Danilyuk_20TV_20i_20MS

2

З М І С Т

ВСТУП _____________________________________________________

РОЗДІЛ 1. Випадкові події _________________________________________4

1.1.Класифікація подій ___________________________________4

1.2.Основні комбінаторні формули _________________________6

1.3.Класичне визначення ймовірності _______________________9

1.4.Статистичне визначення ймовірності ___________________13

1.5.Теореми додавання і множення ймовірності______________14

1.6.Умовна ймовірність і формула повної ймовірності ________18

1.7.Формула Байєса _____________________________________21

РОЗДІЛ 2. Повторення випробувань ______________________________24

2.1.Формула Бернуллі _______________________________________24

2.2.Теореми Лапласа ________________________________________26

2.3.Теорема Пуассона _______________________________________29

РОЗДІЛ 3. Випадкові величини ____________________________________30 3.1. Поняття випадкової величини. Дискретні випадкові

величини __________________________________________________________30 3.2. Функція розподілу (інтегральна функція) і щільність

розподілу (диференціальна функція)___________________________________33

3.3.Числові характеристики випадкових величин _____________________38

3.4.Деякі розподіли ймовірностей _____________________________43

3.5.Нормальний розподіл ____________________________________47

3.6.Системи випадкових величин _____________________________49

РОЗДІЛ 4. Елементи математичної статистики _______________________51

4.1.Поняття статистичної вибірки. Варіаційний рід ______________51

4.2.Вибіркові характеристики

(вибіркові середня і дисперсія)________________________________________54

4.3.Інтервальні оцінки _______________________________________58

4.4.вибірковій коефіцієнт кореляції і рівняння

прямої лінії регресії _________________________________________________60

3

ВСТУП

Предмет теорії ймовірностей. Події (явища), які ми повсякденно спостерігаємо, можна розділити на наступні три види: достовірні, неможливі і випадкові.

Достовірною називають подію, яка обов’язково відбудеться, якщо буде здійснена відповідна сукупність умов. Наприклад, якщо в колбі міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 200, то подія “вода в колбі знаходиться в рідкому стані” є достовірна. Задані атмосферний тиск і температура води складають сукупність умов, при яких відбувається подія.

Неможливою називають подію, яка ніколи не відбудеться, якщо буде здійснена відповідна сукупність умов. Наприклад, подія “вода в колбі знаходиться в твердому стані” ніколи не здійсниться, якщо буде здійснена сукупність умов попереднього прикладу.

Випадковою називають подію, яка при здійсненні деякої сукупності подій може відбутися, або не відбутися. Наприклад, при підкиданні монети, вона може впасти так, що зверху буде або герб, або цифра. Тому подія “при підкиданні монети випав герб” – випадкова. Неможливо врахувати вплив на результат всіх причин, оскільки їх число дуже велике (в нашому прикладі, сила, з якою підкидають монету, форма монети, поверхня на яку падає монета і т.д.) і закони їх дій невідомі. Тому теорія ймовірностей не становить перед собою задачу передбачити, відбудеться подія чи ні – вона просто не в силах цього зробити.

Якщо розглядаються випадкові події, які можуть багаторазово спостерігатись при здійсненні одних і тих же умов, тобто якщо мова йде про масові однорідні випадкові події, то зовсім інша річ. Виявляється, що достатньо велике число однорідних випадкових подій незалежно від їх конкретної природи підкоряється визначеним закономірностям, а саме ймовірносним закономірностям. Встановленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей.

Таким чином, предметом теорій ймовірностей є вивченні ймовірносних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Знання закономірностей, яким підкоряються масові випадкові події, дозволяють передбачити, як ці події будуть протікати.

Методи теорій ймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства і техніки: в теорії надійності, теорії масового обслуговування, в теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрільби, теорії помилок спостережень, теорії автоматичного управління і т.д. Теорія ймовірностей служить також для обґрунтування математичної і прикладної статистики, які в свою чергу використовуються при плануванні і організації виробництва, при аналізі технологічних процесів, контролі якості і т.д.

4

РОЗДІЛ 1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ 1.1. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОДІЙ

Теорія ймовірностей - це математична наука, що вивчає загальні закономірності випадкових явищ незалежно від їх конкретної природи і дає методи кількісної оцінки впливу випадкових фактів на різні явища.

Основними об’єктами, які вивчаються в теорії ймовірностей, є випадкові події. Подією в теорії ймовірностей називається всякий факт, який може відбутися в результаті деякого досліду (випробовування). Події прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту: A,B,C і т.д.

Різні події відрізняються між собою по степені можливості їх появи і по характеру взаємозв’язку.

Якщо при всіх дослідах розглядувана подія наступає, то вона називається достовірною. Якщо при всіх дослідах подія ніколи не наступає, то вона називається неможливою.

Випадковою або можливою називається подія, яка в результаті досліду може появитися, а може і не появитися. Наприклад, попадання в ціль при пострілі, виграш на куплений лотерейний білет і т.д.

Дві події Ai B називаються сумісними, якщо поява однієї і з них не виключає появу іншої. Наприклад, підкидаються два гральні кубики. Подія A - випадання 3 очок на першому гральному кубику, подія B- випадання 3 очок на другому кубику. Ai B - сумісні події.

Дві події Ai B називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу другої. Наприклад, якщо підкидається монета, то подія «випадання герба» і «випадання решки» -несумісні події.

Сумою або об’єднанням подій називається подія, яка полягає в появі хоча б однієї з цих подій. Сума подій Ai B позначається A B(іноді пишуть A B). Відмітимо, що подія A Bвідбудуться в тому випадку, якщо відбудуться або подія A, або подія B, або події Ai B відбудуться одночасно.

Добутком або перетином подій називається подія, яка полягає в сумісній появі цих подій, тобто добуток подій Ai B відбудеться тоді, коли події Ai B відбудуться одночасно. Добуток подій Ai B позначають A B(іноді пишуть

A B).

Очевидно, що A A A, A A A. Наприклад, якщо подія A- це попадання стрільцем в ціль при першому пострілі, подія В- попадання в ціль при другому пострілі, то подія C A B- це попадання в ціль взагалі, не має значення при якому пострілі, при першому, при другому, при чи обох разом. Подія C A B- це попадання в ціль при обох пострілах.

Позначимо U - достовірну подію; -неможливу подію. Тоді, якщо події

5

групу подій, якщо події попарно несумісні, а їх сума є достовірна подія, тобто

Hi H j ,i j, H1 H2 Hn U .

Розглянемо випадковий експеримент: кидається гральний кубик, на кожній грані якого нанесені очки від 1 до 6. Достовірного буде подія “випавша кількість очок менше 7” і ін. Неможливим будуть події: “кількість випавших

“випало два очка” ,..., H6 -“випало шість очок”.

В деяких випадках можна спостерігати, що наступання однієї події B тягне за собою наступання іншої події A. Тоді говорять, що подія B міститься в події A, і позначається це символом B A (B міститься в A). Легко перевірити, що якщо подія B міститься в події A, то мають місце наступні рівності: A B A,

A B B.

Поняття суми і добутку подій мають наглядну геометричну інтерпретацію. Дійсно, нехай подія A є попадання точки в область A, відповідно B - попадання в область B, тоді подія A B є попадання точки в область, заштриховану на рис. 1, а подія AB є попадання точки в область, заштриховану на рис. 2.

6

1.2. ОСНОВНІ КОМБІНАТОРНІ ФОРМУЛИ

При розв’язанні задач по теорії ймовірностей часто необхідні комбінаторні формули. Приведемо головні з них.

Комбінаторика вивчає кількість комбінацій, які можна скласти із елементів будь-якої природи заданої скінченої множини.

Перестановками називаються комбінації, які складаються з одних і тих же n різних елементів і відрізняються тільки порядком їх розташування. Число всіх можливих перестановок.

Pn n!, n! 1 2 3 ... (n 1) n

По означенню 0! 1

Задача 1.2.1. Скількома способами можно розкласти 10 книг на полиці? Розв’язання. Оскільки кількість книг не змінюється, а змінюється тільки

порядок їх розташування, то кількість способів

P10 10! 1 2 3 ... 9 10 3628800.

Відповідь: 3628800.

Розміщеннями називаються комбінації, складені з різних n елементів по m елементів, які відрізняються або складом елементів, або їх порядком. Число всіх можливих розміщень.

Задача 1.2.2. Скільки різних трьохзначних чисел можна скласти із цифр 1,2,3,4,5,6 (кожну цифру можна взяти тільки один раз)?

Розв’язання. Для складання трьохзначних чисел ми повинні вибрати 3 цифри із 6. Очевидно, що тут маємо справу з розміщеннями, оскільки якщо набори цифр відрізняється порядком, то ці набори представляють собою різні числа.

A63 6 5 4 120

Відповідь: 120.

Важливим поняттям для теорії ймовірностей є сполуки. Сполуками називаються комбінації, складені з nрізних елементів по m елементів, які відрізняються хоча б одним елементом. Число сполук

В чисельнику стоїть добуток чисел, починаючи з нижнього індексу і зменшуваних на одиницю; кількість множників дорівнює верхньому індексу. В знаменнику стоїть добуток чисел від 1 до верхнього індексу; число множників в чисельнику і знаменнику однакове.

Із (2.1) випливає, що

C n1 n, C nn 1 n , C nn 1, C n0 1, C nm C nn m .

7

Задача 1.2.3 Скількома способами можна вибрати делегацію в складі 5 студентів із групи в 16 чоловік на профспілкові збори?

Розв’язання. Оскільки делегації відрізняються одна від одної лише складом, то в даній задачі мова йде про число сполук

Відповідь: 4368.

Основний принцип комбінаторики. Нехай потрібно послідовно виконати дві дії. Першу з них можна виконати m способами, після чого другу n способами. Тоді обидві дії можна виконати m n способами.

Задача 1.2.4. В студентській групі 8 хлопців і 9 дівчат. Потрібно скласти команду з 3 хлопців і 2 дівчат. Скількома способами це можна зробити? Розв’язання. Трьох хлопців із 8 можна вибрати C83 способами, двох дівчат із

Відповідь: 2016.

Задача 1.2.5. Автомобільний номер складається з двох букв і чотирьох цифр. Скільки номерів можна скласти, використовуючи 32 букви українського алфавіту і десяти цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Розв’язання. Першу з букв можна вибрати 32 способами, другу – тими же 32 способами. Отже, дві букви можна вибрати 32 32 1024 способами. Першу з цифр можна вибрати 10 способами, другу – 10 способами, третю - 10 способами, четверту - 10 способами. Отже, всі чотири цифри можна вибрати 10 10 10 10 10000 способами. Оскільки номери автомобілів починаються з номера 0001 – то кількість різних наборів цифр буде 10000 1 9999, а всіх автомобільних номерів можна скласти

Задача 1.2.6. Мається 6 червоних і 4 синіх кульки.

Скількома способами можна вибрати: а) дві різнокольорові кульки; б) дві однокольорові кульки; в)дві любі кульки.

Розв’язання.

а) Оскільки потрібно вибрати одну червону і одну синю кульки, то першу дію можна виконати 6 способами, а другу – 4способами і тоді кількість

способів такого вибору буде дорівнювати C61 C41 6 4 24;

б) Вибрати дві однокольорові кульки означає вибрати або дві червоні або дві сині кульки. Дві червоні кульки із 6 можна вибрати C62 способами, дві сині

8

кульки із 4 можна вибрати способамиC42 , а кількість способів вибору або 2 червоних кульок, або 2 синіх кульок дорівнює

в) Оскільки всього 10 кульок, то 2 кульки з них можна вибрати

Останню відповідь можна перевірити. Дві вибрані кульки повинні бути або однокольоровими, або різнокольоровими, тому дві кульки можна вибрати 24 21 45 способами.

Відповідь: а)24; б)21; в)45.

В теорії ймовірностей часто приходиться застосовувати біном Ньютона. Нехайn 1,2,..., тоді

n

(a b)n an Cn1an 1b Cn2an 2b2 ... Cnn 1abn 1 Cnnbn Cnkakbn k (2.2)

k 0

Якщоn 2,n 3, то формула (2.2) має вигляд

(a b)2 a2 2ab b2,(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3.

Ці формули відомі з курсу математики для середньої школи.

Задача 1.2.7. Обчислити (2 2)5 Розв’язання. По біному Ньютона маємо

(2 2)5 25 C51 24 ( 2)1 C52 23 ( 2)2 C53 22 ( 2)3 C54 2( 2)4C55 20 ( 2)532 802 160 802 40 42 232 1642

Відповідь: 232 1642 .

Задачі для самостійного розв’язання.

Задача 1.2.9. На зборах присутні 12 чол. Скількома способами можна вибрати із них комісію, яка складається з голови, його замісника і 3 чол.?

Відповідь: A122 C103 15840.