OVM_geometr

3. Общие понятия аналитической геометрии

3.1. Декартова система координат

Выберем на плоскости точку O – начало системы координат. Проведем через нее две направленные взаимно перпендикулярные прямые OX и OY – координатные оси. Точка O разбивает каждую ось на две полуоси – положительную и отрицательную. Ось OX называется осью абсцисс, ось ОУ – осью ординат. Положительные полуоси на чертеже отметим стрелками. Вдоль каждой из осей выберем масштабную единицу. Построенная таким образом система координат называ-

ется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (рис. 1). Плоскость, на которой задана декартова прямоугольная система координат, называется плоскостью

OXY.

Рис. 1. Декартова система координат на плоскости

Каждой точке M плоскости OXY поставим в соответствие пару чисел (xM, yМ) по следующему правилу: через точку M проведем прямую, параллельную оси OY, которая пересечет ось абсцисс OX в точке с координатой xM (рис. 1). Число xM называется абсциссой точки M. Аналогично через точку M проведем прямую, параллельную оси OX, которая пересечет ось ординат OY в точке с координатой yM (рис. 1). Число yM называется ординатой точки M. Пара чисел (xM, yМ) представляет собой декартовы координаты точки M относитель-

44

но выбранных осей координат. Координаты точки M записываются в круглых скобках рядом с буквенным обозначением

точки М(xM, yМ).

Аналогично построим декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Выберем в пространстве точку O

– начало системы координат и проведем через нее три попарно перпендикулярные прямые OX, OY, OZ. На каждой из прямых обозначим положительную (стрелкой) и отрицательную (без стрелки) полуоси. Вдоль каждой из осей выберем масштабную единицу. Плоскость, проходящая через оси OX, OY, снабженная декартовой системой координат (рис. 2) называется координатной плоскостью OXY. Плоскость, проходящая через оси OX, OZ, снабженная декартовой системой координат (рис. 2) называется координатной плоскостью OXZ. Плоскость, проходящая через оси OY, OZ, снабженная декартовой системой координат (рис. 2) называется координатной плоскостью OYZ. Набор объектов: начало координат O, координатные оси OX, OY, OZ вместе с единицей измерения длины и координатные плоскости OXY, OXZ, OYZ представляют со-

бой декартову систему координат OXYZ в пространстве.

Рис. 2. Декартова система координат в пространстве

45

Каждой точке M пространства поставим в соответствие тройку чисел (xM, yМ, zM): проведем через точку M плоскость, параллельную координатной плоскости OYZ (рис. 2), которая пересекает ось OX в точке с координатой xM, называемой абсциссой точки M. Аналогично определяются координаты yМ и zМ точки M, называемые соответственно ординатой и аппликатой точки M. Точка M со своими координатами запи-

сывается:M(xM, yМ, zM).

Найдем расстояние между двумя точками. Пусть на плос-

кости OXY даны две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Пусть x1 x2 и y1 y2. Проведем через точки M1 и M2 прямые, парал-

лельные осям координат OY и OX соответственно (рис. 3). Пусть M – точка пересечения этих прямых, тогда

MM1 = |y1 – y2|, MM2 = |x2 – x1|.

Рис. 3

Расстояние между точками M1(x1, y1) и M2(x2, y2) равно длине гипотенузы M1M2 прямоугольного треугольника M1MM2.

Применив рассуждения аналогичные изложенным выше,

Упражнения 3.1

1.Среди точек A(2,1,4), B(– 1,0,3), C(1,– 2,3) укажите две наиболее удаленные друг от друга.

2.Найти площадь треугольника, вершины которого нахо-

дятся в точках A(– 2,3), B(– 2,7), C(4,3).

3.Найти периметр треугольника, вершинами которого яв-

ляются точки A(2,3), B(– 4,8), C(– 1,5).

4.Найти координаты точек, симметричных точкам А(2,3),

B(– 3,2), C(– 1,1), D(– 3,– 5), E(– 4,– 6); F(a, b): а) относитель-

но оси ОX; б) относительно оси ОY.

5.Найти координаты точек симметричных точкам A(3, 3),

B(2, – 4), C(2, 1), D(5, –3), E(–5, – 4), F(a, b) относительно на-

чала координат.

Тест

1. Какая из точек со своими координатами задает точку плоскости: а) A(2), б) B(1, 2), в) C(1, 2, 3), г) D(1, 2, 3, 4), д) Е(1, 2, 3, 4, 5)?

2. Какая из точек со своими координатами задает точку трехмерного пространства: а) A(2), б) B(1, 2), в) C(1, 2, 3),

г) D(1, 2, 3, 4), д) Е(1,2,3,4,5)?

3. Расстояние меду точками М1(0,0) и М1(– 1, – 1) равно:

а) 1, б) 2, в) -2, г) 2, д) 2.

4. Расстояние от начала координат до точки М1(– 1,0, – 1) равно: а) 1, б) 2, в) – 2, г) 2, д) 2.

5. Расстояние от точки М1(6,2) до оси OX равно: а) 2, б) 6,

в) 40, г) 8, д) 4.

3.2. Вектор

Пусть на плоскости (в пространстве) даны две произвольные точки A и B. Если они не совпадают, то задают некоторый ненулевой отрезок. Возьмѐм точку A в качестве начала, а точку B – в качестве конца отрезка. Такой отрезок AB называется направленным отрезком и обозначается . Если A и B совпадают, направленный отрезок называется нулевым и обозначается 0.

47

Длина направленного отрезка , обозначаемая , есть длина одноимѐнного ненаправленного отрезка AB. Число, называют также модулем направленного отрезка .

Ненулевые направленные отрезки и , лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными, если фигура ABDC – трапеция или параллелограмм (рис. 4), и про-

тивоположно направленными, если ABDC не является четы-

рехугольником (рис. 5). Нулевой вектор (нулевой отрезок) считается сонаправленным любому вектору (направленному отрезку).

Два направленных отрезка и называются равными, или эквивалентными, если они сонаправлены и длины их равны. Все нулевые направленные отрезки считаются равными.

Множество всех равных между собой направленных отрезков называется вектором (плоскости или пространства) (рис. 6). Если направленный отрезок порождает вектор , пишут = . Длина вектора есть длина любого из порождающих его отрезков.

Два вектора, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными. Два ненулевых вектора, лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными или ортогональными. Нулевой вектор можно считать ортогональным любому вектору.

Геометрической проекцией вектора на ось OX назы-

вается вектор , где точки начала и конца вектора яв-

48

ляются соответственно проекциями точек начала и конца век-

тора на ось OX (рис. 7). Алгебраической проекцией xa векто-

ра на ось OX называется длина вектора , взятая со знаком плюс или минус, в зависимости от того, совпадает ли направление вектора с положительным направлением оси OX или противоположно ему. Аналогично вводятся понятия геометрической проекции и алгебраической проекции ya вектора на ось OY. Координаты вектора суть его алгебраические проекции на оси OX и OY соответственно. Вектор со своими координатами записывается ( , ). Координаты нулевого вектора равны нулю. Вектор с началом в точке А(xА,yА) и концом в точке В(xB,yB) имеет координаты (xB – xA, yB – yA).

Утверждение. Два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты соответственно равны.

Понятие вектора и связанные с ним определения обобщаются на случай пространства.

Длина вектора ( , ) на плоскости находится по фор-

муле:

= 2 + 2,

длина вектора ( , , ) в пространстве по формуле

= 2 + 2 + 2.

Над векторами вводятся следующие арифметические опе-

рации: сложение, вычитание и умножение на число.

Сначала рассмотрим построение суммы и разности векто-

ров по правилу треугольника. Суммой векторов и , таких

49

что начало вектора совпадает с концом вектора , является вектор с (с = + ), начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора (рис. 8). Разностью векторов и , называется вектор ( = – ), такой что

= + .

Сумму и разность векторов можно построить также по

правилу параллелограмма.

Суммой векторов и , начала которых совмещены, является вектор с с тем же началом, совпадающий с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы и(рис. 9).

является вектор , совпадающий с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы и , начало находится в конце вектора , а конец в конце вектора (рис. 8).

Координаты вектора с – суммы векторов ( , ) и

( , ) – равны сумме одноименных координат этих векто-

ров (рис. 8): с + , + , а координаты вектора –

разности векторов и – равны разности одноименных ко-

ординат векторов и : − , − .

Пример. На рисунке 8 изображен вектор (3,2) и вектор(3, −4). Вектор с = + имеет соответственно координаты

с 3 + 3, 2 + −4 = с 6, −2 .

50

Произведением ненулевого вектора на действительное число k ≠ 0 (множитель) называется такой вектор = (произведение), длина которого равна произведению длины вектора на модуль числа k, а направление совпадает с направлением вектора , если k > 0, и противоположно ему, если k < 0 (рис. 9). Если же k = 0, то произведение есть нулевой вектор.

Рис. 9. произведение вектора на число

Если ( , ) и = , тогда координаты вектора вычисляются как произведение одноименных координат вектора на число k: ( , ). Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Свойства операций над векторами.

Пусть и и с векторы, а k ,m – произвольные действительные числа, тогда

1.Свойства нулевого вектора: + 0 = , + (− ) = 0.

2.Перестановочное свойство: + = + , = .

3. Свойства сочетательности: + + = + + ,

= ( ) .

4.Свойство распределительности по отношению к числовому множителю: + = + .

5.Свойство распределительности по отношению к векторному множителю: + = + .

Коллинеарными называются ненулевые векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной и той же прямой. Обозначаются: || . Таким образом, коллинеарные векторы могут иметь либо одинаковое направление (сонаправленные

51

векторы) или противоположное (противоположно направленные векторы). Нулевой вектор принято считать коллинеарным с любым вектором.

В пространстве векторы называются компланарными, если они лежат на параллельных или совпадающих плоскостях (т.е. если они параллельны одной плоскости).

Утверждение (условие коллинеарности). Всякий вектор коллинеарный ненулевому вектору можно представить единcственным образом в виде произведения вектора на

пропорциональности соответствующих координат:

= = .

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и

называется угол между порождающими их направленными отрезками с общим началом. На рисунке 10 углом между векторами и является угол ВАС = между направленными отрезками и .

Рис. 10. Угол между векторами

Скалярным произведением вектора на вектор называ-

ется действительное число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

52