Теоретические основы теплотехники - РУС
..pdf
Т.к. температура вдоль изотермической поверхности или изотермы не изменяется, то для ее изменения следует двигаться в направлениях, пересекающих изотермические поверхности.
Наибольший перепад на единицу длины происходит по направлению нормали к изотерме.
Градиент температуры - вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и равный производной температуры по направлению
grad t = n t/ n ; n - единичный вектор В проекциях
(grad t)x = t/ x (grad t)y = t/ y (grad t)z = t/ z
Поскольку n = 1, то t/ n также называют температурным
[grad t] = K/M = C/M градиентом.
Тепловой поток Тепловой поток - количество тепла, переносимое через какую-либо
поверхность в единицу времени.
Удельный тепловой поток* (плотность теплового потока) - количество тепла, переносимое через единицу площади изотермической поверхности в единицу времени
Удельный тепловой поток также является векторной величиной* , направлен по нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры
Закон Фурье.* Основной закон теплопроводности (закон Фурье) гласит, что количество
теплоты, проходящее через элемент изотермической поверхности, пропорционально градиенту температуры и продолжительности промежутка времени.
Коэффициент теплопроводности.
Является теплофизической характеристикой материала. [ ] = [q]/[grad t] = Вт/м2 к/м = Вт/м К
Коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, проходящей через единицу изотермической поверхности в единицу времени при единичном градиенте температуры.
В общем случае = (t).
61
Для многих материалов его зависимость от температуры определяется по формуле
= [ 1+b(t-t ) ]
1.Металлы. = 3 ÷ 458 Вт/м· К
С увеличением температуры убывает. Коэффициент тепло- и электропроводности у металлов пропорциональны, т.к. носители тепловой энергии и заряда одни и те же - электроны.
Для сплавов коэффициент теплопроводности ниже, чем для чистых металлов. С увеличением температуры растет.
2. Неметаллы. = 0,02 3 Вт/м К
Обычно с увеличением температуры растет.
Многие строительные и теплоизоляционные материалы имеют пористую структуру. Для них - условная величина, которая имеет смысл коэффициента теплопроводности “эквивалентного сплошного материала”.
Материалы с 0,25 Вт/м К называются теплоизоляционными.
Жидкости. = 0,08 0,65 Вт/м К
Сувеличением температуры убывает (за исключением воды). 4. Газы. = 0,005 0,6 Вт/м К
Сувеличением температуры растет (и довольно существенно)
Краевые условия.
Дифференциальное уравнение Фурье описывает явление теплопроводности в самом общем виде. Применение его в конкретных случаях требует знания распределения температур в теле в начальный момент времени (начальные условия). Кроме того, должны быть известны физические параметры среды и тела и распределение температур на поверхности тела (граничные условия).
Граничные условия могут быть заданы тремя способами. 1.Граничные условия 1 рода.
Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени.
tc = tc(x,y,z, ). 2. Граничные условия 2 рода.
Задается поверхностная плотность теплового потока в каждой точке поверхности тела в любой момент времени.
qn = qn (x,y,z, ). 3. Граничные условия 3 рода.
Задается температура среды, окружающей тело, и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.
При конвективном теплообмене используется закон Ньютона -Рихмана. q = ( tc - tж ), где - коэффициент теплоотдачи
Количество теплоты, отдаваемой единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей
среды.
[ ] = Вт/м2 к
62
Коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур поверхности и окружающей среды в 1 К.
|
Теплопроводность через однослойную плоскую стенку |
||
|
Процесс рассматривается при стационарном режиме, при отсутствии |
||
внутренних источников тепла. |
|
|
|
1. |
t/ = 0 ; |
= Const - однородный изотропный |
|
|
qu = 0 ; |
t/ y = 0 ; t/ z = 0 |
материал |
|
Тогда дифференциальное уравнение принимает вид : |
||
|
2t/ x2 = 0 ; |
d2t/dx2 = 0 ; |
|
|
dt/dx = C1 ; |
t = C1x+C2 |
|
t = t1 ;
x = 0 граничные условия 1 рода. t = t2.
x=
Отсюда |
C2 = t1 ; C1 = t2 - t1/ |
|
Тогда |
t = t1 - t1 - t2/ x |
|
Температура в однородной плоской стенке изменяется по линейному закону. |
||
(grad t) = t/ t = - t1 - t2/ ; |
|
|
q = - grad t = / (t1 - t2) - получено из уравнения Фурье. |
|
|
Отсюда : |
|
|
Q = qF = |
/ (t1 - t2)F - общее количество теплоты, переданной через |
|
поверхность F за время . |
|
|
Т.к. q/ = t1 - t2/ , то |
|
|
t = t1 - q/ x |
|
|
2. Теперь рассмотрим случай, когда = (t) |
|
|
Если = (1 + bt), то закон Фурье принимает вид |
|
|
q = - dt/dx = - (1 + bt) dt/dx. |
|
|
Разделяем переменные |
|
|
qdx = - (1 + bt) dt ; |
|
|
qx = - (t + bt2/2) + C. |
|
|
t = t1 |
|
|
x = 0 |
|
|
t = t2 Граничные условия 1 рода. О = - (1+bt12/2)+C |
(1) |
|
x = |
q =- (1+bt22/2)+C |
(2) |
63
Отсюда вычитая из (2) уравнение (1) q = o/ 1+b t1+t2/2](t1-t2)
Величина [1+b t1+t2/2] = ср - среднеинтегральный коэффициент теплопроводности.
Тогда q = ср/ (t1-t2)
Тепловой поток определяется разностью температур, которую называют температурным напором.
t = t1 -t2
Теплопроводность многослойной плоской стенки
Считаем, что все слои плотно прилегают друг к другу
1 = Const
2 = Const
3 = Const
Тепловые потоки для каждого из слоев равны т.к. q/ x = 0
Q = 1/ 1 F(t1-t2) |
t1- t2 |
= Q/F 1/ 1 |
|
Q = 2/ 2 F(t2-t3) |
t2- t3 |
= Q/F 2/ 2 |
+ |
Q = 3/ 3 F(t3-t4) |
t3- t4 |
= Q/F 3/ 3 |
|
|
t1 - t4 = Q/F ( 1/ 1+ 2/ 2+ 3/ 3) |
q - Q/F = t1 - t4/( 1/ 1+ 2/ 2+ 3/ 3) |
|
Для n слоев |
q = t1-tn+1/( ni=1 i/ i) |
Отношение / называется тепловой проводимостью стенки
[ / ] = Вт/м2 К.
Отношение / называется термическим сопротивлением стенки
[ / ] = м2 К/Вт.
Rc = / - термическое сопротивление теплопроводности.
Температура в каждом слое стенки изменяется по линейному закону. Температурный график для многослойной плоской стенки - ломаная линия.
Иногда выражение Q = F t/( ni=1 i/ i) называют законом Ома для тепловой
цепи.
Сравнение : І = U/( ni=1 Ri) = S U/( ni=1 L/ )
Иногда вводится понятие эквивалентной теплопроводности. При этом полагают
ni=1 i = ; |
ni=1 i/ i = / жв. |
64
Отсюда жв. = ni=1 i/ ni=1 ( i/ i) - эквивалентный коэффициент теплопроводности.
Теплопроводность цилиндрической стенки.
Считаем, что температура изменяется только в радиальном направлении, т.е. t = t(r) ; = Const
Тогда тепловой поток через участок кольцевого слоя трубы длиной L составит
Q = - 2 rL dt/dr.
Разделяя переменные получим
|
|
dt = - Q/2 L dr/r |
t = -Q/2 L Ln r+C |
- уже отсюда видно, что температура |
|
|
|
внутри стенки изменяется по |
|
|
логарифмическому закону. |
Полагая |
t/r=r1 = t1i |
|
|
t/r=r2 = t2i Граничные условия 1 рода. |
|
Получим |
t1-t2 =Q/2 L Ln r2/r1 |
|
Q = (t1-t2)/Ln r2/r1 2 L ; qL= Q/L
Тепловой поток на единицу длины цилиндра qL = (t1-t2)/(1/2 Ln r2/r1)
Температура внутри стенки изменяется по логарифмической кривой. Это объясняется тем, что плотность теплового потока изменяется с изменением радиуса.
Многослойная цилиндрическая стенка.
Стенка состоит из плотно прилегающих цилиндрических слоев. i = Const Для каждого слоя
qL = (t1-t2)/(1/2 1 Ln r2/r1);t1- t2=qL/2 1 Ln r2/r1 qL = (t2-t3)/(1/2 2 Ln r3/r2);t2- t3=qL/2 2 Ln r3/r2 qL = (t4-t3)/(1/2 2 Ln r4/r3);t4-t3=qL/2 3 Ln r4/r3
Тогда
65
t1-t4=(qL/2 ) (1/ 1 Ln r2/r1+1/ 2 Ln r3/r2+1/ 3 Ln r4/r3 qL=(2 (t1-t4))/(1/ 1 Ln r2/r1+1/ 2 Ln r3/r2+1/ 3 Ln r4/r3
В общем случае
Q = (2 L(t1-tn+1))/( ni=1 1/ i Ln ri+1/r1
Теплопроводность тел произвольной формы.
Количество теплоты, проходящее через стенки тел неправильной формы, можно определить по уравнению
|
Q = / Fcp(t1-t2), |
|
|
где Аср - поверхность, которую находят в зависимости от формы тела. |
|
1. |
Плоская стенка |
Fcp = (F1+F2)/2. |
|
цилиндрическая (F2/F1 2) |
|
2. |
Цилиндрическая стенка |
Fср = (F2-F1)/(Ln A2/A1). |
3. |
Сферическая стенка |
Fср = F1F2. |
Если температура стенки в отдельных местах различна, то среднюю расчетную температуру определяют по формуле
tср = 1/F tdF ( ni=1tiFi)/( ni=1Fi), где F = ni=1Fi.
66
12. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Основные понятия и определения.
Конвекция теплоты - перенос тепла перемещением в пространстве жидкости или газа из области с одной температурой в область с другой температурой.
Перенос теплоты при конвекции сопровождается переносом среды, т.е. массообменом.
Теплоотдача - конвективный перенос теплоты между твердой стенкой и омывающей ее жидкостью.
Согласно закону Ньютона - Рихмана удельный тепловой поток от стенки к жидкости пропорционален разности температур между стенкой и жидкостью:
q= (tСТ-tСЖ)
Соответственно для стенки площадью F:
Q= F(tСТ-tСЖ)
Уравнение Ньютона - Рихмана весьма удобно для расчетов, однако основная сложность заключается в трудности определения коэффициента теплоотдачи .
Коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, переносимому через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между стенкой и жидкостью 1 К.
вт
м2 К
Коэффициент теплоотдачи в общем случае зависит от многих факторов и параметров движения.
= ( , , , , tЖ, tСТ, l1, l2, l3, Ф...)
l3 - характерные размеры тел; Ф - форма тела.
Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена.
В общем случае задачи конвективного теплообмена сводятся к решению следующих дифференциальных уравнений:
1. Дифференциальное уравнение теплопроводности
t |
2t |
|
2t |
|
2t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|||||
|
c |
|
|
|
|||||
или
t a 2t
2. Уравнение Навье-Стокса
67
|
WX |
|
|
WX |
W |
|
|
WX |
W |
|
WX |
W |
g |
1 |
|
p |
|
2W |
|
- для W |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
X |
|
y |
|
Y |
|
|
z |
Z |
|
x |
|
X |
|
X |
||||||||
|
WX |
|
- |
характеризует нестационарность процесса; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g - |
массовая сила; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
WX |
W |
|
|
|
WX |
W |
WX |
W |
|
- |
сила инерции; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
y |
|
Y |
z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2WX |
|
|
- |
сила вязкости; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 p |
|
- |
сила давления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x
Для идеальной жидкости силы вязкости отсутствуют. Уравнение Навье-Стакса упрощается уравнениями Эйлера.
3. Уравнение неразрывности.
|
|
|
|
|
div |
0 |
|
|
|||
|
|
Для несжимаемой жидкости в стационарном процессе
Wx |
|
Wy |
|
Wz |
x |
y |
z |
4. Уравнение конвективного теплообмена
t |
t |
t |
t |
|
|
2 |
|
||||
|
Wx |
|
Wy |
|
Wz |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
c |
|
||||||
|
x |
y |
z |
|
|
|
|||||
Это уравнение называют уравнением Фурье-Кирхгофа.
Если W= 0, то уравнение принимает вид дифференциального уравнения теплопроводности.
5. Уравнение теплоотдачи.
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
tст - tж |
|
|
Для тонкого слоя жидкости вблизи стенки |
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q |
|
|
|
|
- по закону Фурье |
|
|
|
|
||||
|
n |
|
n 0 |
|||
|
|
|||||
Отсюда :
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- уравнение теплоотдачи |
|
|
|||||
|
tст tж |
n |
|
n 0 |
||
|
|
|||||
Помимо этих уравнений необходимо ввести определенные краевые условия. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений
конвективного теплообмена получено лишь два ряда ограниченного числа задач.
68
Для расчета сложных процессов используют результаты экспериментальных исследований и теорию подобия.
12.2 Факторы, влияющие на интенсивность конвективного теплообмена.
1. Свободная и вынужденная конвекция.
По природе возникновения различают два вида движения - свободное и вынужденное. Свободное движение происходит вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости, находящихся в поле действия сил тяжести; оно называется также естественной конвекцией и зависит от рода жидкости, разности температур, объема пространства, в котором протекает процесс.
Вынужденное движение возникает под действием посторонних побудителей (насоса, вентилятора, ветра). В общем случае наряду с вынужденным движением одновременно может развиваться и свободное.
2. Ламинарное и турбулентное движение.
Движение жидкости может быть ламинарным или турбулентным. При ламинарном режиме частицы жидкости движутся послойно, не перемешиваясь. Турбулентный режим характеризуется непрерывным перемешиванием всех слоев жидкости. Переход ламинарного режима в турбулентный п\определяется критическим значением безразмерного комплекса, называемого числом Райнольдса:
|
l |
|
Re к р |
|
, |
|
||
где w - скорость движения жидкости; v - коэффициент кинематической вязкости; l
-характерный размер канала или обтекаемой стенки.
12.3.Основы теории подобия.
Спонятием подобия исследователи сталкиваются не только в математике, но и в других областях наук.
Геометрически подобные фигуры обладают тем свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
l1'
l '' |
l// |
|
|
- коэффициент пропорциональности |
|||
1 |
C |
l |
|||||
l/ |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
(постоянная геометрического |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
подобия) |
|
|
|
|
|
|
|
||
На основании свойств подобия можно решить ряд задач (определение расстояния до цели, до небесных тел и т.п.)
Понятие подобия можно распространить на любые физические явления. 69
При этом следует руководствоваться следующими положениями:
1. Понятие подобия применимо только к физическим явлениям одного и того же рода. Эти явления должны описываться одинаковыми уравнениями как по форме, так и по содержанию.
Емкость |
|
|
|
|
|
Теплопроводность |
|
Эти явления аналогичные, |
Электропроводность |
|
а не подобные! |
|
||
Диффузия |
|
|
|
|
2.Обязательным условием является геометрическое подобие.
3.При анализе можно сопоставлять только однородные величины в сходственных точках в сходственные моменты времени.
Однородные величины имеют одинаковый физический смысл и одну и ту же размерность.
4.Подобие явлений означает подобие всех величин, характеризующих эти явления.
'' = С '
C - постоянная подобия.
12.4. Теоремы подобия.
Постоянные подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя выбирать произвольно. Соотношения между ними выводятся из уравнений, описывающих процессы.
Соотношения постоянных подобия устанавливают существующие критериев подобия, которые для всех подобных явлений сохраняют одни и те же числовые значения.
Критерии подобия - безразмерные комплексы, составленные из величин, характеризующих явление.
Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем:
. Подобные между собой процессы имеют одинаковые критерии подобия.
. Решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде связи между критериями, вытекающими из этого уравнения.
Такое уравнение называется критериальным.
. Подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, и критерии, составленные из величин, входящих в условия однозначности, одинаковы.
Третья теорема фактически определяет условия, необходимые и достаточные для подобия процессов.
Критерии, состоящие только из величин, входящих в условия однозначности, называются определяющими.
Переменные, имеющие вид критериев подобия, вычисляемые в процессе решения задачи, называются определяющими.
70