Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о площади криволинейной трапеции, задача о вычислении работы под действием переменной силы). Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства (обзорно). Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определенного интеграла

Задача о площади криволинейной трапеции. Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями гдеf(x) есть непрерывная положительная функция, заданная при (см. рис.3). Такая фигура называетсякриволинейной трапецией. Поставим вопрос о площади F этой трапеции.

Разделим [a, b] точками и пустьλ = max(x_k+1 - x_k). Прямые x = x_k разбивают нашу трапецию на n узких полос. Так как функция f(x) непрерывна, то она мало меняется при x_k ≤ x ≤ x_k+1 и без большой погрешности ее можно считать на промежутке [x_k, x_k+1] постоянной и равной f(ξ_k), где ξ_k есть произвольно взятая точка промежутка [x_k, x_k+1]. Легко видеть, что сделанное допущение равносильно тому, что мы принимаем вышеупомянутые полосы за прямоугольники, а всю нашу трапецию - за ступенчатую фигуру, изображенную на рис. 4. Площадь этой ступенчатой фигуры, очевидно, равна Естественно считать, что эта площадь при маломλ является приближенным значением интересующей нас площади F. Поэтому по определению будем называть площадью нашей криволинейной трапеции предел .

Если функция имеет, хотя бы одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных. На практике часто приходится искать разность значений первообразной в точках b и a. Эта разность не зависит от выбора произвольной постоянной с, т.к.. Пусть функция f задана на отрезке и имеет на нем первообразнуюF. Разность называютопределённым интегралом функции f по отрезку и обозначаютЧислаb и a называют верхним и нижним пределами интегрирования. Отрезок областью интегрирования.

Работа переменной силы. Рассмотрим движение материальной точки вдоль осиOXпод действием переменной силыf, зависящей от положения точкиxна оси, т.e. силы, являющейся функциейx. Тогда работаA, необходимая для перемещения материальной точки из позицииx=aв позициюx=bвычисляется по формуле:

Свойства ОИ.

1) Если функция f имеет первообразную на отрезке и– любое число, то.

2) Если функции имеют первообразную на отрезке, то.

3) Аддитивное св-во. Если функция f имеет первообразную на отрезке и, то.

4) Если функция f имеет первообразную на отрезке , то.

5)6)

7) Если функция f имеет первообразную на отрезке и является четной, то. Если жеf является нечетной, то .

8) Если функция f имеет период и на отрезкесуществует первообразная дляf, то для любого a справедливо равенство .

9) Если .

10) Если .

11) Пусть на отрезке выполняются неравенства, причем на этом отрезке функцияf имеет первообразную. Тогда .

Суммы Дарбу. Пусть Составим суммы . Они называются нижней и верхней суммами Дарбу.

Свойства Суммы Дарбу: 1) Если к имеющимся точкам разбиения отрезка [a,b] на промежутки добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу от этого может разве лишь возрасти, а верхняя сумма - уменьшается. Т.е. если τ′-измельчение разбиения τ, то .

2) Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждую из верхних сумм, даже отвечающих другому разбиению промежутка.

3) - колебание функции на− нижний интеграл Дарбу функцииf на [a,b], - верхний интеграл Дарбу. Множество {} нижних сумм Дарбу ограничено сверху хотя бы одной из верхних сумм Дарбу тогда оно имеетпричем. Множество верхних сумм Дарбу {} ограничено снизу, поэтому существует-, причем. Т.о..

Th Необходимое условие интегрируемости. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.Th Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно чтобы Это условие означает, для любого ε>0 существует δ(ε)>0, что для любого разбиения τ мелкости меньше, чем δ выполняется неравенство:−<ε.

Th Интегрируемость непрерывной функции. Если f(x) непрерывна на , то она интегрируема на нем.Th. Функция определенная и монотонная на [a,b] интегрируема на нем. Th. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке, кроме, может быть, конечного числа точек, то она интегрируема на нем.