Максвелла = −

где E- напряженность электрического поля, B - магнитная индукция,

Электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля приводит к появлению электродвижущей силы.

14) Вывод основного закона электромагнитной индукции из закона сохранения энергии. Практическое применение явления электромагнитной индукции. Токи Фуко.

Закон Фарадея может быть выведен из закона сохранения энергии, как это впервые сделал Г. Гельмгольц. Возьмем проводник с током I, помещенный в однородное магнитное поле, которое перпендикулярное плоскости контура, и может свободно двигаться (см. рис. 1). Под действием силы Ампера F, направление которой показано на рисунке, проводник передвигается на отрезок dx. Значит, сила Ампера производит работу dA=IdФ, где dФ — пересеченный проводником

магнитный поток.

Используя закон сохранения энергии, работа источника2 тока за время dt ( EIdt ) будет

складываться из работы на теплоту Джоуля-Ленца ( Rdt) и работы по перемещению проводника= в магнитном+ Ф поле (IdФ):

где=R — −полнФое сопротивление контура. Значит

-(dФ/dt) = ξi

Явление электромагнитной индукции используется в генераторах электрического тока трансформаторах, динамо-машинах, счетчиках электроэнергии и т.д., то есть является основой производства и потребления электрической энергии.

Токи Фуко (вихревые токи) – это замкнутые электрические токи в массивном проводнике, возникающие при изменении пронизывающего его магнитного потока.

При этом величина возникающей электродвижущей силы в элементарном контуре зада-

ется законом электромагнитной индукции=(законом− Ф Фарадея):

Таким образом, токи Фуко являются индукционными токами, они образуются либо вследствие изменения во времени магнитного поля, в котором находится проводник, либо в результате движения проводящего тела в магнитном поле, приводящего к изменению магнитного потока через тело или какую-либо его часть. Токи Фуко замыкаются непосредственно в проводящей массе, образуя вихреобразные контуры. Направления вихревых токов определяются правилом Ленца. Согласно правилу Ленца, магнитное поле вихревого тока направленно так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока, индуцирующему эти вихревые токи.

15) Явление самоиндукции. Индуктивность. Индуктивность длинного соленоида.

Явление самоиндукции - частный случай электромагнитной индукции и, следовательно, для него справедливы все закономерности явления электромагнитной индукции. При этом:

•Изменяющееся магнитное поле индуцирует ЭДСиндукции в том же самом проводнике, по которому течет ток, создающий это поле.

•Вихревое магнитное поле препятствует нарастанию тока в проводнике.

•При уменьшении тока вихревое поле поддерживает его.

Индуктивность L зависит от свойств самого проводника (его формы, размеров, количества витков и т.п., а также магнитной проницаемости среды μ). Так магнитное поле катушки (соленоида) много сильнее магнитного поля прямого проводника при прочих равных условиях.

L не зависит от силы тока I, магнитного поля Ф и т.п.

Вычислим индуктивность бесконечно0 2 длинного соленоида. Полный магнитный поток сквозь соленоид

(потокосцепление) равен μ( I/l)S . Подставив в (1), найдем

= 0 2

т. е. индуктивность соленоида зависит от длины l соленоида, числа его витков N, его , площади S и магнитной проницаемости μ вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида.

16) Явление взаимной индукции и его применение в технике. Теорема взаимности, ее физический смысл.

Явление взаимной индукции находит полезное применение в различных аппаратах и машинах, например, для передачи энергии из одной электрической цепи в другую цепь либо для повышения или понижения напряжения при помощи трансформатора.

Иногда явление взаимной индукции может быть крайне нежелательным, например, если параллельно воздушной линии электропередачи расположена линия связи, то в последней может индуктироваться э. д. с. взаимной индукции, создающая помехи в работе линии связи.

Явление индуктирования ЭДС в одной цепи при изменении в другой цепи называется взаимной индукцией.

ком в контуре 2, равен магнитному потоку сквозь контур 2, созданный таким же током в контуре 1.

17. Токи замыкания и размыкания в RL-цепи.

При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, после чего в контуре появляются дополнительные токи. Значит, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи. Исследуем процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ , катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет

постоянный ток (пренебрегаем внутренним сопротивлением источника тока). В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет убывать, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающей препятствие, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток

в цепи задается законом Ома I= ξs/R, или (1)

Разделив в формуле (1) переменные, получим (dI/I) = -(R/L)dt . Интегрируя эту формулу по I (от I0 до I) и t (от 0 до t), найдем ln (I/I0) = –Rt/L, или (2)

где τ = L/R — постоянная, которая называется временем релаксации. Из (2) видно, что τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Значит, в процессе отключения источника тока сила тока уменьшается по экспоненциальному закону (2) и задается кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, значит, тем медленнее убывает ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоиндукции ξs = - L(dI/dt) оказывающая препятствие, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По зако-

ну Ома, IR = ξ+ξs или

Зададим переменную u = (IR - ξ) преобразуем эту формулу как где τ — время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –ξ . Значит, интегрируя по u и (от –ξ до

IR–ξ) и t (от 0 до t), найдем ln[(IR–ξ)]/(–ξ) = -t/τ,

где I0=ξ/R — установившийся ток (при t→∞).

Значит, в процессе включения источника тока увеличение силы тока в цепи определяется функцией (3) и кривой 2 на рис. 1. Сила тока увеличивается от начального значения I=0 и асимптотически стре-

мится к установившемуся значению I0=ξ/R . При этом, скорость нарастания тока задается тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока осуществляется тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и чем больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs , которая возникает при мгновенном нарастании сопротивления цепи постоянного тока от R0до R. Допустим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0=ξ/R . При размыкании цепи ток будет менеться

по формуле (2). Подставив в нее формулу для I0 и τ, найдем

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном возрастании сопротивления цепи (R/R0>>1), которая обладает большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз быть больше э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Значит, необходимо учитывать, что контур, который содержит индуктивность, нельзя резко размыкать, так как при этом (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и поломке измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции больших значений не достигнет.

18. Магнитная энергия тока. Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R полное сопротивление цепи, то за время t выделится количество теплоты Q = I2R t.

Ток в цепи равен

Выражение для Q можно записать в виде

Q = –LI I = –Φ(I) I.

В этом выражении I < 0; ток в цепи постепенно убывает от первоначального значения I0 до нуля. Полное количество теплоты, выделившейся в цепи, можно получить, выполнив операцию интегрирования в пределах от I0 до 0. Это дает

Эту формулу можно получить графическим методом, изобразив на графике зависимость магнитного потока Φ(I) от тока I (рис. 1.21.2). Полное количество выделившейся теплоты, равное первоначальному запасу энергии магнитного поля, определяется площадью изображенного на рис. 1.21.2 треугольника.

Рисунок 1.21.2. Вычисление энергии магнитного поля Таким образом, энер-

гия Wммагнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна

Применим полученное выражение для энергии катушки к длинному соленоиду с магнитным сердечником. Используя приведенные выше формулы для коэффициента самоиндукции Lμ соленоида и для магнитного поля B, создаваемого током I, можно получить:

где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная энергия локализована не в витках катушки, по которым протекает ток, а рассредоточена по всему объему, в котором создано магнитное поле. Физическая величина

равная энергии магнитного поля в единице объема, называется объемной плотностью магнитной энергии. Дж. Максвелл показал, что выражение для объемной плотности магнитной энергии, выведенное здесь для случая длинного соленоида, справедливо для любых магнитных полей.

19. Магнитная энергия тока. Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля.

Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея =–dФ/dt следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению э.д.с. индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Следовательно, возникновение э.д.с. эл.-маг. индукции возможно и в неподвижном контуре,находящемся в переменном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы (неэлектростатического происхождения). Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре; их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, т.к. они на неподвижные заряды не действуют. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле. Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле ЕB, циркуляция которого, по

где ЕBl — проекция вектора ЕB на направление dl.

(1)Подставив в формулу выражение ,получим

Если поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами. Следовательно,

где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл ∫ BdS является

S

функцией только от времени. Согласно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его EQ) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

(3) Сравнивая выражения (1) и (3), видим, что между рассматриваемыми полями (EB и ЕQ) имеется

принципиальное различие циркуляция вектора EB в отличие от циркуляции вектора EQ не равна нулю. Следовательно, электрическое поле EB, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

Ток смещения

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то существует и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор. Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники. По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I) и смещения (Iсм) равны: Iсм =I. Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

(поверхностная плотность заряда σ на обкладках

(4) равна электрическому смещению D в конденсаторе. Подынтегральное выражение в (4) можно рассматривать как част-

ный случай скалярного произведения когда и dS взаимно параллельны. Поэтому для общего случая можно записать:

Сравнивая это выражение с , имеем(5)

Продолжение 19

Выражение (5) и было названо Максвеллом плотностью тока смещения.

Рассмотрим, каково же направление векторов плотностей токов проводимости и смещения j и jсм. При зарядке конденсатора (рис.а) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой; поле в конденсаторе усиливается;

(рис.б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой; поле в конденсаторе ослабляется; следовательно, <0, т. е. вектор направлен противоположно вектору D.

Однако вектор направлен опять так же, как и вектор j. Из примеров следует, что направление

формулы (5). Подчеркнем, что из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения создает в окружающем пространстве магнитное поле (линии индукции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке конденсатора показаны штриховыми линиями). В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Т.к., согласно,

D=ε0E+P, где Е - напряженность электростатического поля, Р - поляризованность, то плотность тока смещения

ляризации, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике. Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, т.к. токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что и другая часть плотности тока сме-

щения , не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электриче-

ского поля во времени, также возбуждает магнитное поле, является принципиально новым утверждением Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля приводит к возникновению в окружающем пространстве магнитного поля.

Следует отметить, что «ток смещения» по своей сути - это изменяющееся со временем электрическое поле. Ток смещения поэтому существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения подтверждено экспериментально А.А. Эйхенвальдом, изучавшим магнитное поле тока поляризации, который, как следует из (6), является частью

тока смещения. Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного тока

Введя понятия тока смещения и полного тока, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению замкнутости цепей переменного тока. Полный ток в них всегда замкнут,

т. е. на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости. Максвелл обобщил тео-

∫ jполнdS сквозь поверх-

S

ность S, натянутую на замкнутый контур L. Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора Н

запишется в виде

20. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Классификация электромагнитных явлений. Значение теории Максвелла.

Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено. В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (ЕQ), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е = ЕQ + ЕB. Циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D:

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью ρ, то формула запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В :

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь ( несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где ε0 и µ0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и µ — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, γ — удельная проводимость вещества. Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами, либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Продолжение 20

Для стационарных полей (E=const и B=const) уравнения Максвелла примут вид

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля. Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему уравнении Максвелла в дифференци-

альном форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла - интегральная и дифференциальная - эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия.

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости). Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образу-

ют единое электромагнитное поле.

21. Баланс энергии электромагнитного поля, теорема Пойтинга. Баланс энергий электромагнитного поля.

Как и любая форма материи, электромагнитное поле обладает энергией, которая может распространяться в пространстве и преобразоваться в другие виды энергии.

Сформулируем уравнение баланса электромагнитного поля применительно к некоторому объему V, ограниченному

поверхностью S. Пусть, в этом объеме, за счет сторонних источников, выделяется электромагнитная энергия. Из общефизических соображений, очевидно, что мощность сторонних источников будет расходоваться на потери, на изменение энергии и частично будет рассеиваться на поверхности S, уходя во внешнее пространство.Будем полагать, что среда в объеме V однородная и изотропная. Мощность в объеме V выделяется за счет протекания сторонних токов, в дальнейшем будем пользоваться известными материальными уравнениями:

(1)

; ; ; (2)

Материальные уравнения в форме (2) не позволяют учесть потери связанные с явлением поляризации и намагничивания вещества. Уравнение баланса в форме (1) дает качественное представление о балансе энергии. Для получения уравнения необходимо перейти к векторам электромагнитного поля, т.е. воспользоваться уравнениями Максвелла.

В левой части стоит мощность, выделяемая сторонними токами в объеме V. Ток проводимости, который представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц, отдает энергию электромагнитного поля, если частицы попадают в тормозящее электромагнитное поле. Для того, чтобы электромагнитное поле было тормозящим необходимо чтобы скалярное произведение

удовлетворяло следующему условию: .

−При этом= ∫ леваяП часть+ становится положительной величиной.– убыль электромагнитной энергии

где: П – поток вектора пойтинга

p – мощность характеризующая всю совокупность процессов преобразования электромагнитной энергии в другие виды энергии.

22. Относительный характер электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля. Преобразование компонент электромагнитного поля при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Инварианты электромагнитного поля.

Инварианты электромагнитного поля

Поля E и B при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуются в согласии с формулами (7.17). Из них можно образовать комбинации, которые не меняются при преобразованиях Лоренца – инварианты электромагнитного поля.

В справедливости данного утверждения можно убедиться, проведя преобразования полей по формулам (7.17) и вычислив инварианты (7.20).

Из инвариантности величин (7.20) следует:

1.Если векторы электрического и магнитного полей ортогональны друг другу в какой-то системе отсчета, то они будут ортогональны и в другой системе отсчета.

2.Если модули векторов электрического и магнитного полей равны друг другу в какой-то системе отсчета, то они будут равны и в другой системе отсчета.

3.Неравенства E > B , E < B сохраняются при переходе от одной системы от-

счета к другой.

4.Если векторы полей образуют в одной из систем отсчета тупой (острый) угол, то они образуют тупой (острый) угол и в другой системе.

5.Особый интерес представляет случай, когда I1 = I2 = 0. В этом случае вектора

перпендикулярны друг другу и равны по модулю. Это свойство векторов остается справедливым для всех систем отсчета. Данный случай соответствует плоской электромагнитной волне.

23. Условие квазистационарности электромагнитного процесса. Квазистационарные токи.

Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содержащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам которого приложено переменное напряжение

выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:

где амплитуда силы тока Im= Um/R.

Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряжениями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока Im и напряжения Um на резисторе (сдвиг фаз между Im и Um равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью

L (R→0, C→0) (рис. 2, а). Если в цепи приложено переменное напряжение (1), то в ней потечет переменный ток, в результате

называется реактивным индуктивным сопротивлением (или индуктивным сопротивлени-

ем). Из выражения (5) вытекает, что для постоянного тока (ω = 0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подстановка значения Um=ωLIm в выражение (2) с учетом (3) приводит к

следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности: (6). Сравнение выражений (4) и (6) приводит к выводу, что падение напряжения UL опережает по

фазе ток I, текущий через катушку, на π/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 2, б).

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R→0,

L→0) (рис. 3, в). Если переменное напряжение (1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлени-

ем подводящих проводов можно пренебречь, то Сила тока

Продолжение 23

Величина называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением). Для постоянного тока (ω = 0) RС = ∞, т. е. постоянный ток через конденсатор

Сравнение выражений (7) и (8) приводит к выводу, что падение напряжения UС отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на π/2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 3, б).

4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. На рис. 4, а представлен участок цепи, содержащий резистор

сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, к концам которого приложено переменное напряжение (1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL и UC. На рис. 4, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL) и конденсаторе (UC). Амплитуда Um приложенного напряжения должна быть равна векторной

сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 4, б, угол ϕ определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (9)

Из прямоугольного треугольника полу-

амплитуда силы тока имеет значение

(10)

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону

U = Um cos ω t, то в цепи течет ток

(11)

где ϕ и Im определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина

(12) называется полным сопротивлением цепи, а величина

– реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений UR и UL в сумме равны приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 5, из которого следует, что

(13)

Выражения (9) и (10) совпадают с (13), если в них 1/(ωC)=0, т.е. С=∞. Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С=∞, а не С=0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстояние между обкладками

стремится к нулю, а емкость — к бесконечности.

24. Свободные незатухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение. Характеристики свободных незатухающих колебаний. Формула Томсона. Волновое сопротивление.

Колебательный контур (рис.1) представляет собой замкнутую электрическую цепь, состоящую из катушки индуктивности L и конденсатора С, в которой могут возбуждаться электрические колебания. Свойства колебательного контура во многом аналогичны свойствам механических колебательных систем. В частности, электрические колебания также сопровождаются попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида, свободные электрические колебания затухают со временем, а в случае вынужденных электри-

ческих колебаний наблюдается явление резонанса. Благодаря своим свойствам, колебательный контур широко используется на практике – он является одним из основных элементов радиотехнических устройств.

Возникновение колебаний в контуре. Если разомкнуть цепь колебательного контура и от внешнего источника зарядить конденсатор, то на его обкладках возникнут разноименные заря-

ды и , а между обкладками – электрическое поле, энергия которого равна

,(1) где – разность потенциалов (напряжение) между обкладками*.

При замыкании цепи контура конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности и его заряд уменьшается. При этом сила тока в контуре нарастает (по аб-

солютной величине) постепенно из-за возникновения в катушке э.д.с. самоиндукции , которая (согласно правилу Ленца) препятствует изменению тока:

(2) В момент времени (Т - период колебаний), когда конденсатор разря-

дится полностью (q = 0), сила тока достигнет своего максимального значения -, и энергия электрического поля полностью превратится в энергию магнитного поля катушки:

Хотя разность потенциалов между обкладками конденсатора в этот момент будет равна нулю, ток в цепи не прекратится мгновенно, так

(3)как его уменьшение приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции, поддерживающей движение зарядов в прежнем направлении.

Вмомент времени заряды на обкладках конденсатора достигнут прежней максимальной

величины, но поменяются знаками. В этот момент , и энергия магнитного поля полностью превратится в энергию электрического поля. Затем снова начнется разряд конденсатора, но ток

в контуре будет иметь обратное направление*. В момент конденсатор разрядится, и вновь из-за э.д.с. самоиндукции, возникающей в катушке, начнется его перезарядка. В момент

времени заряд конденсатора станет равным по величине и знаку своему первоначальному значению (при t = 0), после чего описанные выше процессы будут периодически повторяться – в контуре возникнут непрерывные периодические изменения величин заряда и тока, т.е. электрические колебания. Так как внешнее напряжение к контуру не приложено, то имеют место так называемые свободные (или собственные) колебания.

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре при отсутствии потерь энергии,

известно из курса физики средней школы, где оно было получено на основе закона сохранения энергии.

Продолжение 24

Получим это уравнение с помощью второго правила Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма падений напряжений на каждом из элементов замкнутого контура равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре. На основании второго правила Кирхгофа для рассматриваемого колебательного контура можно записать:

Поделим это равенство на и, учитывая, что , получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение заряда конденсатора во времени:

. (4 б)

Если обозначить как , уравнение (4 б) примет вид

. (4в)

Решением этого уравнения является функция

, (5)

показывающая, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с циклической (угловой) частотой

, (6)

называемой собственной частотой колебательного контура. Период колебаний равен (формула Томсона)

. (7)

Напряжение на конденсаторе и ток в контуре также изменяются по гармоническому закону:

, (8)

. (9)

Из формул (5), (8), (9) видно, что колебания заряда (или напряжения) и тока сдвинуты по фазе

на ; ток достигает максимального значения, когда заряд и напряжение равны нулю, и наоборот (см. рис.2).