- •Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы.
- •Виды матриц.
- •Операции над матрицами.
- •Определители квадратных матриц
- •Обратная матрица.
- •Системы линейных уравнений.
- •Метод обратной матрицы.
- •Метод Крамера.
- •Метод Гаусса.
- •Производная.
- •Правила дифференцирования.
- •Производные сложной и обратной функции.
- •Интегрирование.
- •Свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменной.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Задания для контрольных работ (6 заданий по 25 вариантов)
- •Задание №1
- •Задание №2
Обратная матрица.
Матрица называетсяобратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:
.
Только квадратная матрица имеет обратную, причем тогда и только тогда, когда определитель исходной матрицы отличен от нуля.
Алгоритм вычисления обратной матрицы.
Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрицавырожденная и обратная матрицане существует. Если, то обратная матрица существует.
Находим матрицу , транспонированную к.
Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n) и составляем из них присоединенную матрицу (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n).
Вычисляем обратную матрицу по формуле:
.
Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения:.
Пример. Найти матрицу, обратную к данной:
.
Определитель матрицы , т.е. матрица– невырожденная и обратная матрицасуществует.
Находим матрицу , транспонированную к:
.
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу:
; ;;
; ;;
; ;.
.
Вычисляем обратную матрицу :
.
Системы линейных уравнений.
Система линейных уравнений спеременными имеет вид:
, 1)
где – произвольные числа, называемые, соответственнокоэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.
Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система уравнений называется, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде. Обозначим:
; ;,
где –матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, –матрица-столбец переменных; –матрица-столбец свободных членов. Тогда система линейных уравнений может быть записана в виде:
.
Пусть число уравнений системы равно числу переменных. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называетсяопределителем системы.
Метод обратной матрицы.
Предположим, что квадратная матрица системы невырожденная, т.е. ее определитель. В этом случае существует обратная матрица.
Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу, получим. Так как, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец
.
Метод Крамера.
Теорема Крамера. Пусть – определитель матрицы системы, а– определитель матрицы, получаемой из матрицызаменой-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
.
Формулы для называются формулами Крамера.
Пример. Решить систему уравнений
,
а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера.
а) Обозначим ;;.
Найдем определитель . Так как, то матрица невырожденная и существует обратная матрица .
Получим . Теперь по формуле
.
То есть решение системы .
б) Найдем определитель системы . Так как, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Вычислим определители матриц , полученных из матрицы заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов на столбец свободных членов:
; ;.
Теперь по формулам Крамера находим
; ;.
То есть решение системы .