- •Дисциплина
- •Неопределенный, определенный, несобственный интегралы
- •Неопределенный интеграл
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •1.5. Метод подстановки (замена переменной)
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •1.8. Интегрирование рациональных функций
- •Определенный интеграл
- •2.3. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •2.5. Несобственные интегралы
- •2.5.1. Интегралы с бесконечными пределами
- •2.5.2. Интегралы от непрерывных функций
Дисциплина
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Неопределенный, определенный, несобственный интегралы
I. |
Неопределенный интеграл………………….………..……..……… |
|
1.1. |
Первообразная функция и неопределенный интеграл……………… |
|
1.2. |
Простейшие свойства неопределенного интеграла……….……..... |
|
1.3. |
Таблица основных интегралов……………………………………..... |
|
1.4. |
Непосредственное интегрирование……………………………...….. |
|
1.5. |
Метод подстановки (замена переменной)………………..………… |
|
1.6. |
Интегрирование по частям…………………………………..……… |
|
1.7. |
Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен…………………………….. |
|
1.8. |
Интегрирование рациональных функций……………………………. |
|
1.9. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций…………… |
|
1.10. |
Интегрирование тригонометрических функций…………………… |
|
|
|
|
II. |
Определенный интеграл……………….....……………………….... |
|
2.1. |
Определенный интеграл как предел интегральной суммы…………………...……………………………………………… |
|
2.2. |
Простейшие свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница…………………………………………………... |
|
2.3. |
Замена переменной в определенном интеграле..……………………. |
|
2.4. |
Интегрирование по частямв определенном интеграле………..…………………………………………………….. |
|
2.5. |
Несобственные интегралы………………………………………….. |
|
|
|
|
Неопределенный интеграл
Первообразная функция и неопределенный интеграл
В дифференциальном исчислении одной из основных задач является нахождение производной или дифференциала от данной функции :
или
.
В интегральном исчислении основной является обратная задача – отыскание функции по заданной ее производнойили дифференциалу, т.е. для данной функциинадо найти такую функцию, что
или
.
Функция , производная которой равна, а дифференциалназываетсяпервообразной функциейдля функции.
Приведем примеры.
1) Если , то первообразная будет, так как.
2) Если , то, так как.
Заметим, что если – первообразная функция для функции, то и(–произвольная постоянная) есть также первообразная функция, так как
.
Например, пусть , тогдабудет первообразной функцией для данной функции, так как
.
Общее выражение совокупности всех первообразных функций для данной непрерывной функцииназываетсянеопределенным интегралом от функциии обозначается символом, где. Функцияназываетсяподынтегральной функцией,–подынтегральным выражением.
Задача состоит в нахождении хотя бы одной первообразной, что достигается путем интегрирования. При этом следует иметь в виду, что правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
Простейшие свойства неопределенного интеграла
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:
.
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
или .
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной , т.е.
или .
V. Если справедливо равенство, то справедливым будет и соотношение:
.